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双曲线


双曲线基础测试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.到两定点 F1 ? ? 3 , 0 ? 、 F 2 ?3 , 0 ? 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹 A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线 2.方程
x
2

( (

) )

1?

k

?

y

2

1? k
2

? 1 表示双曲线,则 k

的取值范围是 C. k
? 0

A. ? 1 ? 3. 双曲线

k ?1
x ? 12 ? y
2

B. k
4?m
2

? 0

D. k

?1

或k

? ?1

m

2

?1

的焦距是





A.4 B. 2 2 C.8 D.与 m 有关 2 4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx +my2=mn 所表示的曲线可 能是 y ( ) y y y o

x

o

x

o

x

o

x

A B C 5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 A.
3 2

D ( D.
3



B.3
x
2

C.
? y
2 2

4 3

6.焦点为 ? 0 , 6 ? ,且与双曲线 A. 7.若 0
x
2

? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 ?1


? y
2



2 y ? x
2

?

y

2

?1

12

24

B.
x a
2 2

12

24

C.

y

2

?

x

2

?1

24

12
2 2

D.

x

2

?1

24

12

? k ? a

,双曲线

? k

? b

y
2

2

? k

? 1 与双曲线

x a

?

y b

2 2

?1有

( D. 相同的焦点



A.相同的虚轴 8. 过双曲线 A.28 9.已知双曲线方程为 x 条数共有 A.4 条
2

B.相同的实轴

C.相同的渐近线
2

x

2

?

y

2

16

9

? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6, ? A F 则 B

(F2 为右焦点) 的周长是 ( D.12



B.22
? y
2

C.14

? 1 ,过

P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的 ( ) C.2 条
x
2

4

B.3 条

D.1 条
?1

10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③

? y

2



x

2

? y

2

? 1 ,其中与直线

2

2

y=-2x-3 有交点的所有曲线是 A.①③ B.②④ C.①②③ 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.直线 y ? x ? 1 与双曲线
x
2

( D.②③④



?

y

2

?1

相交于 A , B 两点,则
1

AB

2

3

=__________________.

12.过点 M

( 3 , ? 1)

且被点M平分的双曲线

x

2

? y

2

? 1 的弦所在直线方程为



4

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 13.求一条渐近线方程是 3 x ? 4 y ? 0 ,一个焦点是 ? 4 , 0 ? 的双曲线标准方程,并求此双曲线的 离心率. (12 分)

14.已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x ? 2 y
2

2

? 1 总有公共点,试求实数 k 的

取值范围.(12 分)

15.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听 到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的 距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关 各点均在同一平面上).(14 分)

2

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 11. 4 6 1 D 2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 12. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分)
2 2 13. (12 分)[解析]:设双曲线方程为: 9 x ? 16 y ? ? ,∵双曲线有一个焦点为(4,0) ? ? ? 0 ,
2 2

双曲线方程化为:

x

?
9
2

?

y

?
16
? y

?1?

?
9

?

?
16

? 16 ? ? ?

48

2



25

∴双曲线方程为:

x

2

256 25

144 25

?1

∴e ? 4 ? 5 .
16 5 4

14(12

? y ? kx ? b ? 2 2 x ? 2y ?1 分)[解析]:联立方程组 ?
2

消去 y 得(2k2-1)x2+4kbx+(2b2+1)=0,
2

当1 ? 2 k

? 0, 即 k ? ?
2 2

2 2

2 b ? 1 ,不合题意. 时,若 b=0,则 k ? ? ;若 b ? 0 ? x ? ? 2
2 2 2

2b
2

当1 ? 2 k 2 ? 0 , 即 k ? ? b 恒成立,? 2 k 2
? (2b
2

时,依题意有△=(4kb) -4(2k -1)(2b +1)>0, ? 2 k

? 2b

2

? 1 对所有实数

? 1) min

∴2k2<1,得 ?

2 2

? k ?

2 2
.

Q

15. (14 分)[解析]:以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、 C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上, PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线
?b
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1

上, 依题意得 a=680, c=1020,
:
x
2 2

? c

2

? a

2

? 1020

2

? 680

2

? 5 ? 340

2

, 故双曲线方程为

?

y

2 2

680

5 ? 340

? 1

用 y=-x 代入上式,得 x ? ? 680
即 P ( ? 680 5 , 680 5 ), 故 PO ? 680

5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ? 680
10

5 , y ? 680

5,

,答:巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 680

10 m 处.

3


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