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山西省晋城一中 09 届高三第一学期期末测试 数学(文科)试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,请把正确答案写在答题纸上) 1.设全集 U ? {1,3,5,7} ,集合 M ? {1, | a ? 5 |}, M ? U

, Cu M ? {5,7} ,则 a 的值为 A.2 或-8 B.-8 或-2 C.-2 或 8 D.2 或 8

2 . 设 a、b、c 分 别 是 ?ABC

中 ?A 、?B 、?C 所 对 边 的 边 长 , 则 直 线

(sin A) x ? ay ? c ? 0 与 bx ? (sin B ) y ? sin C ? 0 的位置关系是
A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直

3.已知点 A(3,2) ,B(-2,7) ,若直线 y=ax-3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1,则 a 的值为 A.3 B.-3 C.9 D.-9

4.若函数 f(x)=asinx-bcosx 在 x= A.a=-1,b= 3

? 处有最小值-2,则常数 a、b 的值是 3
C.a= 3,b=-1 D.a=- 3,b=1

B.a=1,b=- 3

5.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对称则 ab 的取值范围 是 A. (?? , ]

1 4

B. (0, ]

1 4

C. ( ?

1 ,0 ) 4

D. (?? , )

1 4

6.已知 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0时, f ( x) ? x ? 恒成立,则 m ? n 的最小值是 A.

4 , 且当 x ? [?3,?1]时, n ? f ( x) ? m x
4 3

1 3

B.

2 3

C.1

D.

7.已知等差数列{an}的前 2006 项的和 S2006=2008,其中所有的偶数项的和是 2,则 a1003 的 值为 A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3 ,直线 l 2 与 l1 关于直线 y ? ? x 对称,则直线 l 2 的斜率为 1 A. 2 1 B.- 2 C.2 D.-2

9.函数 y ? f ( x ) 的图象在点 x ? 5 处的切线方程是 y ? ? x ? 8, 则f (5) ? f ?(5) =

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A.1
2

B.2

C.0

D.

1 2

2 10.已知圆 x ? ? y ? 1? ? 2 上任一点 P ? x, y ? ,其坐标均使得不等 x ? y ? m ≥0 恒成立,

则实数 m 的取值范围是 A. ?1, ?? ? B. ? ??,1? C. ? ?3, ?? ? D. ? ??, ?3?

11.若将函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移,使图上点 P 的坐标由(1,0)变为( 2,2) , 2 0 0 8 A. y ? f ( x ? 1) ? 2 B. y ? f ( x ? 1) ? 2 1 0 C. y ? f ( x ? 1) ? 2 D. y ? f ( x ? 1) ? 2 1 5 12. 设 P 为曲线 C: y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 则平移后图象的解析式为

? ?? 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? ? 4? ?
A. ? ?1 , ? ? 2

? ?

1? ?

B. ? ?1 , 0?

C. ?0, 1?

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确答案写在答题纸上) 13. .设 f ?1 ( x) 是函数 f ( x ) ? 2 ? ( ) ? x 的反函数,则 f ?1 ( x) ? 1 成立的 x 的取值范围
x x

1 3





14.直线 l1: x ? 3 y ? 7 ? 0 ,l2: kx ? y ? 2 ? 0 与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外 接圆,则 k 的值等于 . 。

15.若向量 a ? (1,3), b ? ( x,?1) 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围为 16. 关于函数 f (x) =sin(2x① y=f(x)的周期为 π;

? ) (x∈R) 有下列命题: 4

? 是 y = f (x)的一条对称轴; 4 ? ③( ,0)是 y=f(x)的一个对称中心; 8 ? ④ 将 y = f(x)的图象向右平移 个单位,可得到 y=2sinxcosx 的图象. 4
②x=

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其中正确的命题序号是 (把你认为正确命题的序号都写上) .

三.解答题(共 70 分) 17.(10 分) 已知 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ,sin ? ),其中 0< ? < ? < ? . (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的长度相等,求 ? - ? 的值(k 为非零的常数).

2 2 2 18. (12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

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19. (12 分)已知等差数列 ?an ? 的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,数
2

列 ?bn ? 的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 1 ?

1 bn . 2

(1) 求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn .

20. (12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)经过点(0, 取值范围; 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,求 k 的

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21.(12 分) 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ,点 P 是函数 y ? f ( x) 图像上任意一点,点 P 关 于原点的对称点 Q 的轨迹是函数 y ? g ( x) 的图像 (1)当 0 ? a ? 1 时,解关于 x 的不等式 2 f ( x) ? g ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 1 ,且 x ? ?0,1) 时,总有 2 f ( x) ? g ( x) ? m 恒成立,求 m 的取值范围.

