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河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案


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河北省“五个一名校联盟”2015 届高三教学质量监测(二) 理科数学
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上. 1.设集合 M ? {x | x ? 2 x

? 15 ? 0} , N ? {x | x ? 6 x ? 7 ? 0} ,则 M
2 2

N ?(



A. (?5,1]

B. [1,3)

C. [?7,3)

D. (?5,3)

2. 已知 i 是虚数单位, m 和 n 都是实数,且 m(1 ? i ) ? 7 ? ni ,则 A. ?1 3.设若 f ( x) ? ? A. 1 B. 1 C. ? i D. i

m ? ni ?( m ? ni



lg x, x ? 0, ? ? f ( f (1)) ? 1 ,则 a 的值为 a 2 x ? 3 t dt , x ? 0, ? ? ?0
B. 2 C. ? 1 D. ? 2

4.设 a, b 为两个非零向量,则“ a ? b ?| a ? b | ”是“ a 与 b 共线”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立 评分, p 为该题的最终得分, 当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时,x3 等 于 A. 11 6.已知 B. 8.5 C. 8 D. 7

? 2 ? ? ? 0, ? ? ,且 sin(? ? ) ? ,则 tan 2? ?
4 10
4 3
B.

A.

3 4

C. ?

24 7

D.

24 7

7 . 已 知 OA ? 1, OB ?

3 , OA OB ? 0, 点 C 在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 30? , 设
m 等于( n


OC ? mOA ? nOB, ? m, n ? R ? ,则
A.

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

8 . 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 a1 ? a2 ? 10 , S 4 ? 36 , 则 过 点 P (n, an ) 和

Q(n ? 2, an? 2 ) ( n ? N ? )的直线的一个方向向量是(
A. ? ?

) D. ? 2, ?

? 1 ? ,?2 ? ? 2 ?

B. ?? 1,?1?

C. ? ?

? 1 ? ,?1? ? 2 ?

? ?

1? 2?

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9 . 函 数 y ? log a ( x ? 3) ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 m ? 0, n ? 0 ,则
A. 2 2 B.4

2 1 ? 的最小值为( m n 5 9 C. D. 2 2

)

10.在区间 ? ?1,5? ? 和? ? 2, 4 ? ? 上分别取一个数,记为 a,b , 则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x a2 b2

轴上且离心率小于

3 的椭圆的概率为 ( 2



A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

11.多面体的三视图如图所示,则该多面体表面积为(单 位 cm ) A. 28 ? 4 5 C. 30 ? 4 10 B. 30 ? 4 5 D. 28 ? 4 10

12.若曲线 C1 : y ? ax 2 (a ? 0) 与曲线 C2 : y ? e x 存在公共切线,则 a 的取值范围为 A. ?

? e2 ? , ?? ? ?8 ?

B. ? 0,

? ?

e2 ? 8? ?

C. ?

? e2 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? 0,

? ?

e2 ? 4? ?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡上. 13. x ? x ? 2 的展开式中 x 3 的系数为
2

?

?

5

* *



14.若双曲线

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则 2 a b 4


该双曲线的离心率为 * *

?x ? 0 ? 15.设点 P ( x, y ) 满足条件 ? y ? 0 ,点 Q (a, b)(a ? 0, b ? 0) 满足 OP ? OQ ? 1 恒成立, ? y ? 2x ? 2 ?
其中 O 是坐标原点,则 Q 点的轨迹所围成图形的面积是 16.在 ?ABC 中, tan * * . * * .

1 A? B ? 2 sin C , 若 AB ? 1 ,则 AC ? BC 的最大值 2 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.

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17.已知数列 ?a n ? 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求证数列 ?a n ? 是等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

a n (a n ? 1) (n ? N * ), 2

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn , 求 Tn . Sn

18.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据 绘制成频率分布直方图(如图) ,其中上学路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为

[0, 20) , [20, 40) , [40, 60) , [60,80) , [80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申 请在学校住宿,若招生 1200 名,请估计新生中有多少 名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的高一学生中任选 4 名学生,这 4 名学生 中上学路上所需时间少于 20 分钟的人数记为 X , 求X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率) 19.已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD , 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ?BAD ? 120? , PA ? b . (Ⅰ)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)设 AC 与 BD 交于点 O , M 为 OC 中点,若二 面角 O ? PM ? D 的正切值为 2 6 ,求 a : b 的值.
频率 /组距 0.025

x
0.0065 0.003

O

20

40

60

80

100

时间

2 20.已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

1 x ? b 与抛 2

物线交于 A, B 两点. (Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值. 21.已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? R )
2 x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x) 的单调区间并给予证明; (Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,证明: ?

