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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2课件:第4章 典例导航:数的概念的扩展


下列命题中,正确命题的个数是(

)

①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;

②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0.

A.0
C.2

B.1
D.3

由题目可获取以下主要信息: ①题中给出了三个命题; ②判断正确命题的个数. 解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.

[解题过程] 序号 ① ② ③ 结论 假命题 理由 由于x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代 数形式,不符合复数相等的充要条件 假命题 由于两个虚数不能比较大小 假命题 当x=1,y=i时x2+y2=0 A

答案:

1.已知下列命题:
①复数a+bi不是实数; ②两个复数不能比较大小; ③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2; ④若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为虚数; ⑤若a+bi=c+di,则a=c且b=d. 其中真命题的个数是( A.0个 B.1个 ) C.3个 D.4个

解析:

序号
① ② ③

结论

理由

假命题 因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数 假命题 因为两个复数是实数时,可以比较大小 假命题
2 ? ?x -4=0 因为由纯虚数的条件? 2 ? ?x +3x+2≠0

得x=2或x=-2;当x=-2时,复数为实数
④ ⑤ 没有强调a,b∈R,当a,b为复数时,z不一 假命题 定为虚数 a,b,c,d为实数时,a=c且b=d成立,a、 假命题 b、c、d为C时,不一定成立 A

答案:

当实数m为何值时,复数z=2m2-3m+1+(m2-5m+4)i. (1)为实数;(2)为虚数;(3)为纯虚数;(4)为零.

[解题过程]

(1)要使z为实数,须有m2-5m+4=0,

∴m=1或m=4. 即当m=1或m=4时,z为实数;

(2)要使z为虚数,须有m2-5m+4≠0,即m≠1且m≠4.
∴当m≠1且m≠4时,z为虚数.

(3)要使 z

2 ? m ? -5m+4≠0 为纯虚数,须有? 2 ? ?2m -3m+1=0



m≠1且m≠4 ? ? ∴? . 1 m= 或 m= 1 ? 2 ? 1 1 ∴m= ,即当 m= 时,z 为纯虚数. 2 2

(4)要使 z

2 ? ?2m -3m+1=0 为零,须有? 2 ? ?m -5m+4=0



1 ? ?m = 或 m = 1 2 ∴? ,∴m=1. ? ?m=1或m=4 即当 m=1 时,z 为零.

m2-2m-15 m2-m-6 2.当 m 为何实数时,复数 z= + i满 m+ 2 m+ 3 足下列条件? (1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.
解析: (1)当 z 为实数时,∵m 是实数,

2 m ? ? ? -m-6=0, ?m=3或m=-2, 即? ? m+ 3 ? ?m≠-2, ∴? 2 ?m -2m-15 有意义,∴m=3,即当 m=3 时,z 为实数. ? m+ 2 ?

(2)当 z 为虚数时,∵m 是实数,
2 m ? ? -m-6≠0 ? m+ 3 ∴? 2 ?m -2m-15 有意义, ? m + 2 ?

∴m≠-3 且 m≠-2 且 m≠3, 即当 m∈(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,3)∪(3,+∞) 时,z 为虚数.

(3)当 z 为纯虚数时,∵m 是实数,
2 m ? ? -2m-15=0, m+ 2 ? ∴? 2 ?m -m-6 ≠ 0, ? ? m+ 3

? ?m=5或m=-3, 即? ? ?m≠3且m≠-2且m≠-3,

∴m=5,即当 m=5 时,z 为纯虚数.

已知复数z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其
中a∈R,若z1>z2,求a的值.

[解题过程]

∵z1>z2,

∴z1,z2 都是实数且 z1>z2. ?2a2+3a=0 ① ? 2 ∴?a +a=0 ② ?-4a+1>2a ③ ?



3 由①得 a=0 或 a=- , 2

由②得a=0或a=-1, 由③得6a-1<0, 由①②得a=0代入③成立. 因此a的值为0.

3.若本例改为“已知复数z=-4a+1+(2a2+3a)i且z>0”,
求a的值.
解析: ∵z=-4a+1+(2a2+3a)i,且 z>0. ① 3 ,由①得 a=0 或 a=- . 2 ②

2 ? ?2a +3a=0 ∴? ? ?-4a+1>0

3 当 a=0 时②成立;当 a=- 时②成立. 2 3 因此 a 的值为 0 或- . 2


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