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高中数学特征方程法求递推数列的通项公式复习


特征方程法求递推数列的通项公式 一、 (一阶线性递推式)设已知数列 {an } 的项满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求 这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易 出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出 一个方程 x ? cx

? d , 称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理 形式进行阐述. 定理 1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x0 ,则当 x0 ? a1 时, an 为常数列,即

an ? a1 ;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 , 其 中 {bn } 是 以 c 为 公 比 的 等 比 数 列 , 即

bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 .
证 明 : 因 为 c ? 0,1, 由 特 征 方 程 得 x 0 ?

d . 作 换 元 bn ? an ? x0 , 则 1? c
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bn ?1 ? a n ?1 ? x0 ? ca n ? d ?

d cd ? ca n ? ? c(a n ? x0 ) ? cb n . 1? c 1? c

当 x0 ? a1 时, b1 ? 0 ,数列 {bn } 是以 c 为公比的等比数列,故 bn ? b1c n?1 ; 当 x0 ? a1 时, b1 ? 0 , {bn } 为 0 数列,故 an ? a1 , n ? N. (证毕) 下面列举两例,说明定理 1 的应用. 例 1.已知数列 {an } 满足: a n ?1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n .

1 3

1 3 x ? 2, 则x 0 ? ? . 3 2 3 11 当 a1 ? 4 时, a1 ? x0 , b1 ? a1 ? ? . 2 2 1 ? 数 列 {bn } 是 以 为 公 比 的 等 比 数 3 1 11 1 3 3 11 1 bn ? b1 (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 , a n ? ? ? bn ? ? ? (? ) n ?1 , n ? N. 3 2 3 2 2 2 3
解:作方程 x ? ?



.





例 2.已知数列 {an } 满足递推关系: an?1 ? (2an ? 3)i, n ? N, 其中 i 为虚数单位。当 a1 取何 值时,数列 {an } 是常数数列? 解:作方程 x ? (2 x ? 3)i, 则 x 0 ?

? 6 ? 3i ? 6 ? 3i . 要使 an 为常数,即则必须 a1 ? x0 ? . 5 5

二、 (二阶线性递推式)定理 2:对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的 数列 ?an ? ,方程 x ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。
2

n n 若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, x1 ? x 2 时, 当 数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 , 其中 A, n n B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ,得到关于 n A、B 的方程组) ;当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? B) x1 ?1 ,其中 A,B 由

a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B
的方程组) 。
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例 3:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解法一(待定系数——迭加法) 由 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 ,得

a n ? 2 ? a n ?1 ?

2 (a n ?1 ? a n ) , 3

且 a2 ? a1 ? b ? a 。 则数列 ?an?1 ? an ?是以 b ? a 为首项,

2 为公比的等比数列,于是 3

2 a n ?1 ? a n ? (b ? a)( ) n ?1 。把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3

a2 ? a1 ? b ? a ,
2 a3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 2 a 4 ? a3 ? (b ? a) ? ( ) 2 , 3 ??? 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a)( ) n ? 2 。 3
把以上各式相加,得

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2 1 ? ( ) n ?1 2 2 2 3 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? (b ? a) 。 2 3 3 3 1? 3 2 2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3b ? 2a 。 3 3

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解法二(特征根法) :数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b 的 特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。
2

? x1 ? 1, x 2 ?

2 , 3

2 n ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 ?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 3
又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? ?b ? A ? 3 B ?B ? 3(a ? b) ?
故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( )

2 3

n ?1

三、(分式递推式)定理 3:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有

an?1 ?

pan ? q h (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特征 r ra n ? h
px ? q . rx ? h

方程 x ?

(1)当特征方程有两个相同的根 ? (称作特征根)时, 若 a1 ? ? , 则 an ? ? , n ? N; 若 a1 ? ? ,则 a n ?

1 1 r ? ? , n ? N, 其中 bn ? ? (n ? 1) , n ? N. 特别地,当存在 bn a1 ? ? p ? r?

n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时,无穷数列 {an } 不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 (称作特征根)时,则 a n ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N,

其中 cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 ( ) , n ? N, (其中a1 ? ?2 ). a1 ? ?2 p ? ?2 r an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

例 3、已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ? 解:依定理作特征方程 x ?

x?4 , 变形得 2x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?2. 故特征方 2x ? 3

程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有

cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n?1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2 ? 2

∴ cn ?

