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2010-2011学年上海市徐汇区位育中学高三(上)期中数学试卷(文科)


2010-2011 学年上海市徐汇区位育中学高三(上)期中数学试卷(文科)
一、填空题(每题 4 分,共计 56 分) 1. 分)已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪ (4 B={1,2,3,4},则 m= 2. 分)不等式|2x﹣1|<3 的解集为 (4 3. 分)关于 x 的不等式 (4 _________ . 的解是 _________ . ____

_____ .

4. 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) (4 ,则 f(﹣2)= 5. 分) (4 (2010?山东) (山东卷文 14)已知 ,且满足

x

_________ .

,则 xy 的最大值为 _________ .

6. 分) (4 (2010?上海) (上海卷理 8)对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=loga(x+3)的反函数的图象都经 过点 P,则点 P 的坐标是 _________ 7. 分)若函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 (4
2

对称,则 a= _________ .

8. 分)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣10n, (4 (n∈N*) ,则 an= _________ . 9. 分)函数 f(x)=loga|x﹣b|(a>0 且 a≠1)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 f(a﹣3)与 f(b﹣ (4 2)的大小关系是 _________ . 10. 分)某种商品,若定价为 p 元,则每月可卖出 n 件,设定价上涨 x 成(一成即 10%) (4 ,卖出数量将减少 成,为了使售货金额有所增加,则 x 的取值范围是 _________ . 11. 分)若 sinx+|sinx|+k=0 在(﹣π,π)内至少有两解,则实数 k 的取值范围是 _________ . (4 12. 分)无论 m 取何值,函数 (4 最小值,则正整数 k 的最小值为 _________ . 13. 分)若关于 x 的方程 (4 有两个不相等的实数解,则实数 k 的取值范围是 _________ . ,则称这 在区间 上至少有一个最大值和

14. 分)定义:关于 x 的两个不等式 f(x)<0 和 g(x)<0 的解集分别为(a,b)和 (4 两个不等式为对偶不等式.如果不等式 ,则 θ= _________ .
2

与不等式 2x +4xsin2θ+1<0 为对偶不等式,且

二、选择题(每题 5 分,共计 20 分) 15. 分)若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( (5 ) 2 2 A. B.a >b C. D.a|c|>b|c|

1

16. 分)为了得到函数 y=sin(2x﹣ (5 A. 向左平移 度单位 C. 向左平移 度单位 B 个长 向右平移 . 长度单位 D 个长 向右平移 . 长度单位 个

)的图象,只需把函数 y=sin(2x+

)的图象(





17. 分) (5 (2010?上海)若 x0 是方程 A. ( ,1) B. ( , )

的解,则 x0 属于区间( C. ( , ) D. (0, )



18. 分)如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点 P 所旋转过的 (5 弧 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

三、解答题(共 74 分) 19. (12 分)关于 x 的不等式 (1)求 Q (2)求 a 的取值范围. 20. (14 分) (2009?北京)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 (Ⅰ )求 sinC 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. 21. (14 分) (2010?江西)已知函数 f(x)=(1+cotx)sin x+msin(x+ (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间 (2)当 tana=2 时, ,求 m 的值. 上的取值范围;
2

的解集为 P,a>0,不等式 log2(x ﹣1)≤1 的解集为 Q.若 Q?P,求

2





)sin(x﹣

) .

2

22. (16 分)已知函数 (1)当 f(x)的定义域为 时,求 f(x)的值域;

(2)试问对定义域内的任意 x,f(2a﹣x)+f(x)的值是否为一个定值?若是,求出这个定值;若不是,说明 理由; (3)设函数 g(x)=x +|(x﹣a)f(x)|,若
2

,求 g(x)的最小值.

23. (18 分)对于函数 f1(x) 2(x) ,f ,h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x)=a?f1(x)+b?f2(x) ,那么称 h (x)为 f1(x) 2(x)的生成函数. ,f (1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为 f1(x) 2(x)的生成函数?并说明理由. ,f 第一组:
2 2 2



第二组:f1(x)=x ﹣x,f2(x)=x +x+1,h(x)=x ﹣x+1. (2)设 ,生成函数 h(x) .若不等式 h(4x)+t?h(2x)< 0 在 x∈[2,4]上有解,求实数 t 的取值范围. (3)设 ,取 a>0,b>0 生成函数 h(x)图象的最低点坐标为

(2,8) .若对于任意正实数 x1,x2 且 x1+x2=1,试问是否存在最大的常数 m,使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立?如 果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由.