e ? f ( x1 ) ? ?1 . 2

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请考生在第 22、23、24 题中任选一道 作答,如果多做,则按所做的第 1 题计分.作答 .... 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已 知 ?ABC中,AB ? AC, D为?ABC 外 接 圆 劣 弧 ,延长 BD 至 E ,延长 AC 上的点(不与点 A 、C 重合)

AD 交 BC 的延长线于 F . (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程选讲

? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ?
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? b ? 1 , 对 ?a, b ? (0, ??) , ?

1 a

4 求 x 的取值范围. ?| 2 x ? 1| ? | x ? 1| 恒成立, b

河北省“五个一名校联盟”2015 届高三教学质量监测(二) 理科数学(答案)
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:BDADC 二、填空题: 13. -200 .14. CBADB AC

2 3 3

.15.

1 2

.16.

21 3



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17.已知数列 ?a n ? 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (Ⅰ)求证数列 ?a n ? 是等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

a n (a n ? 1) (n ? N * ), 2

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn , 求 Tn . Sn

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解: (Ⅰ) S n ?

a n (a n ? 1) (n ? N * ) 2 a n ?1 (a n ?1 ? 1) (n ? 2) 2
2 2



S n ?1 ?



①-②得: an ?

a n ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ?n ? 2? 整理得: (a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ) ? ?a n ? a n ?1 ? 2

? 数列 ?a n ? 的各项均为正数,? a n ? a n ?1 ? 0, ? a n ? a n ?1 ? 1(n ? 2)

n ? 1 时, a1 ? 1 ? 数列 ?a n ? 是首项为1 公差为1 的等差数列
(Ⅱ)由第一问得 S n ?

6分

n2 ? n 2

? bn ?

2 2 1 ? ?1 ? ? 2? ? ? n ? n n( n ? 1) ? n n ?1?
2

? 1 ? 1 1? ?1 1? 1 1 ? 1 ? 2n ? ?Tn ? 2 ? (1 ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ( ? )? ? 2 ? 1 ? ?? 2 ? 2 3? ? 3 4? n n ?1 ? ? n ? 1? n ? 1 ?

12 分

18.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制 成频率分布直方图(如图) ,其中上学所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) ,

[20, 40) , [40, 60) , [60,80) , [80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿, 若招生 1200 名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的高一学生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学所 需时间少于 20 分钟的人数记为 X ,求 X 的分布列和数学期 望. (以直方图中高一学生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为 每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率) 解: (Ⅰ)由直方图可得:
频率 /组距 0.025

x
0.0065 0.003

O

20

40

60

80

100

时间

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1
. 所以 x = 0.0125 . (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , 因为 1200 ? 0.12 ? 144 , 所以 1200 名新生中有 144 名学生可以申请住宿. 6分 3分

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(Ⅲ) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4.

由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为
4
3

1 , 4

81 ? 3? , P( X ? 0) ? ? ? ? 256 ?4?
2 2 2 4

? 1 ?? 3 ? 27 , P( X ? 1) ? C1 4? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64
3

27 ?1? ?3? ?1? ?3? 3 , P ( X ? 3) ? C3 , P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? 4? ? ? ?? ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64

1 ?1? . P( X ? 4) ? ? ? ? 256 ?4?
所以 X 的分布列为:

4

10 分

X P

0

1

2

3

4

81 27 27 3 1 256 64 128 64 256 81 27 27 3 1 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 256 64 128 64 256 4 所以 X 的数学期望为 1 . 12 分 19.已知四棱锥 P ? ABCD 中,
PA ? 平面ABCD ,底面 ABCD 是边长为 a 的
菱形, ?BAD ? 120? , PA ? b . (Ⅰ)求证: 平面PBD ? 平面PAC ; (Ⅱ) 设 AC 与 BD 交于点 O ,M 为 OC 中点, 若 二 面 角 O ? PM ? D 的 正 切 值 为 2 6 , 求

a : b 的值.
19.解: (Ⅰ) 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD??????2 分 又 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC??????4 分 从而平面 PBD⊥平面 PAC. ?????6 分

(Ⅱ)方法 1. 过 O 作 OH⊥PM 交 PM 于 H,连 HD 因为 DO⊥平面 PAC,可以推出 DH⊥PM,所以∠OHD 为 O-PM-D 的平面角??????8 分 又 OD ?