2 1 n ?1 (? ) , n ? N. 5 5

2 1 ? 2 ? (? ) n?1 ? 1 ? c ? ?1 5 5 ∴ an ? 2 n ? , n ? N. 2 1 n?1 cn ? 1 (? ) ? 1 5 5

(?5) n ? 4 即 an ? , n ? N. 2 ? (?5) n
例 5.已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 a n ?1 ? (1)若 a1 ? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在?

13a n ? 25 . an ? 3

13 x ? 25 . 变形得 x 2 ? 10x ? 25 ? 0, x?3 特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解答.
解:作特征方程 x ? (1)∵ a1 ? 5,? a1 ? ?. ?对于 n ? N, 都有 an ? ? ? 5; (2)∵ a1 ? 3,? a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r ? (n ? 1) a1 ? ? p ? r?

?

1 1 ? (n ? 1) ? 3?5 13 ? 1 ? 5 1 n ?1 ?? ? , 2 8

令 bn ? 0 ,得 n ? 5 .故数列 {an } 从第 5 项开始都不存在, 当 n ≤4, n ? N 时, a n ?

1 5n ? 17 ?? ? . bn n?5

(3)∵ a1 ? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r n ?1 ? (n ? 1) ? 1? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r 8

令 bn ? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, b n ? 0. ∴ an ?

1 ?? ? bn

1 5n ? 43 ?5? , n ? N. n ?1 n?7 1? 8

练习题: 求下列数列的通项公式: 1、 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, a2 ? 7, an ? 2an?1 ? 3an?2 (n ? 3) , 求 an 。( key :

an ? 2 ? 3n?1 ? (?1) n?2 )
2、 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, 且 an ? 5an?1 ? 4an?2 ,求 an 。 (key: a n ?

1 n (4 ? 1) ) 3

3、 在数列 {an } 中,a1 ? 3, a2 ? 7, an ? 3an?1 ? 2an?2 (n ? 3) ,求 an 。 (key:an ? 2 n?1 ? 1) 4、 在数列 {an } 中, 1 ? 3, a2 ? 2, a n ? 2 ? a 5、 在数列 {an } 中, a1 ? 3, a 2 ?

5 , an?2 3

2 1 7 1 1 n?2 a n ?1 ? a n , an 。 a 求 (key: n ? ? ? (? ) ) 3 3 4 4 3 1 2 ? (4a n ?1 ? a n ) ,求 an 。 (key: a n ? 1 ? n ?1 ) 3 3

6、 在数列 {an } 中,a1 ? a, a2 ? b, an?2 ? pan?1 ? qan , p ? q ? 1 .求 an . key:q ? 1 时, 且 (

aq ? b ? (b ? a)(?q) n?1 ) an ? a ? (n ? 1)(b ? a) ; q ? 1 时, an ? 1? q
7、 在数列 {an } 中, a1 ? a, a2 ? a ? b, pan?2 ? ( p ? q)an?1 ? qan ? 0 ( p, q 是非 0 常数). 求 an .(key: an ? a ?

p q n?1 [1 ? ( )]b ( p ? q ); an ? a1 ? (n ? 1)b )( p ? q ) p?q p

8









{an }





a1 , a 2







an ? ban?1 ? can?2

.



an .(key: an ?

? n?1 ? ? n?1 c( ? n ? 2 ? ? n ? 2 ) ? a2 ? ? a1 (? ? ? ) ;若 ? ? ? ,上式不能应用,此 ? ?? ? ??

时, an ? (n ? 1)a2 ? ? n?2 ? (n ? 2)a1? n?1.

附定理 3 的证明 定理 3(分式递推问题):如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有

an?1 ?

pan ? q h (其中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) ,那么,可作特征 r ra n ? h
px ? q . rx ? h

方程 x ?

(1)当特征方程有两个相同的根 ? (称作特征根)时, 若

a1 ? ? ,



an ? ? , n ? N;



a1 ? ?





an ?

1 ? ? , n ? N, bn





bn ?
存在.

1 r ? (n ? 1) , n ? N. 特别地,当存在 n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时,无穷数列 {an } 不 a1 ? ? p ? r?

(2)当特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 (称作特征根)时,则 a n ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N, 其

中 cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 ( ) , n ? N, (其中a1 ? ?2 ). a1 ? ?2 p ? ?2 r

证明:先证明定理的第(1)部分. 作交换 d n ? an ? ?, n ? N 则 d n ?1 ? a n ?1 ? ? ?

pan ? q ?? ra n ? h

?

an ( p ? ?r ) ? q ? ?h ra n ? h (d n ? ? )( p ? ?r ) ? q ? ?h r (d n ? ? ) ? h

?

?

d n ( p ? ?r ) ? [r?2 ? ? (h ? p) ? q] rd n ? h ? r?