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2010-2011 学年上海市徐汇区位育中学高三(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题(每题 4 分,共计 56 分) 1. 分)已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪ (4 B={1,2,3,4},则 m= 考点: 专题: 分析: 解答:

2 .

点评:

并集及其运算. 计算题. 根据集合并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合叫做并集”进行求解 即可. 解:考查并集的概念, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合叫做并集 显然 m=2 故答案为 2 本题主要考查了并集及运算,属于考查对课本中概念的理解,是基础题.
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2. 分)不等式|2x﹣1|<3 的解集为 (4 考点: 专题: 分析: 解答:

{x|﹣1<x<2} .

点评:

不等式;绝对值不等式. 计算题. 将 2x﹣1 看成整体,利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式,最后利用不等式基本性 质求解即可. 解:∵ |2x﹣1|<3 ?﹣3<2x﹣1<3 ?﹣1<x<2, ∴ 不等式|2x﹣1|<3 的解集为 {x|﹣1<x<2}. 故答案为:{x|﹣1<x<2}. 本小题主要考查函数不等式、绝对值不等式、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力、 化归与转化思想.属于基础题.
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3. 分)关于 x 的不等式 (4

的解是



考点: 专题: 分析:

反三角函数. 计算题.

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先将不等式化为: 函数可求.

,再利用反余弦函数是定义在[﹣1,1]上的减

解答:

解:由题意得: ∴ 由反余弦函数是定义在[﹣1,1]上的减函数可得, ∴

4

故答案为 点评: 本题的考点是反三角函数,主要考查反三角函数的应用,关键是利用反余弦函数是定义在[﹣1, 1]上的减函数求解.
x

4. 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) (4 ,则 f(﹣2)= ﹣1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的性质. 计算题. 根据 f(x)为定义在 R 上的奇函数则 f(0)=0 求出 b 的值,然后根据奇函数得到 f(﹣2)=﹣ f(2)代入解析式可求出所求. 解:∵ f(x)为定义在 R 上的奇函数, x 当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) , f(0)=1+b=0,b=﹣1.
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点评:

∴ f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2 ﹣4﹣(﹣1)=﹣7. 故答案为:﹣7. 本题主要考查了函数奇偶性的性质,以及函数求值,属于基础题.

2

5. 分) (4 (2010?山东) (山东卷文 14)已知

,且满足

,则 xy 的最大值为 3 .

考点: 分析: 解答:

基本不等式.

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本题为利用基本不等式求最值,可直接由条件 解: 因为 x>0, y>0, 所以 于是, ,xy≤3.

出发,求解. (当且仅当 , x= , 即 y=2 时取等号) ,

点评:

故答案为:3 本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力,属基本题.

6. 分) (4 (2010?上海) (上海卷理 8)对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=loga(x+3)的反函数的图象都经 过点 P,则点 P 的坐标是 (0,﹣2) 考点: 专题: 分析: 解答: 对数函数的图像与性质;反函数. 计算题. 本题考查的是指数函数和对数函数的性质,根据指数函数恒过(0,1)点,对数函数恒过(1, 0) ,结合函数图象平移法则和反函数图象的性质,易得结果. 解:函数 f(x)=logax 恒过(1,0) , 将函数 f(x)=logax 向左平移 3 个单位后,得到 f(x)=loga(x+3)的图象 故 f(x)=loga(x+3)的图象过定点(﹣2,0) , 又由互为反函数的两个函数图象关于直线 y=x 对称, 所以其反函数的图象过定点(0,﹣2) 故答案为: (0,﹣2)
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点评:

指数函数恒过(0,1)点,对数函数恒过(1,0)点,则此不难推导:g(x)=a (﹣h,1+k)点,而 f(x)=loga(x+h)+k 恒过(1﹣h,k)点.

(x+h)

+k 恒过

5

7. 分)若函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 (4

对称,则 a=



考点: 专题: 分析:

由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 计算题.

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由三角函数的性质可知,函数的对称轴处取得函数的最值可得 可求 a 解:由三角函数的性质可知,函数的对称轴处取得函数的最值 ∴ ∴ ∴ 故答案为:

,代入

解答:

点评:

本题主要考查了三角函数的对称性的应用:对称轴处取得函数的最值,属于基础试题,但注意 本题还有多种解法.
2

8. 分)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣10n, (4 (n∈N*) ,则 an= 2n﹣11 . 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 计算题.