22.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

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参考答案
DBDDA DBABA CA 13. x ? 8
3

14.

3

1 15. x<3 且 x≠ 3

16. ①③

17. 解:(1)由题意得:a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β) a-b=(cos α-cos β, sin α-sin β) ∴(a+b)· (a-b)=(cos α+cos β)(cos α-cos β)+(sin α+sin β)(sin α-sin β) =cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0 ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2) 方法一:ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), a-kb=(cos α-kcos β, sin α-ksin β) | ka+b |= k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1 ,| a-kb |= k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1 由题意,得 4cos (β-α)=0,因为 0<α<β<π ,所以 β-α= 方法二:由| ka+b |=| a-kb |得:| ka+b |2=| a-kb |2 即(ka+b )2=( a-kb )2,k2| a |2+2ka?b+| b |2=| a |2-2ka?b+k2| b |2 由于| a |=1,| b |=1 ∴k2+2ka?b+1=1-2ka?b+k2,故 a?b=0, 即(cos ? ,sin ? )? (cos ? ,sin ? )=0 ? 10 分

?
2



cos ? cos ? ? sin? sin ? ? 0 ? cos(? ? ? ) ? 0

因为 0<α<β<π ,所以 β-α= 1 18. 解:(1) 由余弦定理:conB= 4 sin
2

?
2



A? B 1 +cos2B= 4 2

(2)由 cos B ?

1 15 , 得 sin B ? . ∵b=2, 4 4
8
1

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,S△ABC=2acsinB≤ 3 (a=c 时取等号)
2

2

1

15

故 S△ABC 的最大值为

15 3

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19. (Ⅰ)∵a3,a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {an } 的公差 d>0,
2

∴a3=5,a5=9,公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. 5?3
………………3 分

∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. 又当 n=1 时,有 b1=S1=1-

1 2 b1 ,? b1 ? . 2 3

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ? ∴数列{bn}是等比数列, b1 ? ∴ bn ? b1 q
n ?1

b 1 1 (bn?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn?1 3

2 1 ,q ? . 3 3

?

2(2n ? 1) 2(2n ? 1) , c n ?1 ? , …………9 分 n 3 3 n ?1 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ? ? ? 0. ∴ c n ?1 ? c n ? 3 n ?1 3n 3 n ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 c n ? a n bn ? ∴ cn?1 ? cn . …………………………12 分

2 . 3n

…………6 分

20. (Ⅰ) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , ∴ 由定义知,动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. ∴ a ? 2, c=1. ∴ b2 ? a 2 ? c2 ? 1 .
2 ∴ W: x ? y 2 ? 1 2

(y ? 0 ) .
2

(Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,得 x ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2 整理,得 ( 1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 . 2 因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于
1 2或 2. ,解得 ? ?8k 2 ?4 ( ? k2 ) ? 4 k2 ? 2 ? 0 k?? k? 2 2 2

(? ?, ? ∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k ?

2 2 ) ( , ??) 2 2

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21. 解:由题意知:P、Q 关于原点对称,设 Q(x,y)是函数 y=g(x)图像上任一点,则 P (-x,-y)是 f(x)=loga(x+1)上的点,所以-y=loga(-x+1),于是 g(x)=-loga(1-x). (1)0<a<1, 2 f ( x) ? g ( x) ? 0

?1 ? x ? 0 ? ? ?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 0 ?(1 ? x) 2 ? 1 ? x ?
? 0 ? a ? 1时,不等式2f(x)+g(x) ? 0解集为:?x -1<x ? 0?
(2) y ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)

a ? 1.当x ??0,1? 时
( x ? 1)2 ? m恒成立 1? x

2 f ( x) ? g ( x) ? m恒成立,即在x ? ?0,1?时,loga ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ? log a a m 恒成立 ? a m ? 1? x 1? x

即 : log a

( x ? 1)2 4 ? (1 ? x) ? ? 4, 0 ? x ? 1?1 ? x ? 0, 设 ? ( x) ? 1? x 1? x
4 可证( 1? x )? 在 ? 0,2? 1? x 且在 ? 2 ? , ? ? 0? 1 x ? ?? 1?x在 ( ? 0,1 ) ?

?? ( x)min ? 1,?am ? 1 ? a0 ,?m ? 0
22 解: (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1
3 2 2

当a

2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ? ?

当a

2

?a ? a 2 ? 3 3

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3
7 4

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

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