∵ ? 是特征方程的根,∴ ? ? 将该式代入①式得 d n ?1 ? 将x?

p? ? q ? r?2 ? ? (h ? p) ? q ? 0. r? ? h


d n ( p ? ?r ) , n ? N. rd n ? h ? ?r

p 代入特征方程可整理得 ph ? qr, 这与已知条件 ph ? qr 矛盾.故特征方程的根 r


? ?

p , 于是 p ? ?r ? 0. r

当 d1 ? 0 ,即 a1 ? d1 ? ? = ? 时,由②式得 bn ? 0, n ? N, 故 an ? d n ? ? ? ? , n ? N. 当 d1 ? 0 即 a1 ? ? 时,由②、③两式可得 d n ? 0, n ? N. 此时可对②式作如下变化:

1 d n?1

?

rd n ? h ? ?r h ? ?r 1 r ? ? ? . d n ( p ? ?r ) p ? ?r d n p ? ?r



由 ? 是方程 x ?

px ? q p?h . 的两个相同的根可以求得 ? ? rx ? h 2r p?h h? r h ? ?r h? p 2r ∴ ? ? ? 1, p?h p ? ?r p?h p? r 2r

将此式代入④式得

1 d n?1

?

1 r ? , n ? N. d n p ? ?r

令 bn ? 数列.

r r 1 , n ? N. 故数列 {bn } 是以 为公差的等差 , n ? N. 则 bn?1 ? bn ? p ? ?r p ? ?r dn

∴ bn ? b1 ? (n ? 1) ?

r , n ? N. p ? ?r

其中 b1 ?

1 1 ? . d1 a1 ? ? 1 ? ? , n ? N. bn

当 n ? N, bn ? 0 时, a n ? d n ? ? ?

当存在 n0 ? N, 使 bn0 ? 0 时, a n0 ? d n0 ? ? ?

1 ? ? 无意义.故此时,无穷数列 {an } 是 bn0

不存在的. 再证明定理的第(2)部分如下: ∵特征方程有两个相异的根 ?1 、 ?2 ,∴其中必有一个特征根不等于 a1 ,不妨令 ?2 ? a1 . 于是可作变换 cn ?

an ? ?1 , n ? N. an ? ?2

故 c n ?1 ?

a n ?1 ? ?1 pan ? q ,将 a n ?1 ? 代入再整理得 a n ?1 ? ? 2 ra n ? h


cn?1 ?

a n ( p ? ?1r ) ? q ? ?1h ,n? N an ( p ? ?2 r ) ? q ? ?2 h

由第(1)部分的证明过程知 x ?

p p p 不是特征方程的根,故 ?1 ? , ? 2 ? . r r r

故 p ? ?1r ? 0, p ? ?2 r ? 0. 所以由⑤式可得:

c n ?1

q ? ?1 h p ? ?1 r p ? ?1 r ? ? ,n? N q ? ?2 h p ? ?2 r an ? p ? ?2 r an ?



∵特征方程 x ?

px ? q 2 有两个相异根 ?1 、 ?2 ? 方程 rx ? x(h ? p) ? q ? 0 有两个相异 rx ? h

根 ?1 、 ?2 ,而方程 ? x ?

q ? xh 与方程 rx 2 ? x(h ? p) ? q ? 0 又是同解方程. p ? xr



q ? ?1h q ? ?2 h ? ??1 , ? ??2 p ? ?1r p ? ?2 r
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将上两式代入⑥式得

cn?1 ?

p ? ?1r an ? ?1 p ? ?1r ? ? cn , n ? N p ? ?2 r an ? ?2 p ? ?2 r p ? ?1 r .此时对于 n ? N 都有 p ? ?2 r

当 c1 ? 0, 即 a1 ? ?1 时,数列 {cn } 是等比数列,公比为

cn ? c1 (

p ? ?1r n?1 a ? ?1 p ? ?1 r n?1 ) ?( 1 )( ) . p ? ?2 r a1 ? ?2 p ? ?2 r

当 c1 ? 0 即 a1 ? ?1 时,上式也成立. 由 cn ?

an ? ?1 且 ?1 ? ?2 可知 cn ? 1, n ? N. an ? ?2

所以 a n ?

?2 cn ? ?1
cn ? 1

, n ? N. (证毕)

注:当 ph ? qr 时,

pan ? q pan ? q 会退化为常数;当 r ? 0 时, a n ?1 ? 可化归为较易解的 ra n ? h ra n ? h

递推关系,在此不再赘述.


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