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利用递推公式当 n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1,a1=S1 可求 2 2 解:当 n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣10n﹣(n﹣1) +10(n﹣1)=2n﹣11 a1=S1=﹣9 适合上式 故答案为:2n﹣11 本题主要考查了利用数列的递推公式 漏掉对 n=1 的检验 求解数列的通项公式,不要

点评:

9. 分)函数 f(x)=loga|x﹣b|(a>0 且 a≠1)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 f(a﹣3)与 f(b﹣ (4 2)的大小关系是 f(a﹣3)<f(b﹣2) . 考点: 专题: 分析: 对数函数图象与性质的综合应用. 计算题. 由已知中函数 f(x)=loga|x﹣b|(a>0 且 a≠1)是偶函数,我们可以确定出 b 的值,再由函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减,结合对数函数的单调性及复数函数的单调性,我们可以求出 a 的取值范围,及函数在区间(﹣∞,0)上的单调性,进而判断出 f(a﹣3)与 f(b﹣2)的 大小. 解:∵ 函数 f(x)=loga|x﹣b|(a>0 且 a≠1)是偶函数, 故 f(﹣x)=loga|﹣x﹣b|=f(x)=loga|x﹣b| 即|﹣x﹣b|=|x﹣b|
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解答:

6

点评:

解得 b=0 又∵ 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减, 故 0<a<1 且函数 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增, ∵ ﹣3<a﹣3<﹣2=b﹣2 故 f(a﹣3)<f(b﹣2) 故答案为:f(a﹣3)<f(b﹣2) 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质, 函数单调性的应用, 其中根据已知条件确定出参数 a, b 的值(或范围) ,并判断出函数在区间(﹣∞,0)上的单调性,是解答本题的关键.

10. 分)某种商品,若定价为 p 元,则每月可卖出 n 件,设定价上涨 x 成(一成即 10%) (4 ,卖出数量将减少 成,为了使售货金额有所增加,则 x 的取值范围是 (0, ) .

考点: 专题: 分析:

函数模型的选择与应用. 综合题.

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原价 p 元,每月卖出 n 件,设定价上涨 x 成,卖出数量减少 ﹣ ) ,设 z=pn(1+x) (1﹣ )>pn

成,售货金额=p(1+x)n(1

(1+x) (1﹣ 解答:

)>1,由此能求出 x 的取值范围.

解:原价 p 元,每月卖出 n 件,设定价上涨 x 成,卖出数量减少 售货金额=p(1+x)n(1﹣ 设 z=pn(1+x) (1﹣ (1+x) (1﹣ 2x ﹣x<0 0<x< . 故答案为: (0, ) .
2

成,



)>pn

)>1

点评:

本题考查函数问题的实际应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

11. 分)若 sinx+|sinx|+k=0 在(﹣π,π)内至少有两解,则实数 k 的取值范围是 ﹣2<k≤0 . (4 考点: 专题: 分析: 正弦函数的图象;三角函数值的符号;正弦函数的定义域和值域. 计算题;数形结合. 令 f(x)=sinx+|sinx|=

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,g(x)=﹣k,若 sinx+|sinx|+k=0 在(﹣π,π)

7

内至少有两解,则 y=f(x)与 y=g(x)在(﹣π,π)内至少有 2 个交点,结合函数的图象可 求 解答: 解:令 f(x)=sinx+|sinx|= ,g(x)=﹣k

若 sinx+|sinx|+k=0 在(﹣π,π)内至少有两解 则 y=f(x)与 y=g(x)在(﹣π,π)内至少有 2 个交点, 结合函数的图象可得当 0≤﹣k<2 即﹣2<k≤0 时满足条件

点评:

本题主要考查了正弦函数的图象的性质的应用, 解题中主要 应用数形结合的数形结合的思想方 法

12. 分)无论 m 取何值,函数 (4 最小值,则正整数 k 的最小值为 227 . 考点: 专题: 分析:

在区间

上至少有一个最大值和

由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 计算题. 先根据在任意两个整数之间(包括正整数本身)变化时,函数 f(x)至少有一个最大值和最小 值,可确定函数 f(x)的最小正周期的范围,再由正弦函数的最小正周期的求法可得到 k 的取 值范围,进而可得到答案.
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解答:

解:为使函数 小值,

在区间

上至少有一个最大值和最

函数 f(x)的最小正周期一定不大于 ∴ T= ,

点评:

∴ k≥72π≈72×3.14=226.8, ∴ 的最小自然数为 227. k 本题主要考查正弦函数的基本性质﹣﹣周期性. 三角函数是高考的一个重要考点, 属于中档题.

