当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学特征方程法求递推数列的通项公式复习

高中数学特征方程法求递推数列的通项公式复习


特征方程法求递推数列的通项公式 一、 (一阶线性递推式)设已知数列 {an } 的项满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求 这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易 出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出 一个方程 x ? cx ? d , 称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理 形式进行阐述. 定理 1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x0 ,则当 x0 ? a1 时, an 为常数列,即

an ? a1 ;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 , 其 中 {bn } 是 以 c 为 公 比 的 等 比 数 列 , 即

bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 .
证 明 : 因 为 c ? 0,1, 由 特 征 方 程 得 x 0 ?

d . 作 换 元 bn ? an ? x0 , 则 1? c
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

bn ?1 ? a n ?1 ? x0 ? ca n ? d ?

d cd ? ca n ? ? c(a n ? x0 ) ? cb n . 1? c 1? c

当 x0 ? a1 时, b1 ? 0 ,数列 {bn } 是以 c 为公比的等比数列,故 bn ? b1c n?1 ; 当 x0 ? a1 时, b1 ? 0 , {bn } 为 0 数列,故 an ? a1 , n ? N. (证毕) 下面列举两例,说明定理 1 的应用. 例 1.已知数列 {an } 满足: a n ?1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n .

1 3

1 3 x ? 2, 则x 0 ? ? . 3 2 3 11 当 a1 ? 4 时, a1 ? x0 , b1 ? a1 ? ? . 2 2 1 ? 数 列 {bn } 是 以 为 公 比 的 等 比 数 3 1 11 1 3 3 11 1 bn ? b1 (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 , a n ? ? ? bn ? ? ? (? ) n ?1 , n ? N. 3 2 3 2 2 2 3
解:作方程 x ? ?



.





例 2.已知数列 {an } 满足递推关系: an?1 ? (2an ? 3)i, n ? N, 其中 i 为虚数单位。当 a1 取何 值时,数列 {an } 是常数数列? 解:作方程 x ? (2 x ? 3)i, 则 x 0 ?

? 6 ? 3i ? 6 ? 3i . 要使 an 为常数,即则必须 a1 ? x0 ? . 5 5

二、 (二阶线性递推式)定理 2:对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的 数列 ?an ? ,方程 x ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。
2

n n 若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, x1 ? x 2 时, 当 数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 , 其中 A, n n B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ,得到关于 n A、B 的方程组) ;当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? B) x1 ?1 ,其中 A,B 由

a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B
的方程组) 。
[来源:高&考%资(源#网 wxc]

例 3:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解法一(待定系数——迭加法) 由 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 ,得

a n ? 2 ? a n ?1 ?

2 (a n ?1 ? a n ) , 3

且 a2 ? a1 ? b ? a 。 则数列 ?an?1 ? an ?是以 b ? a 为首项,

2 为公比的等比数列,于是 3

2 a n ?1 ? a n ? (b ? a)( ) n ?1 。把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3

a2 ? a1 ? b ? a ,
2 a3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 2 a 4 ? a3 ? (b ? a) ? ( ) 2 , 3 ??? 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a)( ) n ? 2 。 3
把以上各式相加,得

[来源:Ks5u.com]

2 1 ? ( ) n ?1 2 2 2 3 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? (b ? a) 。 2 3 3 3 1? 3 2 2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3b ? 2a 。 3 3

[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

解法二(特征根法) :数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b 的 特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。
2

? x1 ? 1, x 2 ?

2 , 3

2 n ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 3
又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? ?b ? A ? 3 B ?B ? 3(a ? b) ?
故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( )

2 3

n ?1

三、(分式递推式)定理 3:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有

an?1 ?

pan ? q h (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特征 r ra n ? h
px ? q . rx ? h

方程 x ?

(1)当特征方程有两个相同的根 ? (称作特征根)时, 若 a1 ? ? , 则 an ? ? , n ? N; 若 a1 ? ? ,则 a n ?

