当前位置:首页 >> 数学 >> 平面到空间类比结论的探究

平面到空间类比结论的探究


平面到空间类比结论的探究
西乡二中 王仕林 类比思想是数学中的一种重要解题思想,而平面几何问题的某些结论,通过类比 思想,可以进一步探究空间问题的一些结论.掌握了从平面到空间问题的类比规律,可 以深入地掌握平面几何与空间立体几何之间的内在联系.下面通过例子来说明这个问 题. 一、从平面到空间的类比结论: 1 结论 1: ?ABC 的面积公式 S?ABC ? BC ? h(h 是 BC 边上的高) 2 1 推广:三棱锥 S ? ABC 的体积公式 VS ? ABC ? S ?ABC ? h(h 是三棱锥的 3 高) 观察并分析: (1)平面内的三角形类比到空间变为三棱锥。 (2)平面内三角形的面积类比到空间为三棱锥的 体积。 (3)平面内三角形的底边(线段)类比到空间变为 (图 1) 三棱锥的底面(平面) 。 结论 2:如图 2,D、E 是 ?ABC 的边 AB、AC 上的点,且 DE//BC, h1, h2 分别是 ?ADE 、 ?ABC 上的高。则 (1)
DE h1 ? BC h2

(2)

S?ADE h12 ? 2 S?ABC h2
(图 2)

推广:如图 3,D、E、F 分别是三棱锥 S-ABC 的边 SA、 SB、SC 上的三点, h1, h2 分别是三棱锥 S ? DEF 与 S ? ABC 的高,且平面 DEF//平面 ABC。则 (1)

V h3 S?DEF h12 ? 2 , (2) S ? DEF ? 13 VS ? ABC h2 S?ABC h2



观察并分析: (1)平面内的两个三角形类比到空间为两个三棱锥。 (2)平面内的线段之比类比到空间为面积之比。 (3)平面内的面积之比类比到空间为体积之比。 (4)平面内的线段之比为高之比;空间内面积之比为两高之比。 (5)平面内的面积之比为平方之比,类比到空间变为: 它的体积之比等于它的高的立方之比。 结论 3:如图 4,OM、ON 为两条射线,D、A、E、B 分别为 OM、ON 上的任意两点,则
S?ODE OD OE ? ? S?OAB OA OB

(图 3)

推论 3:如图 5,OP、OQ、OR 分别为三条射线, A1 、 A2 、 B1 、 B2 、

(图 4)

C1 、 C2 分别为 OP、OQ、OR 上任意两点,则

VO? A1B1C1 VO? A2B2C2

?

OA1 OB1 OC1 ? ? OA2 OB2 OC2

观察并分析: (1) 平面内两条射线类比到空间为三条射线。 (2) 平面内面积之比类比到空间为体积之比。 (3) 平面内是两项之积,类比到空间后为三项之积。 结论 4: ?ABC 中, 在 两边 AB、 互相垂直, AB2 ? AC 2 ? BC 2 , AC 则 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积 与底面积的关系,可以得出正确的结论是: “设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则
2 2 2 2 S?ABC ? S?ACD ? S?ADB ? S?BCD

分析: (1)平面内有两条边,类比到空间变为三条棱。 (2)平面内线段的长度类比到空间变为三角形的面积。 (3)平面内两项之和,类比到空间变为三项之和。 (4)平面内直角三角形的斜边,类比到空间变为三棱锥的底面。
2 2 2 2 由此可知类比到空间后的结论为: S?ABC ? S?ACD ? S?ADB ? S?BCD

二、从平面到空间的类比规律: 从以上四个结论及推论发现:从平面内的某些结论,按照类比思想,拓展到空 间后结论的形成,有如下规律: 1、 (1)平面内为线段长,类比到空间变为平面图形(如三角形) 。 (2)平面内为三角形,类比到空间变为三棱锥。 2、 (1)平面内为线段长,类比到空间变为平面图形的面积。 (2)平面内为三角形的面积,类比到空间变为三棱锥的体积。 3、 (1)平面内为两条线段,类比到空间变为三条直线。 (2)平面内为两项的和(积或商) ,类比到空间变为三项的和(积或商) 。 三、练习题: 1、四边形 ABCD 是平行四边形,则平行四边形的两条对角线的和等于四条边的 平方和。根据平面到空间的类比规律:平行六面体的四条对角线与平行六面体的 12 条棱之间的关系是: 。 2、P 是边长为 a 的等边 ?ABC 内任意一点,则 P 到三角形各边的距离之和为一定 值
3 a 。将这个结论推广到空间后:棱长为 a 的正四面体内有任意一点,则该点到各面的 2


距离之和为定值。该定值是:

(该作品于 2007 年 12 月 28 日被《考试报》教师版发表)


赞助商链接
更多相关文档:

平面向量和空间向量的类比学习方法

平面向量与空间向量研究的范围不同, 平面向量从平面扩展到空间就变成了空间向量...运算、重要定理等 角度逐个进行类比,最后以表格等形式将类比点和结论呈现出来。 ...

从平面走向空间

刚才我们证明的是一个平面几何问题,你能运用类比思想将命题 从平面推广到空间吗...师: 嗯,这样做是比较明智的.类比的结论是否正确我们要先进行判断,然 后进行...

平面几何中,正三角形中任一点到三条边的距离之和为定值...

平面几何中,正三角形中任一点到三条边的距离之和为定值.类比这一性质,在空间中相应的结论是:___.正确答案及相关解析 正确答案 ∵“正三角形内任意一点到...

...l=,类比这一结论,则可得空间上的点P(x0,y0,z_答案_百度高考...

平面上的点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离dp-l=,类比这一结论,则可得空间上的点P(x0,y0,z0)到平面a:Ax+By+Cz+D=0的距离dp-a=___._...

...这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),平面EC_...

在△ABC中,角C的内角平分线CE分△ABC的面积所成的比,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),平面ECD平分二面角A-CD-B且与AB交于E,则类比的结论是(...

平面三角形与空间四面体之间的类比

虽然我以前也知道到类比平面三角形与空间四面体之间的类比类比是伟大的引路人,...点评:在上面的推理论证中,我们不光从已知、结论上进行了类比,而且对证明过程也...

平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比(1)

平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比(1)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比(1)今日...

2015届高三数学二轮复习(新课标) - 平面几何与空间几何间的类比...

类比 推理对推理论证能力的提升具有积极意义, 尤其对平面到空间的类比而言, 一般...【答案】 C 4.(2014· 武汉市武昌区调研)给出以下结论: →→→ ①在四边...

【金版优课】高中数学人教A版选修1-2课时作业:2.1.2 合...

把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是( A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交 B.如果一条直线与两条平行线中的...

高三数学平面向量与空间向量类比

高三数学平面向量与空间向量类比 - 平面向量与空间向量类比 平面向量与空间向量有诸多相似之处, 学习空间向量时若能与平面向量类比, 往往会收 到事半功倍的效果....

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com