8

13. 分)若关于 x 的方程 (4

有两个不相等的实数解,则实数 k 的取值范围是 (﹣ ,﹣2] .

考点: 专题: 分析: 解答:

根的存在性及根的个数判断. 计算题;数形结合.

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原方程化成: ,由题意得,直线 y=x﹣k 和曲线 y= 的切线 l 的斜率,以及过 A 直线的斜率,即得实数 k 的取值范围. 解:关于 x 的方程: 直线 y=x﹣k 和 曲线 y= 如图所示:A(﹣2,0) , 由 ,即 有两个交点,
2

有两个交点,求出曲线

,由题意得

得 x+2=(x﹣k) ,△ =0,∴ k=﹣ ,故曲线的切线 l 的斜率为﹣ .

当直线过 A 点时,斜率 k=﹣2,故实数 k 的取值范围为(﹣ ,﹣2], 故答案为(﹣ ,﹣2].

点评:

本题考查根的存在性及根的个数判断,体现了数形结合的数学思想,求出抛物线的切线斜率和 过 A 的直线的斜率是解题的关键. ,则称这

14. 分)定义:关于 x 的两个不等式 f(x)<0 和 g(x)<0 的解集分别为(a,b)和 (4 两个不等式为对偶不等式.如果不等式 ,则 θ= .
2

与不等式 2x +4xsin2θ+1<0 为对偶不等式,且

考点: 专题: 分析:

其他不等式的解法. 计算题;新定义. 先设出不等式 推出不等式

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的对应方程两个根为 a、b, 的对应方程两个根为 a、b,

利用韦达定理,求得关于 θ 的三角方程,根据 θ 的范围求解即可. 解答: 解:不等式 与不等式 2x +4xsin2θ+1<0 为对偶不等式,
2

9

设不等式
2

的对应方程两个根为 a、b,

则不等式 2x +4xsin2θ+1<0 对应方程两个根为: 所以 即:tan2θ=﹣ 故答案为: 点评: 本题是新定义的创新题,考查逻辑思维能力,考查韦达定理等有关知识,是中档题. 因为 ,所以

二、选择题(每题 5 分,共计 20 分) 15. 分)若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( (5 ) 2 2 D a|c|>b|c| A. B.a >b C. . 考点: 专题: 分析: 解答: 不等关系与不等式. 计算题. 本选择题利用取特殊值法解决,即取符合条件的特殊的 a,b 的值,可一一验证 A,B,D 不成 立,而由不等式的基本性质知 C 成立,从而解决问题. 解:对于 A,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 B,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 D,取 c=0,即知不成立,故错; 2 对于 C,由于 c +1>0,由不等式基本性质即知成立,故对; 故选 C. 本小题主要考查不等关系与不等式、 不等关系与不等式的应用、 不等式的基本性质等基础知识, 属于基础题.
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点评:

16. 分)为了得到函数 y=sin(2x﹣ (5 A. 向左平移 长度单位 C. 向左平移 长度单位 考点: 专题: 分析: 解答: 个 B. 向右平移 个

)的图象,只需把函数 y=sin(2x+

)的图象(



长度单位 D. 个 向右平移 长度单位



函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 常规题型. 先将 2 提出来,再由左加右减的原则进行平移即可.
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解:y=sin(2x+ 所以将 y=sin(2x+ 故选 B.

)=sin2(x+

) ,y=sin(2x﹣

)=sin2(x﹣

) , )的图象,

)的图象向右平移

个长度单位得到 y=sin(2x﹣

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点评:

本试题主要考查三角函数图象的平移.平移都是对单个的 x 来说的.

17. 分) (5 (2010?上海)若 x0 是方程 A. ( ,1) B. ( , )

的解,则 x0 属于区间( C. ( , ) D. (0, )



考点: 分析:

函数的零点与方程根的关系. 由题意 x0 是方程

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的解,根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题.