1 1 r ? ? , n ? N, 其中 bn ? ? (n ? 1) , n ? N. 特别地,当存在 bn a1 ? ? p ? r?

n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时,无穷数列 {an } 不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 (称作特征根)时,则 a n ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N,

其中 cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 ( ) , n ? N, (其中a1 ? ?2 ). a1 ? ?2 p ? ?2 r an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

例 3、已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ? 解:依定理作特征方程 x ?

x?4 , 变形得 2x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?2. 故特征方 2x ? 3

程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有

cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n?1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2 ? 2

∴ cn ?

2 1 n ?1 (? ) , n ? N. 5 5

2 1 ? 2 ? (? ) n?1 ? 1 ? c ? ?1 5 5 ∴ an ? 2 n ? , n ? N. 2 1 n?1 cn ? 1 (? ) ? 1 5 5

(?5) n ? 4 即 an ? , n ? N. 2 ? (?5) n
例 5.已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 a n ?1 ? (1)若 a1 ? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在?

13a n ? 25 . an ? 3

13 x ? 25 . 变形得 x 2 ? 10x ? 25 ? 0, x?3 特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解答.
解:作特征方程 x ? (1)∵ a1 ? 5,? a1 ? ?. ?对于 n ? N, 都有 an ? ? ? 5; (2)∵ a1 ? 3,? a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r ? (n ? 1) a1 ? ? p ? r?

?

1 1 ? (n ? 1) ? 3?5 13 ? 1 ? 5 1 n ?1 ?? ? , 2 8

令 bn ? 0 ,得 n ? 5 .故数列 {an } 从第 5 项开始都不存在, 当 n ≤4, n ? N 时, a n ?

1 5n ? 17 ?? ? . bn n?5

(3)∵ a1 ? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r n ?1 ? (n ? 1) ? 1? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r 8

令 bn ? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, b n ? 0. ∴ an ?

1 ?? ? bn

1 5n ? 43 ?5? , n ? N. n ?1 n?7 1? 8

练习题: 求下列数列的通项公式: 1、 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, a2 ? 7, an ? 2an?1 ? 3an?2 (n ? 3) , 求 an 。( key :

an ? 2 ? 3n?1 ? (?1) n?2 )
2、 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, 且 an ? 5an?1 ? 4an?2 ,求 an 。 (key: a n ?

1 n (4 ? 1) ) 3

3、 在数列 {an } 中,a1 ? 3, a2 ? 7, an ? 3an?1 ? 2an?2 (n ? 3) ,求 an 。 (key:an ? 2 n?1 ? 1) 4、 在数列 {an } 中, 1 ? 3, a2 ? 2, a n ? 2 ? a 5、 在数列 {an } 中, a1 ? 3, a 2 ?

5 , an?2 3

2 1 7 1 1 n?2 a n ?1 ? a n , an 。 a 求 (key: n ? ? ? (? ) ) 3 3 4 4 3 1 2 ? (4a n ?1 ? a n ) ,求 an 。 (key: a n ? 1 ? n ?1 ) 3 3

6、 在数列 {an } 中,a1 ? a, a2 ? b, an?2 ? pan?1 ? qan , p ? q ? 1 .求 an . key:q ? 1 时, 且 (

aq ? b ? (b ? a)(?q) n?1 ) an ? a ? (n ? 1)(b ? a) ; q ? 1 时, an ? 1? q
7、 在数列 {an } 中, a1 ? a, a2 ? a ? b, pan?2 ? ( p ? q)an?1 ? qan ? 0 ( p, q 是非 0 常数). 求 an .(key: an ? a ?

p q n?1 [1 ? ( )]b ( p ? q ); an ? a1 ? (n ? 1)b )( p ? q ) p?q p

8









{an }





a1 , a 2







an ? ban?1 ? can?2

.



an .(key: an ?

