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2013-2014学年高中数学 第二章 2.3 等差数列的前n项和(一)课件 新人教A版必修5


【学习目标】 1.理解等差数列前 n 项和公式的推导过程. 2.熟练掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn 的关系, 能够由其中三个求另外两个. 3.掌握等差数列前 n 项和公式及性质的应用. 【学法指导】 1.运用等差数列的前 n 项和公式的关键在于准确把握它们 的结构特征,这样才能根据具体情境(已知条件和待求目 标)选用恰当的公式解决问题. 2.要善于从推导等差数列

的前 n 项和公式中,归纳总结出 一般的求和方法——倒序相加法.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.把 a1+a2+?+an 叫数列{an}的前 n 项和,记做 Sn .例如 a1 +a2+?+a16 可以记做 S16 ;a1+a2+a3+?+an-1= Sn-1 (n≥2). 2.若{an}是等差数列,则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn n?a1+an? 2 = ;若首项为 a1,公差为 d,则 Sn 可以表示为 Sn 1 na1+2n(n-1)d . =

填一填·知识要点、记下疑难点

3.写出下列常见等差数列的前 n 项和 1 n(n+1) (1)1+2+3+?+n= 2 . (2)1+3+5+?+(2n-1)= n2 . (3)2+4+6+?+2n= n2+n . 4.等差数列{an}中 (1)已知 d=2,n=15,an=-10,则 Sn=________; -360 17 (2)已知 a1=20,an=54,Sn=999,则 d=________; 13 5 1 15 (3)已知 a1= ,d=- ,Sn=-5,则 n=________. 6 6

研一研·问题探究、课堂更高效

[问题情境] “数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被 誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同 享盛名. 高斯十岁那年,老师布置了一道很繁杂的计算题,要求学生 把 1 到 100 的所有整数加起来,老师刚叙述完题目,高斯即 刻把写着答案的小石板交了上去.老师起初并不在意这一举 动,但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大吃一 惊.而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最 后一个数的和是 101,第二个数加倒数第二个数的和也是

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101,?共有 50 对这样的数,用 101 乘以 50 得到 5 050, 这种算法是教师未曾教过的方法,高斯自己就想出来了, 那么这是一个什么样的方法呢?它用于解决什么类型的 问题呢? 这种方法叫倒序相加法,是等差数列求和的一种重要方 法,这一节我们就来学习等差数列的求和方法.

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探究点一 等差数列前 n 项和公式的推导

问题 求和:1+2+3+?+100=? 对于这个问题, 著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结 果.当时他的思路和解答方法是:S=1+2+3+?+99+ 100,把加数倒序写一遍:S=100+99+98+?+2+1. 所以有 2S=(1+100)+(2+99)+?+(99+2)+(100+1)= 100×101,∴S=50×101=5 050. 请你利用“高斯的算法”求 1+2+3+?+n=?

解 设 Sn=1+2+3+?+(n-1)+n,
又 Sn=n+(n-1)+(n-2)+?+2+1,
∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+?+[(n-1)+2]+(n+1), n?n+1? ∴2Sn=n(n+1),∴Sn= 2 .

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探究 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,你能利用“倒 序相加法”求等差数列{an}的前 n 项和 Sn 吗?
解 Sn=a1+a2+a3+?+an-1+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+?+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],
Sn=an+an-1+an-2+?+a2+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+?+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d],
∴2Sn=(a1+an)×n,
n?a1+an? 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式:Sn= . 2
根据等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,
n?n-1? 代入上式可得 Sn=na1+ 2 d.

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探究点二 探究 1

等差数列前 n 项和的性质

设{an}是等差数列,公差为 d,Sn 是前 n 项和,易知

a1+a2+?+am,am+1+am+2+?+a2m,a2m+1+a2m+2+? +a3m 也成等差数列,公差为 m2d .上述性质可以用前 n 项 和符号 Sn 表述为:若{an}成等差数列,则 Sm, S2m-Sm ,
S3m-S2m _________也成等差数列.

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Sn 探究 2 若数列{an}是公差为 d 的等差数列,求证:数列{ n } 也是等差数列.
证明 ∵{an}是等差数列,公差为 d,
n?n-1? d 2 d ∴Sn=na1+ d= n +(a1- )n, 2 2 2 Sn d d ∴ n =2n+(a1-2), Sn+1 Sn d ∴ - = (常数), n+1 n 2 Sn d ∴数列{ n }为等差数列,公差为2.

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探究 3 设 Sn、 n 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和, T an S2n-1 证明:b = . T2n-1 n
2n-1 1 证明 ∵S2n-1=2(2n-1)(a1+a2n-1)= 2 · n=(2n-1)an; 2a
同理 T2n-1=(2n-1)bn;
S2n-1 ?2n-1?an an ∴ = = . T2n-1 ?2n-1?bn bn an S2n-1 即b = . T2n-1 n

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【典型例题】 例1 在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n.
?an=a1+?n-1?d, ? 解 由? n?n-1? ?Sn=na1+ 2 d, ? ?a1+2?n-1?=11, ? 得? n?n-1? ?na1+ 2 ×2=35, ? ?n=5 ?n=7, ? ? ? 解方程组得 或? ?a1=3 ?a1=-1. ? ?

