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2015-2016学年人教A版选修2-3 2.4 正态分布 作业(1)


选修 2-3
一、选择题

2.4 正态分布

P(|ξ-μ|<σ)等于(

) B.φ(1)-φ(-1) C.φ? 1-μ? ? σ ? D.2φ(μ+σ)

A.φ(μ+σ)-φ(μ-σ) 1.关于正态分布 N(μ,σ2),下列说法正确的是( ) A.随机变量落在区间长度为 3σ

的区间之外是一个小概率事件 B.随机变量落在区间长度为 6σ 的区间之外是一个小概率事件 C.随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件 D.随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件 2.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,σ2),则 P(ξ>4)=( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 1 x2 3.若随机变量 X 的密度函数为 f(x)= · e- ,X 在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为 p1,p2,则 2 2π p1,p2 的关 系为( ) A.p1>p2 B.p1<p2 C.p1=p2 D.不确定 1 ? ? 4.若随机变量 X~N(1 ,9),则 D?3X?的值是( ) 1 A.1 B.3 C.9 D. 3
[

12.给出下列函数:①f(x)=

(x+μ)2 (x-μ)2 x2 1 1 1 1 - - - e- 2σ2 ;②f(x)= e- 4 ;③f(x)= e 4 ;④f(x)= e (x μ)2, 2πσ 2π 2· 2π π

其中 μ∈(-∞,+∞),σ>0,则可以作为正态分布密度函数的个数有( A.1 B .2 C.3 D.4

)

2 13.(2008· 安徽)设两个正态分布 N(μ1,σ2 1)(σ1>0)和 N(μ2,σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(

)

A.μ1<μ2,σ1<σ2 二、填空题

B.μ1<μ2,σ1>σ2

C.μ1>μ2,σ1<σ2

D.μ1>μ2,σ1>σ2

5.已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ ),且 P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, 若 μ=4,σ=1,则 P(5<X<6)等于( ) A.0.135 8 B.0.135 9 C.0.271 6 D.0.271 8 6.下列函数中,可以作为正态分布密度函数的是( A.f(x)=
(x-1)2 1 e- 2 2π

2

14.图是三 个正态分布 X~N(0,0.25),Y~N(0,1),Z~N(0,4)的密度曲线,则三个随机变量 X, Y,Z 对应曲 线分别是图中的________、________、________.

)
(x-μ)2 1 e- 2σ2 2πσ (x-μ)2 1 D.f(x)= e- 2π 2π

B.f(x)=

1 (x-2)2 e 2σ2 2π· σ

C.f(x)=

7.已知 ξ~N(0,62),且 P(-2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)等于( A.0.1 B.0.2 C.0.6 D.0.8

)

15.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则 c=________. 16.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0).若 ξ 在(0 ,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在(2, +∞)上取值的概率为________. ) 17 .正态变量的概率密度函数 f(x) = ________.
(x-3)2 1 e - 2 , x∈R 的图象关于直线 ________ 对称, f(x) 的最大值为 2π

8.若随机变量 ξ~N(2,100),若 ξ 落在区间(-∞,k)和(k,+∞)内的概率是相等的,则 k 等于( A.2 B.10 C. 2 D.可以是任意实数

9.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X~N(110,52),据此估计,大约应有 57 人的分数在下列 哪个区间内( A.(90,110] ) B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115]

18.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的 数学期望为________. 19.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在(0,2)

10.(2010· 山东理,5)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ2),P(ξ>2)=0.023,则 P(-2≤ξ≤2)=( A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977

)

内取值的概率为____________. 20.(2010· 福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布 N(25,0.032),为使该厂生产的产品有 95%以上的合格率,

11.以 φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量 ξ 服从正态分布(μ,σ2),则概率

则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________. 三、解答题

21.设 X~N(0,1). (1) 求 P(-1 <X≤1);(2)求 P(0<X≤2).

22.设 X~N(4,1),证明 P(2<X<6)=2P(2<X≤4).

25.某个工厂的工人月收入服从正态分布 N(500,202),该工厂共有 1200 名工人,试估计月收入在 440 元以下 和 560 元以上的工人大约有多少?

23.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于 函数的解析式.

1 .求该正态分布的概率密度 4 2π

26.已知某种零件的尺寸 ξ(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减 1 函数,且 f(80)= . 8 2π (1)求概率密度函数; (2)估计尺寸在 72mm~88mm 间的零件大约占总数的百分之几?

24.(2010· 邯郸高二检测)设随机变量 ξ~N(2,9),若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),求 c 的值.