? n?1 ? ? n?1 c( ? n ? 2 ? ? n ? 2 ) ? a2 ? ? a1 (? ? ? ) ;若 ? ? ? ,上式不能应用,此 ? ?? ? ??

时, an ? (n ? 1)a2 ? ? n?2 ? (n ? 2)a1? n?1.

附定理 3 的证明 定理 3(分式递推问题):如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有

an?1 ?

pan ? q h (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特征 r ra n ? h
px ? q . rx ? h

方程 x ?

(1)当特征方程有两个相同的根 ? (称作特征根)时, 若

a1 ? ? ,



an ? ? , n ? N;



a1 ? ?





an ?

1 ? ? , n ? N, bn





bn ?
存在.

1 r ? (n ? 1) , n ? N. 特别地,当存在 n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时,无穷数列 {an } 不 a1 ? ? p ? r?

(2)当特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 (称作特征根)时,则 a n ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N, 其

中 cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 ( ) , n ? N, (其中a1 ? ?2 ). a1 ? ?2 p ? ?2 r

证明:先证明定理的第(1)部分. 作交换 d n ? an ? ?, n ? N 则 d n ?1 ? a n ?1 ? ? ?

pan ? q ?? ra n ? h

?

an ( p ? ?r ) ? q ? ?h ra n ? h (d n ? ? )( p ? ?r ) ? q ? ?h r (d n ? ? ) ? h

?

?

d n ( p ? ?r ) ? [r?2 ? ? (h ? p) ? q] rd n ? h ? r?



∵ ? 是特征方程的根,∴ ? ? 将该式代入①式得 d n ?1 ? 将x?

p? ? q ? r?2 ? ? (h ? p) ? q ? 0. r? ? h


d n ( p ? ?r ) , n ? N. rd n ? h ? ?r

p 代入特征方程可整理得 ph ? qr, 这与已知条件 ph ? qr 矛盾.故特征方程的根 r


? ?

p , 于是 p ? ?r ? 0. r

当 d1 ? 0 ,即 a1 ? d1 ? ? = ? 时,由②式得 bn ? 0, n ? N, 故 an ? d n ? ? ? ? , n ? N. 当 d1 ? 0 即 a1 ? ? 时,由②、③两式可得 d n ? 0, n ? N. 此时可对②式作如下变化:

1 d n?1

?

rd n ? h ? ?r h ? ?r 1 r ? ? ? . d n ( p ? ?r ) p ? ?r d n p ? ?r



由 ? 是方程 x ?

px ? q p?h . 的两个相同的根可以求得 ? ? rx ? h 2r p?h h? r h ? ?r h? p 2r ∴ ? ? ? 1, p?h p ? ?r p?h p? r 2r

将此式代入④式得

1 d n?1

?

1 r ? , n ? N. d n p ? ?r

令 bn ? 数列.

r r 1 , n ? N. 故数列 {bn } 是以 为公差的等差 , n ? N. 则 bn?1 ? bn ? p ? ?r p ? ?r dn

∴ bn ? b1 ? (n ? 1) ?

r , n ? N. p ? ?r

其中 b1 ?

1 1 ? . d1 a1 ? ? 1 ? ? , n ? N. bn

当 n ? N, bn ? 0 时, a n ? d n ? ? ?

当存在 n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时, a n0 ? d n0 ? ? ?

1 ? ? 无意义.故此时,无穷数列 {an } 是 bn0

不存在的. 再证明定理的第(2)部分如下: ∵特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 ,∴其中必有一个特征根不等于 a1 ,不妨令 ?2 ? a1 . 于是可作变换 cn ?

an ? ?1 , n ? N. an ? ?2

故 c n ?1 ?

a n ?1 ? ?1 pan ? q ,将 a n ?1 ? 代入再整理得 a n ?1 ? ? 2 ra n ? h


cn?1 ?

a n ( p ? ?1r ) ? q ? ?1h ,n? N an ( p ? ?2 r ) ? q ? ?2 h

由第(1)部分的证明过程知 x ?

p p p 不是特征方程的根,故 ?1 ? , ? 2 ? . r r r

故 p ? ?1r ? 0, p ? ?2 r ? 0. 所以由⑤式可得:

c n ?1

q ? ?1 h p ? ?1 r p ? ?1 r ? ? ,n? N q ? ?2 h p ? ?2 r an ? p ? ?2 r an ?



