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函数的单调性 优质课件


请领导、同仁指正

志 愈 方 而 行 愈 远

章丘市第一中学

函数的单调性
授课人:杨丙才

学而不思则惘,思而不学则怠

山东省年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
30 1971 20 10 467 1985 756 3360


1990

1994 1997

年份

人数 (人)
450 350 250 150

山东省日平均 出生人数统计表
423 359 209 176

1985

1990

1994 1997

年份

y

y

y

x

x

x

y=2x

2 y=x

y=-x3

由上边三图,你 能说出x随y的变 化规律吗?

增函数的定义

X <X2 , f(x ) < f(x X11<X2, f(x1)1< f(x2)2) 1 2 1 2
y y=f(x) f(x2)

f(x1) x (区间内任意) x
1

0 <

x x2

x

从左到右图像上升

增函数
f(x2)

(都有) f(x1) <

减函数的定义

X11<X2,, ,f(x11)> f(x22) X<X2 f(x ) > f(x ) >f(x
y
y=f(x) f(x1) x1 0 f(x2) x2 x
从左到右图像下降 (任意)

x1 < x2
减函数

(都有) f(x1) > f(x2)

函数的单调性的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M包含于A。如果取区 间M中的任意两个值x1,x2, 当改变量△ x= x2,- x1>0时,有△y=f(x2)-f(x1) >0,那么就称函 数 y=f(x) 在区间M上是 增函数。 当改变量△ x= x2,- x1>0时,有△y=f(x2)-f(x1)<0, 那么就称函数 y=f(x) 在区间M上是 减函数。 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函 数在这个区间M上具有 单调性 (区间M称为单调区间)

例1:

下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) 的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间, 以及在每一个单调区间上, y=f(x)是增函数 还是减函数。
y=f(x)

解:y=f(x)在区间[-5,-2], [1,3]上是减函数
在区间[-2,1], [3,5]上是增函数。

函数y=f(x) 的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3), [3,5]。

例 2、证明函数 f ( x ) ? 2 x ? 1在区间

证明: 设 x 1 , x 2 是区间

( ? ? , ? )上是增函数。 ?

( ?? , ?? )内任意

两个实数,且 x 1 ? x 2 。 (条件) f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ( 2 x 1 ? 1) ? ( 2 x 2 ? 1) ? 2(x 1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 , ? x1 ? x 2 ? 0 ? f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? 0 即 f (x 1 ) ? f (x 2 )
是增函数。

(论证结果)

则函数 f ( x ) ? 2 x ? 1在区间 ( ?? , ?? )

(结论)

证明函数单调性的步骤:
1、设x1,x2属于给定区间
2、作差f(x1) --f(x2)并判断符号 3、根据函数的单调性定义肯定此 命题成立

检测题 证明函数f(x)= 2x+1在(-∞,+∞)上是增函数 。 证明:设x1 ,x2∈(-∞,+∞),且x1 ﹤x2,那么 f(x1)=2x1+1, f(x2)=2x2+1 f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1) = 2(x1-x2); ∵ X1 <x2 , ∴x1-x2____0 ① < ∴ f(x1)-f(x2)______0 ②, < 即f(x1)____f(x2) ③ < 增函数 f(x)=2x+1在区间(-∞,+∞)上是_____ ④, a : > ; b: ﹤; c: 增函数 d: 减函数
y
f(x2) f(x1)

0x

1

x2

x

小结:
? ?

1.有关单调性的定义; 2.证明单调性步骤

作业:课本P64习题2.3 1~5

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