选修 2-3

2.4 正态分布答案

19.[答案] 0.8[解析] ∵μ=1,∴正态曲线关于直线 x=1 对称.∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等. 一、解析:选 D.∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4. ∴P(X>μ+3σ 或 X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ<X< μ+3σ) =1-0.997 4=0.002 6. ∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件. 1 2.解析:选 D.由正态分布图象,可知 μ=4 是该图象的对称轴,∴P(ξ<4)=P(ξ>4)= . 2 3.解析:选 C.由正态曲线的对称性及题意知:μ=0,σ=1,所以曲线关于直线 x=0 对称,所以 p1=p2.故 选 C. 1 ? 1 4.解析:选 A.∵X~N(1,9),∴σ2=D(X)=9. ∴D? ?3X?=9D(X)=1. 0.954 4-0.682 6 5.解析:选 B.由题,可知 P(5<X<6)=[P(2<X≤6)-P(3<X≤5)]÷ 2= =0.135 9. 2 6.[答案] A 7.[答案] A[解析] 由于 ξ 的取值落在(-∞,k)和(k,+∞)内的概率是相等的,所以正态曲线在直线 x=k 的左侧和右侧与 x 轴围成的面积应该相等,于是正态曲线关于直线 x=k 对称,即 μ=k,而 μ=2.∴k=2. 9.[答案] C[解析] 由于 X~N(110,52),∴μ=110,σ=5. 因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是 0.6826,0.9544,0.9974. 由于一共有 60 人参加考试,∴成绩位于上述三个区间的人数分别是: 60×0.6826≈41 人,60×0.9544≈57 人,60×0.9974≈60 人. 10. [答案] C[解析] ∵P(ξ>2)=0.023, ∴P(ξ<-2)=0.023, 故 P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=0.954. |ξ-μ| 11.[答案] B[解析] 设 η= ,则 P(|ξ-μ|<σ)=P(|η|<1)=φ(1)-φ(-1). σ [点评] 一般正态分布 N(μ,σ )向标准正态分布 N(0,1)转化. 12.[答案] C[解析] 对于①,f(x)= 1 e- 2πσ
(x+μ)2 2σ2 2

20.[答案] (24.94,25.06)[解析] 正态总体 N(25,0.032)在区间(25-2×0.03,25+2×0.03)取值的概率在 95% 以上,故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06). 三、解答题 21.解:(1)X~N(0,1)时,μ-σ=-1,μ+σ=1,所以 P(-1<X≤1)=0.682 6. 1 1 (2)μ-2σ=-2,μ+2σ=2,正态曲线 φ(x)关于直线 x=0 对称,所以 P(0<X≤2)= P(-2<X≤2)= ×0.954 2 2 4=0.477 2. 22.证明:因为 μ=4,所以正态曲线关于直线 x=4 对称,所以 P(2<x≤4)=P(4<X<6). 又因为 P(2<X<6)=P(2<X≤4)+ P (4<X<6),所以 P(2<X<6)=2P(2<X≤4). 22.[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象即正态曲线关于 y 轴对称,即 μ= 0.而正态密度函数的最大值是 1 1 1 ,所以 = ,因此 σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是 2π· σ 2π· σ 2π· 4

1 - x2 φμ,σ(x)= e ,x∈(-∞,+∞). 4 2π 32 23.[解析] 由 ξ~N(2,9)可知,密度函数关于直线 x=2 对称(如图所示),

又 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),故有 2-(c-1)=(c+1)-2,∴c=2. [点评] 解答此类问题要注意以下知识的应用: (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1; (2)正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间上概率相等. (3)P(x<a)=1-P(x≥a) P(x<μ-a)=P(x≥μ+a) 1-P(μ-b<x≤μ+b) 若 b<μ,则 P(x<b)= . 2

.由于 μ∈(-∞,+∞),所以-μ∈(-∞,+∞),故它可

(x-μ)2 1 -(x-μ)2 1 以作为正态分布密度函数;对于②,若 σ=1,则应为 f(x)= e 2 .若 σ= 2,则应为 f(x)= e- 4 , 2π 2π· 2

均与所给函数不相符,故它不能作为正态分布密度函数;对于③,它就是当 σ= 2,μ=0 时的正态分布密度函 数;对于④,它是当 σ= 2 时的正态分布密度函数.所以一共有 3 个函数可以作为正态分布密度函数. 2

24.[解析] 设该工厂工人的月收入为 ξ,则 ξ~N(500,202),所以 μ=500,σ=20, 所以月收入在区间(500-3×20,500+3×20)内取值的概率是 0.9974,该区间即(440,560). 因此月收入在 440 元以下和 560 元以上的工人大约有 1200×(1-0.9974)=1200×0.0026≈3(人). 25.[解析] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线 x=80 对称,且在 x=80 处取得最大值,因此得 μ=80. 1 1 = ,所以 σ=8. 2π· σ 8 2π 1 -(x-80)2 故概率密度函数解析式是 φμ,σ(x)= e 128 . 8 2π (2)尺寸在 72mm~88mm 之间的零件的百分率,即在(80-8,80+8)之间的概率为 68.28%.

13.A[解析] 根据正态分布的性质:对称轴方程 x=μ,σ 表示总体分布的分散与集中.由图可得,故选 A. 二、填空题 14. 解析:在密度曲线中,σ 越大,曲线越“矮胖”;σ 越小,曲线越“瘦高”.答案:① ② ③ ?c+1?+?c-1? 15.解析:ξ 服从正态分布 N(2,9),且 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),∴μ=2,σ=3, =2,则 c=2. 2 1 1 16.解析:由正态分布的特征易得 P(ξ>2)= ×[1-2P(0<ξ<1)]= ×(1-0.8)=0.1.答案:0.1 2 2 1 17.[答案] x=3 2π 18.[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下 方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的. ∵区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线 x=1 对称,所以正态分布的数学期望就是 1.


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