解答: 解:∵ ∴ 属于区间( , ) x0 . 故选 C. 此题主要考查函数的零点与方程根的关系,利用指数函数的增减性来做题,是一道好题. , ,

点评:

18. 分)如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点 P 所旋转过的 (5 弧 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦函数的图象. 数形结合. 根据题意和图形取 AP 的中点为 D,设∠ DOA=θ,在直角三角形求出 d 的表达式,根据弧长公式 求出 l 的表达式,再用 l 表示 d,根据解析式选出答案. 解:如图:取 AP 的中点为 D,设∠ DOA=θ,则 d=2sinθ,l=2θR=2θ,
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∴ d=2sin ,根据正弦函数的图象知,C 中的图象符合解析式. 故选 C.

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点评:

本题考查了正弦函数的图象,需要根据题意和弧长公式,表示出弦长 d 和弧长 l 的解析式,考 查了分析问题和解决问题以及读图能力.

三、解答题(共 74 分) 19. (12 分)关于 x 的不等式 (1)求 Q (2)求 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 集合关系中的参数取值问题;对数函数的单调性与特殊点. 计算题. (1)根据所给的两个不等式,解不等式求出不等式的解集,写出对应的集合,注意解题的过程 中对数的定义域,不要忽略. (2)根据上一问做出的结果,和两个集合之间的关系,得到不等式的端点处的字母的值之间的 关系,再加上 a 是一个正数,得到 a 的取值范围.
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的解集为 P,a>0,不等式 log2(x ﹣1)≤1 的解集为 Q.若 Q?P,求

2

解答:

解: (1)∵ 等式

的解集为 P

∴ P=(﹣∞,﹣1)∪ (a,+∞) ∵ 不等式 log2(x ﹣1)≤1 的解集为 Q ∴ Q: ∴
2

点评:

∴ (2)由(1)求出的结果,若 Q?P 有 a≤1,且 a 是正数, ∴ 0<a≤1 本题考查集合关系中字母系数的取值,本题解题的关键是对于所给的不等式的整理,得到最简 形式,根据集合之间的关系得到结论,本题是一个中档题目.

20. (14 分) (2009?北京)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 (Ⅰ )求 sinC 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. 考点: 专题: 分析: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 计算题.





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(Ⅰ )由 cosA= 得到 A 为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,根据三角形

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的内角和定理得到 C=π﹣

﹣A, 然后将 C 的值代入 sinC, 利用两角差的正弦函数公式化简后,

将 sinA 和 cosA 代入即可求出值; (Ⅱ )要求三角形的面积,根据面积公式 S= absinC 和(Ⅰ )可知公式里边的 a 不知道,所以利 用正弦定理求出 a 即可. 解答: 解: )∵ (Ⅰ A、B、C 为△ ABC 的内角,且 sinA= ∴ ∴ (Ⅱ )由(Ⅰ )知 又∵ , , ; = >0,所以 A 为锐角,则

∴ ABC 中,由正弦定理,得 在△ ∴ . .

∴ABC 的面积 △ 点评:

考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值.灵活 运用两角和与差的正弦函数公式化简求值.
2

21. (14 分) (2010?江西)已知函数 f(x)=(1+cotx)sin x+msin(x+ (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间 (2)当 tana=2 时, ,求 m 的值. 上的取值范围;

)sin(x﹣

) .

考点: 专题: 分析:

弦切互化;同角三角函数间的基本关系. 综合题. (1)把 m=0 代入到 f(x)中,然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余 弦函数公式以及特殊角的三角函数值把 f(x)化为一个角的正弦函数,利用 x 的范围求出此正弦函数角的范围,根据角的范围,利用 正弦函数的图象即可得到 f(x)的值域; (2)把 f(x)的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于 sin2x 和 cos2x 的式子,把 x 换成 α,根据 tanα 的值,利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的
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正弦函数公式化简求出 sin2α 和 cos2α 的值,把 sin2α 和 cos2α 的值代入到 f(α)= 中得到关 于 m 的方程,求出 m 的值即可. 解: (1)当 m=0 时,

解答:

13

= , 由已知 ,得 ,从而得:f(x)的值域为 .

(2)因为

=sin x+sinxcosx+ = = 所以 当 tanα=2,得: = ① , , + ﹣

2

点评:

代入① 式,解得 m=﹣2. 考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题.依托三角函数化简, 考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中档题.

22. (16 分)已知函数 (1)当 f(x)的定义域为 时,求 f(x)的值域;

(2)试问对定义域内的任意 x,f(2a﹣x)+f(x)的值是否为一个定值?若是,求出这个定值;若不是,说明 理由; (3)设函数 g(x)=x +|(x﹣a)f(x)|,若
2

,求 g(x)的最小值.

