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2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 第一试
一,填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分) 填空题( 1. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = n + 3n + 4 n ∈ N
2

(

*

) ,则

a1 + a3 + a5 + + a21 = 268 .

2. 若集合 A = x

{

1 1 x 3 = ax + 1, x ∈ R 为空集,则实数 a 的取值范围是 (∞, ) ∪ ( , +∞) . 3 6
9 . 5

}

2 2 3. 设 x , y 为实数, 2 x + y ≥ 1 ,则二元函数 u = x + 4 x + y 2 y 的最小值是

4. 设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 = 1 的左,右焦点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲线左支于 A , B a2 b2

两点,且 ∠AF1 B = 120° . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k + 1 之间,则 k = 2 . 5. 已知长方体 ABCD A1 B1C1 D1 的体积为 216 ,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1 BC1 D 的重叠部分 的体积等于 36 . 6. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则 [log 3 1] + [log 3 2] + [log 3 3] + + [log 3 258] = 932 . 7. 设方程 x
2 n +1

a2 n x 2 n a2 n 1 x 2 n 1 a1 x a0 = 0 的根都是正数,且 a1 = ( 2n + 1) ,则

a0 的最大值是 1 .
8. 2009 × 1911 的方格棋盘的一条对角线穿过 3871 个棋盘格.

解答题( 二, 解答题(本题满分 14 分) 求函数 f ( x ) = sin x tan x + cos x cot x 的值域.
4 4

3 2 sin 2 2 x sin x cos x sin x + cos x 4 2 + cos 4 x = = . 解 因为 f ( x ) = sin x cos x sin x sin x cos x sin 2 x
6 6

………………8 分

3 2 t2 2 = 2 3 t . 易知函数 g ( t ) = 2 3 t 令 t = sin 2 x ,则 t ∈ [ 1, 0 ) ∪ ( 0,1] , f ( x ) = t t 2 t 2
在区间 [ 1, 0 ) 与 ( 0,1] 上都是减函数,所以 g ( t ) 的值域为 ( ∞, ] ∪ [ , +∞ ) ,故 f ( x ) 的值域 为 ( ∞, ] ∪ [ , +∞ ) .

1 2

1 2

1 2

1 2

………………14 分

1

三,解答题(本题满分 15 分) 解答题(
2

如图,抛物线 y = 2 x 及点 P (1,1) ,过点 P 的不重合的直线 l1 , l2 与此抛物线分别交于点 A , 解 设 l1 , l2 的倾斜角分别为 α , β ,由题设知

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.

α , β ∈ ( 0, π ) . 易知直线 l1 的参数方程为
x = 1 + t cos α , y = 1 + t sin α
代 入 抛 物 线 方 程 可 化 得 O

y C A P x D B

t 2 sin 2 α + 2 ( sin α cos α ) t 1 = 0 .
设 上 述 方 程 的 两 根 为 t1 , t2 , 则

t1t2 =

1 . 由参数 t 的几何意义,得 sin 2 α
…………………5 分

AP BP =
同理

1 . sin 2 α CP DP = 1 . sin 2 β

…………………7 分

若 A , B , C , D 四点共圆,则 AP BP = CP DP ,即 sin 2 α = sin 2 β . 因为 α , β ∈ ( 0, π ) ,所以 sin α = sin β . 又由 l1 , l2 不重合,则 α ≠ β . 所以 α + β = π . …………………11 分

反过来,若 α + β = π ,则因 α , β ∈ ( 0, π ) ,故 sin α = sin β ,且 α ≠ 0 , β ≠ 0 . 所以
1 1 = ,即 AP BP = CP DP . 2 sin α sin 2 β

故 A , B , C , D 四点共圆.

…………………15 分

四,解答题(本题满分 15 分) 解答题( 设 a , b 是正数,且 a ≠ 1 , b ≠ 1 ,求证: 解 因为

a 5 1 b5 1 25 > ( a + 1)( b + 1) . a 4 1 b 4 1 64

a 5 1 a 4 + a3 + a 2 + a + 1 = , 且 a4 1 a3 + a 2 + a + 1

8 ( a 4 + a 3 + a 2 + a + 1) 5 ( a 3 + a 2 + a + 1) ( a + 1) = 3a 4 2a 3 2a 2 2a + 3 = ( a 4 2a 2 + 1) + 2 ( a 4 a 3 a 2 + 1) = ( a 2 1) + 2 ( a 1) ( a 2 + a + 1) > 0
2 2

( a ≠ 1) ,

2

a 4 + a3 + a 2 + a + 1 5 a5 1 5 所以 > ( a + 1) ,即 4 > ( a + 1) . a3 + a 2 + a + 1 8 a 1 8
同理可证 于是,
b5 1 5 > (b + 1) . b4 1 8

…………………10 分

a 5 1 b5 1 25 > ( a + 1) ( b + 1) . a 4 1 b 4 1 64

…………………15 分

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加 试
(本题满分 一, 本题满分 50 分) ( 如图,在△ ABC 中, DE ‖ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上 的旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M , N , P 三点共线. 证 设 BE 与 MN 交于点 P ' .
A

