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【高中数学苏教版必修4 】3.1~3.2综合测试题


【高中数学苏教版必修 4 】3.1~3.2 综合测试题
一、选择题 1.已知 cos(? ? ? ) ? A. 0

4 4 , cos(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? cos ? 的值为( 5 5 4 4 4 B. C. 0 或 D. 0 或 ? 5 5 5



答案:A.

>2.如果

tan ? sin(? ? ? ) m ? ,那么 等于( tan ? sin(? ? ? ) n
B.



A.

m?n m?n

m?n m?n

C.

n?m n?m

D.

n?m n?m

答案:A. 3.已知 ?,?,? 均为锐角,且 tan ? ? ( A. )

1 1 1 , tan ? ? , tan ? ? ,则 ?,?,? 的值为 2 5 8
D.

π 6

B.

π 4

C.

π 3

5π 4

答案:B.

E ? sin C , F ? sin A ? sin B , G ? cos A ? cos B , F , G C ? 90? , 4. 在 △ ABC 中, 则 E,
之间的大小关系为( ) G ? F ? E A. B. E ? F ? G 答案:A. C. F ? E ? G D. F ? G ? E

?π ? ?π ? cos ? ? x ? ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ? 的值为( 5.化简: ?π ? ?π ? cos ? ? x ? ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ?
A. tan



x 2

B. tan 2 x

C. ? tan x

D. cot x

答案:C. 6.若 A,B 为锐角三角形的两个锐角,则 tan A tan B 的值( )

A.不大于 1 答案:D.

B.小于 1

C.等于 1

D.大于 1

二、填空题 7.若 sin ?

?π ? 3 ? ? ? ? ,则 cos 2? ? ______. ?2 ? 5

答案: ?

7 25 1 ,则 sin ? sin ? 的取值范围是______. 2

8.若 cos ? cos ? ?

答案: ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

三、解答题 9.在 △ ABC 中,∠B ? 60 ,且 tan A tan C ? 2 ? 3 ,求角 A,C 的度数.
?

解:?∠B ? 60 且 A ? B ? C ? 180 ,
? ?

? A ? C ? 120? ,
? tan( A ? C ) ? tan A ? tan C ?? 3. 1 ? tan A tan C

由 tan A tan C ? 2 ? 3 ,

? tan A ? tan C ? 3 ? 3 ,
? tan A , tan C 可看作方程 x2 ? (3 ? 3) x ? (2 ? 3) ? 0 的两根.
解方程得 x1 ? 1 , x2 ? 2 ? 3 . 当 tan A ? 1 , tan C ? 2 ? 3 时, A ? 45 , C ? 75 .
? ?
? ? 当 tan C ? 1 , tan A ? 2 ? 3 时, A ? 75 , C ? 45 .

o s 4 10. 若已知方程 x ? (tan ? ? cot ? ) x ? 1 ? 0 有两个实根, 且其中一个根是 2 ? 3 , 求c
2

?

的值. 解:? 方程 x2 ? (tan ? ? cot ? )2 x ? 1 ? 0 有两个实根,

4 ? sin ? cos ? ? ?? ? (tan ? ? cot ? ) ? 4 ? ? ? ? 4 ≥ 0 ,即 sin 2 2? ≤1 . ? ?4 ? 2 sin 2? ? cos? sin ? ?
2

2

设另一个根为 m ,则由根与系数的关系可得,

(2 ? 3)m ? 1 ,于是 m ?
故 tan ? ? cot ? ? 4 ,即

1 ? 2? 3 , 2? 3

2 ? 4, sin 2?

1 2 (满足 sin 2? ≤1 ) . 2 1 ? cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? ? . 2 ? sin 2? ?

11.已知函数 y ? 集合.

1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 1( x ? R) ,求函数的最大值及对应自变量 x 的 2 2

解: y ?

1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1 2 2

1 3 5 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 4 4 4 1 ? π? 5 ? sin ? 2 x ? ? ? , 2 ? 6? 4
y 取最大值,只需 2 x ?
即 x ? kπ ?

π π ? ? 2kπ(k ? Z) , 6 2

π (k ? Z) , 6

? ymax ?

7 . 4

7 ? π ? ? 当函数 y 取最大值 时,自变量 x 的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z ? . 4 6 ? ?
12.如图,在某点 B 处测得建筑物 AE 的项点 A 的仰角为 ? ,沿 B 前进 30 米至 C 点处测得 顶点 A 的仰角为 2? ,再继续前进 10 3 米至 D 点,测得顶点 A 的仰角为 4? ,求 ? 的大小

及建筑物 AE 的高.

解:由已知 BC ? 30 米, CD ? 10 3 米,∠ABE ? ? ,∠ACE ? 2? , ∠ADE ? 4? , 在 Rt△ ABE 中, BE ? AE cot ? , 在 Rt△ ACE 中, CE ? AE cot 2? ,

? BC ? BE ? CE ? AE (cot ? ? cot 2? ) .
同理可得: CD ? AE (cot 2? ? cot 4? ) .

?

BC AE (cot ? ? cot 2? ) ? , DC AE (cot 2? ? cot 2? ) cot ? ? cot 2? 30 ? ? 3, cot 2? ? cot 4? 10 3



cot ? cos 2? ? sin ? sin 2? sin 2? cos ? ? cos 2? sin ? 1 ? ? . sin ? sin 2? sin 2? 1 同理可得 cot 2? ? cot 4? ? . sin 4? cot ? ? cot 2? sin 4? ? ? ? 2 cos 2? ? 3 , cot 2? ? cot 4? cos 2?
而 cot ? ? cot 2? ?

? cos 2? ?
? AE ?

3 ? ? ,结合题意可知: 2? ? 30 , ? ? 15 , 2

BC ? BC sin 2? ? 15 (米) . cot ? ? cot 2?


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