3 a 3a OH AP ,且 ??????10 分 a, OM ? , AM ? ? 2 4 4 OM PM

从而 OH ?

a ab ??????11 分 ·? 2 2 4 9 1 6 b ? 9 a b2 ? a 2 16

b

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tan ?OHD ?

3(16b 2 ? 9a 2 ) OD ? ?2 6 OH 2b
a 4 ? . b 3
?????????12 分
z P

所以 9a 2 ? 16b 2 ,即

P

A
A H O M D

D y O M C

B
C

B

x

法二:如图,以 A 为原点, AD, AP 所在直线为 y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,则

P(0, 0, b), D(0, a, 0) , M (

3 3 3 3 1 a, a, 0) , O( a, a, 0) ????8 分 8 8 4 4 3 3 3 3 3 a, a, ?b) OD ? (? a, a, 0) ??????9 分 8 8 4 4
3 3 a, a, 0) .??10 分 4 4

从而 PD ? (0, a, ?b), PM ? (

因为 BD⊥平面 PAC,所以平面 PMO 的一个法向量为 OD ? (? 设平面 PMD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 PD ? n, PM ? n 得

PD ? n ? ay ? bz ? 0, PM ? n ?
取x?

3 3 3 ax ? ay ? bz ? 0 8 8

5 3 3

b, y ? b, z ? a ,即 n ? (

5 3 3

b, b, a ) ?????11 分

设 OD 与 n 的夹角为 ? ,则二面角 O ? PM ? D 大小与 ? 相等 从而 tan ? ? 2 6 ,得 cos ? ?

1 5

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5 3 ? ab ? ab OD ? n 1 12 4 cos ? ? ? ? 5 | OD | ? | n | a 52 2 12 b ? a2 4 27
从而 4b ? 3a ,即 a : b ? 4 : 3 .
2 20.已知抛物线 y ? 4 x ,直线 l : y ? ?

?????12 分

1 x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅰ)若 x 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值.
1 ? ?y ? ? x ? b 2 解: (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y 2 ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q ( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 ) 2 ? 5[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) . 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,
8 解得 b ? ? . 5

所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? 故所求圆的方程为 ( x ?

48 24 ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5

24 2 ) ? ( y ? 4) 2 ? 16 . 5

(Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 , 直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

| ?2b | ?2b 1 ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2
令 g (b) ? b3 ? 2b 2 , ?2 ? b ? 0 ,

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b 2 . 2

4 g ?(b) ? 3b 2 ? 4b ? 3b(b ? ) , 3
b

4 (?2, ? ) 3

?

4 3

4 (? , 0) 3

g ?(b) g (b)



0 极大



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4 32 4 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? .所以当 b ? ? 时, ?AOB 的面积取得最大值 3 27 3

32 3 . 9

21.已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? R )
2 x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x) 的单调区间并给予证明; (Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,证明: ? 解 :( Ⅰ ) a ?1 时 ,

e ? f ( x1 ) ? ?1 . 2

f ( x ) ? x 2 ? e x , f ? (x ) ? 2x ? e x , f ??( x) ? 2 ? ex , 易 知

f ?( x)max ? f ?(ln 2) ? 2 ln 2? 2 ? 0,从而 f ( x) 为单调减函数.??????4分
(Ⅱ) f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 即 f ?( x) ? 2ax ? e ? 0 有两个实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,所以
x

f ??( x) ? 2a ? e x ? 0 ,得 x ? ln 2a .
f ?(ln 2a ) ? 2a ln 2a ? 2a ? 0 ,得 ln 2a ? 1 ? 2a ? e .??????6 分
又 f ?(0) ? ?1 ? 0 , f ?(1) ? 2a ? e ? 0 所以 0 ? x1 ? 1 ? ln 2a ??????8 分

f ?( x1 ) ? 2ax1 ? e x 1 ? 0 ,得 ax1 ?
2 1 x1

ex 1 2

?x ? e x1 f ( x1 ) ? ax ? e ? x1 ? e x1 ? e x1 ? 1 ? 1? (0 ? x1 ? 1) ??????10 分 2 ? 2 ? ? x ?1 ? f ?( x1 ) ? e x1 ? 1 ? ? 0, ? 2 ?
? e ? f (1) ? f ( x1 ) ? f (0) ? ?1 ??????12 分 2

另解: 2a ?

ex e x ( x ? 1) ? p ( x) 由两个实根, p?( x) ? , x x2 ex ex ? 0 ,不能满足条件. 单调递减且 p ( x) ? x x

当 x ? 0 时, p?( x) ? 0, 所以 p ( x) ?