小结

在解决等差数列问题时,如已知 a1,an,n,d,Sn 中任

意三个,可求其余两个,这种问题在数学上常称为“知三求 二”型.

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跟踪训练 1 已知等差数列{an}中, 3 1 (1)a1= ,d=- ,Sn=-15,求 n 及 an; 2 2 (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d.
3 n?n-1? 1 解 (1)∵Sn=n·+ (- )=-15, 2 2 2
整理得 n2-7n-60=0,解之得 n=12 或 n=-5(舍去), 3 1 a12= +(12-1)×(- )=-4. 2 2 n?a1+an? n?1-512? (2)由 Sn= = =-1 022, 2 2
解之得 n=4. 又由 an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,

解之得 d=-171.

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例2 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,

求数列{an}的前 3m 项的和 S3m; (2)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已 Sn 7n+2 a5 知T = ,求 的值. b5 n+3 n
解 (1)方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等 差数列.
∴30,70,S3m-100 成等差数列.

∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.

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Sm S2m S3m 方法二 在等差数列中, m , , 成等差数列, 2m 3m 2S2m Sm S3m ∴ 2m = m +3m .
即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
a5 9?a1+a9? S9 65 (2) = = = . b5 9?b1+b9? T9 12
小结 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中,如果 运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.

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跟踪训练 2 设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和, ?Sn? ? ? 已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列? n ?的前 n 项和,求 Tn. ? ? ? ? 1 解 设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+2n(n-1)d,
?7a +21d=7 ? 1 ∵S7=7,S15=75,∴? ?15a1+105d=75 ?
?a =-2 ? 1 解得? ?d=1 ?

?a +3d=1 ? 1 ,即? ?a1+7d=5 ?



Sn 1 1 ,∴ n =a1+2(n-1)d=-2+2(n-1), Sn+1 Sn 1 ∵ - = , n+1 n 2 ?Sn? 1 ? ? ? ?是等差数列,其首项为-2,公差为 , ∴数列 n 2 ? ? ? ?
n?n-1? 1 1 9 ∴Tn=n(-2)+ 2 ×2=4n2-4n.

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例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动, 甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙 每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比 前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m,那么开始运动 几分钟后第二次相遇?

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解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意, n?n-1? 有 2n+ 2 +5n=70, 整理得 n2+13n-140=0.解之得 n=7,n=-20(舍去).
第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟.
(2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意, n?n-1? 有 2n+ 2 +5n=3×70, 整理得 n2+13n-420=0.解之得 n=15,n=-28(舍去).

第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟.

小结

建立等差数列的模型时,注意相遇时甲、乙两人的路

程和是两个等差数列的前 n 项和.

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跟踪训练 3 现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形 垛, 要使剩余的钢管尽可能少, 那么剩余钢管的根数为( B ) A.9 B.10 C.19 D.29
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差 数列,最上面一层钢管数为 1,逐层增加 1 个.

n?n+1? ∴钢管总数为:1+2+3+?+n= 2 .
当 n=19 时,S19=190.当 n=20 时,S20=210>200.
∴n=19 时,剩余钢管根数最少,为 10 根.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.记等差数列前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列 的公差 d 等于 A.2
解析

( B ) B.3 C.6
,解得 d=3.

D.7

?S =2a +d=4 ? 2 1 ? 由 ?S4=4a1+6d=20 ?

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2.已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列的前 9 项和 S9 等于 A.18 B.27 C.36 ( C ) D.45

9 9 解析 S9=2(a1+a9)=2(a2+a8)=36.

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3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=84,S20=460,则

-30 S6=________.
解析 ∵{an}是等差数列,
n?n-1? ∴Sn=na1+ 2 d.

? ?12a +12×11d=84, 1 2 ? 由 S12=84,S20=460,代入,得? 20×19 ? ?20a1+ 2 d=460. ?

解得 a1=-15,d=4.
6×5 6×5 ∴S6=6a1+ 2 d=6×(-15)+ 2 ×4=-30.

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4.已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a,4,3a,前 k 项和 Sk= 2 550,求 a 及 k.
解 设等差数列{an}的公差为 d,则由题意得
?a+3a=2×4 ? ?d=4-a ? , k?k-1? ? ?ka+ 2 d=2 550 ? ?a=2 ? ∴?d=2 .(注:k=-51 舍) ?k=50 ?
∴a=2,k=50.

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1.求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量. 在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末项 an, n?a1+an? 用公式 Sn= 较好,若已知首项 a1 及公差 d,用公 2 n?n-1? 式 Sn=na1+ d 较好. 2 3.等差数列的性质比较多,学习时,不必死记硬背,可以在 结合推导过程中加强记忆,并在解题中熟练灵活地应用.


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