考点: 专题: 分析:

函数恒成立问题. 综合题. (1)先将函数进行常数分离,然后根据定义域求出 a﹣x 的取值范围,再根据反比例函数求出
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的取值范围即可求出所求. (2)f(2a﹣x)+f(x)=
2

=

=﹣2,对定义域内的所有 x 都成立. 求得最小值;当

(3)由 a=1,得 g(x)=x +|x|(x≠﹣1)当 x≥0 时, x≤0 时, 解答: 解: (1)函数

求得最小值,最后从中取最小的,作为函数的最小值. =﹣1+ .

14

当 a+ ≤x≤a+1 时,﹣a﹣1≤﹣x≤﹣a﹣ ,﹣1≤a﹣x≤﹣ ,﹣2≤ 于是﹣3≤﹣1+ ≤﹣2,

≤﹣1,

即 f(x)值域为[﹣3,﹣2]. (2)∵ f(2a﹣x)+f(x)= = =﹣2,

对定义域内的所有 x 都成立, ∴ 对定义域内的任意 x,f(2a﹣x)+f(x)的值是定值﹣2. 2 (3)解:当 a=1 时,g(x)=x +|x|(x≠﹣1) (ⅰ )当 x≥0 时, 则函数 g(x)在[0,+∞)上单调递增, g(x)min=g(0)=0 (ⅱ )当 x≤0 时, 则函数 g(x)在(﹣∞,0]且 x≠﹣1 时单调递减, g(x)min=g(0)=0 综合得:当 x≠﹣1 时,g(x)的最小值是 0. 本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题和分式函数的值域,解 题时要认真审题,仔细解答.

点评:

23. (18 分)对于函数 f1(x) 2(x) ,f ,h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x)=a?f1(x)+b?f2(x) ,那么称 h (x)为 f1(x) 2(x)的生成函数. ,f (1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为 f1(x) 2(x)的生成函数?并说明理由. ,f 第一组:
2 2 2



第二组:f1(x)=x ﹣x,f2(x)=x +x+1,h(x)=x ﹣x+1. (2)设 ,生成函数 h(x) .若不等式 h(4x)+t?h(2x)< 0 在 x∈[2,4]上有解,求实数 t 的取值范围. (3)设 ,取 a>0,b>0 生成函数 h(x)图象的最低点坐标为

(2,8) .若对于任意正实数 x1,x2 且 x1+x2=1,试问是否存在最大的常数 m,使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立?如 果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由. 考点: 专题: 分析: 函数与方程的综合运用. 新定义.

2271310

(1)化简 h(x)=a?f1(x)+b?f2(x) ,使得与 判断结果满足题意;类似方法计算判断第二组. (2)设

相同,求出 a,b

,生成函数 化简不等式 h(4x)+t?h(2x)

15

<0,在 x∈[2,4]上有解,就是求

的最大值,即可.

(3)由题意得,

,则

,由于生成函数 h

(x)图象的最低点坐标为(2,8) .故

,可求得

所以函数

.假设存在最大的常数 m,使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立.即有 ,从而转化为求 u 的最小值即可. 解答: 解: (1)① 设 取 ,即 ,所以 h(x)是 f1(x) 2(x)的生成函数. ,f

② a(x +x)+b(x +x+1)=x ﹣x+1,即(a+b)x +(a+b)x+b=x ﹣x+1,则 设

2

2

2

2

2



该方程组无解. 所以 h(x)不是 f1(x) 2(x)的生成函数.…(4 分) ,f (2)

h(4x)+t?h(2x)<0,

即 log2(4x)+t?log2(2x)<0 所以, (2+log2x)+t(1+log2x)<0.因为 x∈[2,4],所以 1+log2x∈[2,3] 则 ,函数 在[2,4]上单调递增,所

以 (3)由题意得,



. ,则 ,

…(10 分)



,解得

所以



…(12 分)

假设存在最大的常数 m,使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立. 于是设 =

=

16

设 t=x1x2,则 设 因为 减,从而

,即

,所以

,在

上单调递

点评:

故存在最大的常数 m=289…(16 分) 本题考查其他不等式的解法,函数的概念及其构成要素,函数恒成立问题,考查值思想, 分类讨论,计算能力,函数与方程的思想,是中档题.

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