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当 0 ? x ? 1 时, p?( x) ? 0, 所以 p ( x) ?

ex ex 单调递减且 p ( x) ? ?0 x x

当 x ? 1 时, p?( x) ? 0, 所以 p ( x) ?

ex ex 单调递增且 p ( x) ? ? 0, x x ex ? ?? ,当 x ? ?? 时② x

故当 0 ? x 时, pmin ( x) ? p (1) ? e ,当 x ? 0 时 p ( x) ?

p( x) ?

ex ex e ? ?? ,所以 2a ? ? p ( x) 由两个实根需要 2a ? p (1) ? e .即 a ? x x 2
x e x1 e x1 2 x1 x 2 , f ( x1 ) ? ax1 ? e 1 ? x1 ? e ? e x1 ( 1 ? 1), ( x1 ? (0,1) ,从而可 2 x1 2 x1 2

f ?( x1 ) ? 0, 即 a ?

以构造函数解决不等式的证明.

f ?( x) ? 2ax ? e x ? 0 有两个实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , x ? 0 不是根,所以 2a ?
个实根, p?( x) ?

ex ? p ( x) 由两 x

e x ( x ? 1) , x2 ex ex 单调递减且 p ( x) ? ? 0 ,不能满足条件. x x ex ex 单调递减且 p ( x) ? ?0 x x

当 x ? 0 时, p?( x) ? 0, 所以 p ( x) ?

当 0 ? x ? 1 时, p?( x) ? 0, 所以 p ( x) ?

当 x ? 1 时, p?( x) ? 0, 所以 p ( x) ?

ex ex 单调递增且 p ( x) ? ? 0, x x

ex 故当 0 ? x 时, pmin ( x) ? p (1) ? e ,当 x ? 0 时 p ( x) ? ? ?? ,当 x ? ?? 时② x p( x) ? ex ex e ? ?? ,所以 2a ? ? p ( x) 由两个实根需要 2a ? p (1) ? e .即 a ? x x 2

x e x1 e x1 2 x1 x1 2 x1 ? e ? e x1 ( 1 ? 1), ( x1 ? (0,1) ,从而可 f ?( x1 ) ? 0, 即 a ? , f ( x1 ) ? ax1 ? e ? 2 x1 2 x1 2
以构造函数解决不等式的证明. 请考生在第 22、23、24 题中任选一道 作答,如果多做,则按所做的第 1 题计分.作答 .... 时请写清题号.

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22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知 ?ABC中,AB ? AC , D为?ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合),延长

BD 至 E ,延长 AD 交 BC 的延长线于 F . (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .

A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 ? ?CDF ? ?ABC .??????2 分 AB ? AC ??ABC ? ?ACB 且 ?ADB ? ?ACB , ?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ,?????4 分 ? ?CDF ? ?EDF .??????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ADB ? ?ABF ,又 ?BAD ? ?FAB , 所以 ?BAD 与 ?FAB 相似, AB AD ? AB 2 ? AD ? AF ,????7 分 ? ? AF AB ? AB ? AC ? AD ? AF ,? AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF 又 AB ? AC , 根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,?????9 分 AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .?????10 分
解:(Ⅰ)证明: 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程选讲

? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . 4 ?y ? t 5 ?
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 解: (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2 ? sin ? ?????????????????2 分 又 x 2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,[ 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ????4 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) ? ???6 分 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 ? ??8 分 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 ?????????10 分 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? b ? 1 , 对 ?a, b ? (0, ??) , ?

1 a

4 求 x 的取值范围. ?| 2 x ? 1| ? | x ? 1| 恒成立, b

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解:∵ a>0,b>0 且 a+b=1 ∴ ,故

1 4 1 4 b 4a + =(a+b)( + )=5+ + ≥9 a b a b a b

1 4 + 的最小值为 9,??5 分 a b 1 4 因为对 a,b∈(0,+∞),使 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, a b
所以,|2x-1|-|x+1|≤9, 7 分当 x≤-1 时,2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1,当 -1<x< ∴ -1<x<

1 时,-3x≤9, 2

1 1 1 ,当 x≥ 时,x-2≤9, ∴ ≤x≤11,∴ -7≤x≤11 ?? 10 分 2 2 2


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