BP BC BP ' BN 因为 DE ‖ BC ,所以 = , = . PE DE P ' E EM
故只需证明

BC BN BN EM = ,或 = . ………………10 分 DE EM BC DE 如图, 设 O1 , O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心, F , G , H , I 为切点,则 1 EM = ( AE + DE AD ) , AH = AB + BH = AB + BN , 2 1 AH = AI = ( AB + BC + AC ) , 2 1 BN = AH AB = ( AC + BC AB ) . 2
又 ADE ∽ ABC , 故可设

D B

M P N

E

C

………………30 分
A

AB BC AC = = =k, AD DE AE


F O 1 M D B H O2 P N

G E

1 ( AC + BC AB ) BN 2 = BC BC (k AE + k DE k AD) = 2k DE ( AE + DE AD) EM = = 2 DE DE
故结论成立.

C I

………………50 分

3

(本题满分 二, 本题满分 50 分) ( 设 k , n 为给定的整数, n > k ≥ 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集的元素和, 记这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值. 解

CQ 的最大值为 Cnk .
k

…………………10 分
k

因 P 共有 Cn 个 k 元子集,故显然有 CQ ≤ Cn .
2 n k

…………………20 分

下面我们指出,对集合 P = {2, 2 , , 2 } ,相应的 CQ 等于 Cn ,即 P 的任意两个不同的 k 元子集的元素之和不相等. 从而 CQ 的最大值为 Cn . 事实上,若上述的集合 P 有两个不同的 k 元子集
k

A = {2 r1 , 2r2 , , 2rk } ,
使得 A 与 B 的元素之和相等,则

B = {2 s1 , 2 s2 , , 2 sk } ,

2r1 + 2r2 + + 2 rk = 2 s1 + 2 s2 + + 2 sk = M (设). ① 因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 ri 互不相同, si 互不相同,故由正整数的二进制表示的
唯一性,我们由①推出,集合 {r1 , r2 , , rk } 必须与 {s1 , s2 , , sk } 相同,从而子集 A = B ,矛盾. 这就证明了我们的断言. …………………50 分

(本题满分 三, 本题满分 50 分) ( n n n 设 M = 2 1 + 2 2 + + 2 s , n1 , n2 , , ns 是互不相同的正整数,求证:

M = 2 + 2 ++ 2 < 1+ 2

n1 2

n2 2

ns 2

(

)

M.

对 s 归纳. 证 …………………10 分 (1) 当 s = 1 时,结论显然成立. (2) 假设 s = k 时结论成立,当 s = k + 1 时,不妨设 n1 > n2 > > nk > nk +1 . 由归纳假设可知, 2 2 + + 2
n1 n2 nk +1 2

< (1 + 2) M 2n1 ,则
n2 nk nk +1 2

2 2 + 2 2 ++ 2 2 + 2
n1

< (1 + 2) M 2n1 + 2 2 .

n1

所以只要证明: (1 + 2) M 2n1 + 2 2 < (1 + 2) M , 此即
> 1. M + M 2n1 因为正整数 n1 > n2 > > nk > nk +1 ,所以
2n1 ≥ 2n2 +1 > 2n2 + 2n2 1 + + 2 + 1 ≥ 2n2 + 2n3 + + 2nk +1 .

(1 + 2)2 2

n1

…………………30 分

.


M = 2n1 + 2n2 + + 2nk + 2nk +1 < 2 2n1 , M 2n1 = 2n2 + + 2nk +1 < 2n1 .

所以
(1 + 2)2 2
n1

即 s = k + 1 时,命题成立. 因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立.

M + M 2n1

>

(1 + 2)2 2

n1

2 2n1 + 2n1

=1,

…………………50 分

4

(本题满分 四, 本题满分 50 分) ( 2 3 求满足下列条件的所有正整数 x , y : (1) x 与 y 1 互素; (2) x x + 1 = y . 解 显然 x = 1 , y = 1 满足要求. 对于 x > 1 , y > 1 , 方程可化为 …………………10 分

( k 为正整数) ,从而 x 1 = k ( y 1) . 由 x > y 可知 k ≥ 2 . 消去 x ,得 y + y + 1 = k
2 2

显然 x > y . 因为 ( x, y 1) = 1 ,故 x 一定是 y + y + 1 的一个因子. 设 y + y + 1 = kx
2 2

( y 1) ( y 2 + y + 1) = x ( x 1) .

…………………20 分

( y 1) + k ,



由此推得 y 1 ( k 3) .

(y

2

1) + ( y 1) = k 2 ( y 1) + k 3 .
…………………40 分

k 2 ( y 1) + k = y 2 + y + 1 < k 2 + ( k 2 ) + 1 , 故必有 y 1 = 0 ,矛盾.所以 k ≤ 3 ,从而 k = 2 , 3 . 验证知 y = 7 , x = 19 .
综上, ( x, y ) = (1,1) , (19, 7 ) . …………………50 分

若 k > 3 ,则 y 1 ≤ k 3 ,即 k ≥ y + 2 ,从而

5

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