∵特征方程 x ?

px ? q 2 有两个相异根 ?1 、 ?2 ? 方程 rx ? x(h ? p) ? q ? 0 有两个相异 rx ? h

根 ?1 、 ?2 ,而方程 ? x ?

q ? xh 与方程 rx 2 ? x(h ? p) ? q ? 0 又是同解方程. p ? xr



q ? ?1h q ? ?2 h ? ??1 , ? ??2 p ? ?1r p ? ?2 r
[来源:高&考%资(源#网 wxc]

将上两式代入⑥式得

cn?1 ?

p ? ?1r an ? ?1 p ? ?1r ? ? cn , n ? N p ? ?2 r an ? ?2 p ? ?2 r p ? ?1 r .此时对于 n ? N 都有 p ? ?2 r

当 c1 ? 0, 即 a1 ? ?1 时,数列 {cn } 是等比数列,公比为

cn ? c1 (

p ? ?1r n?1 a ? ?1 p ? ?1 r n?1 ) ?( 1 )( ) . p ? ?2 r a1 ? ?2 p ? ?2 r

当 c1 ? 0 即 a1 ? ?1 时,上式也成立. 由 cn ?

an ? ?1 且 ?1 ? ?2 可知 cn ? 1, n ? N. an ? ?2

所以 a n ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N. (证毕)

注:当 ph ? qr 时,

pan ? q pan ? q 会退化为常数;当 r ? 0 时, a n ?1 ? 可化归为较易解的 ra n ? h ra n ? h

递推关系,在此不再赘述.


赞助商链接
更多相关文档:

特征方程求递推数列通项公式

特征方程求递推数列通项公式_数学_高中教育_教育专区。特征方程求递推数列通项公式 一、一阶线性递推数列通项公式的研究与探索若数列 ?an ? 满足 a1 ? b, ...

特征方程法求递推数列的通项公式

特征方程法求递推数列的通项公式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。特征方程法求递推数列的通项公式 高考数学专题讲座 授人以鱼,不如授人以渔.让数学不再成为...

(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式

(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式 高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国...复习 教案 集合 概念 竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 ...

(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式

递推数列通项公式求法 暂无评价 3页 2.00元 (第45讲)高中数学复习专题....特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、 (一阶线性递推式)设已知数列 { ...

特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项_高三数学_数学_高中教育_教育专区。特征方程法求解递推关系中的数列通项 高考数学一轮专题复习讲座 第 45 讲 特征方程法...

递推数列的特征方程法探究

递推数列的特征方程法探究 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 递推数列的特征方程法探究 作者:蔡军军 来源:《中小学教学研究》2014 年第 04 期 数列...

数列的特征方程

数列的特征方程_数学_高中教育_教育专区。递推数列特征方程的来源与应用递推是中学...d (c ? 1), 其通项公式求法一般采用如下的参数法[1],将递推数列转化...

递推数列的特征根法

递推数列的特征根法_数学_高中教育_教育专区。专题一、形如 形如 征根法求通项 若①有二异根 若①有二重根 再利用 例 1 已知数列 求递推数列通项的...

三大类递推数列通项公式的求法

三大类递推数列通项公式求法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数列难点...∴ , . 将上面几个式子累乘,得 ,即 . ∵ 也满足上式,∴ . 特征方程法...

线性递推数列的特征方程

线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、 二项...特征方程法求递推数列的... 11页 免费 喜欢...数列特征方程的来源与应... 4页 免费 二轮复习班会...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com