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高三理科数学一轮复习8:统计与概率—离散型随机变量的分布列


高三理科数学一轮复习 8:统计与概率—离散型随机变量的分布列
1.若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 有实数根的概率是
2 2 2





1 3 π- 2 3π + 2 B. C. D. 4 4 4π 4π 2.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是
A.





1 A. 3
值为

1 B. 2

2 C. 3

5 D. 6

3. 某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看, 前 m 年的年平均产量最高.m

( A.5 B.7 C .9 D.11



第 3 题图

第 4 题图

4.如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直 方图,其中成绩分组区间是:[40,50) ,[50,60) ,

[60,70) ,[70,80) ,[80,9 0) ,[90,100] ,则图中 x 的值等于 A. 0.754 B. 0.048 C. 0.018 D. 0.012
5. 如图, 在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子, 若撒在图形 ?





内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为 (

?



ma A. n
6.设不等式组 ?

na B. m

ma 2 C. n

na 2 D. m

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大 ?0 ? y ? 2
( B. )

于 2 的概率是 A.

? 4

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 7.设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y +2=0 的 ? y ? ?2 ?

距离大于 2 的概率是 A.

( B.



4 13

5 13

C.

8 25

D.

9 25

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8.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量

p=


(m,n) , q =(3,6) ,则向量 p 与 q 共线的概率为 A.

( D.

1 3

B.

1 4

C.

1 6

1 12


9. 在平面区域 ?

?0 ? x ? 1, 1 内任取一点 P( x, y ) , 若 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? b 的概率大于 , 则 b 取值范围是 ( 4 ?0 ? y ? 1

A. (??, 2)

B. (0, 2)

C. (1,3)

D. (1, ??) )

10.将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是(

A.

2 21

B.

4 63

C.

1 21

D.

2 63

11.福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福

利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为 50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元, 50 元和 150 元三种; (3) 顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概率为 p , 获得 50 元奖金的概率为 2% . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求

p 的取值范围.

12.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

1 1 、 、p, 且他 2 3

们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为

1 . 4

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;[来源:学§ 科§ 网] (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .
13. (2013 北京朝阳二模数学理科试题)为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛

成绩共有 90 分,70 分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生 中随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表: 成绩等 级 成绩 (分) 人数 (名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级 为“ A 或 B ”的概率; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3 人,记 X 表示抽到成绩等级为“ A 或 B ”的学生人数,求 X 的分布列及其数学期望 EX ; (Ⅲ)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 20 分”的概率.
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北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 25:概率与统计
一、选择题 2 . (2013 届北京大兴区一模理科)若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 有
2 2 2

实数根的概率是 A.

( B.



1 4

3 4

C.

3π + 2 4π

D.

π- 2 4π

【答案】C 3 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 )从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2

个球,则恰有一个红球的概率是 A.

( C.



1 3

B.

1 2

2 3

D.

5 6

【答案】C

解:从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?

1 1 C2 C2 4 2 ? ? ,选 2 C4 6 3

C.

4 . (2012 北京理)8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m 年

的年平均产量最高.m 值为

( ) B.7 C .9 D.11 【答案】 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C. 【答案】C A.5
5 . (2013 北京东城高三二模数学理科)如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直 方图,其中

成绩分组区间是:[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,9 0) ,[90,100] ,则图中 x 的值等 于 A. 0.754 B. 0.048 C. 0.018 D. 0.012 ( )

【答案】

C.
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6 . (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内

随机撒豆子,若撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为

?
( )

ma A. n
【答案】

na B. m
C.

ma 2 C. n

na 2 D. m

7 . (2012 北京理)2.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ?0 ? y ? 2
( C. )

坐标原点的距离大于 2 的概率是 A.

? 4

B.

? ?2
2

? 6

D.

4 ?? 4
D 可以存在的

【解析】 题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域如图正方形所示, 而动点 ?0 ? y ? 2

位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 ,故选 P? ? 2? 2 4
【答案】D

D.

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 8 . (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 ? y ? ?2 ?

D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是
A.





4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

【答案】D

解:不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距离等于 2, 所 以 要 使 点 D 到 直 线 的 距 离 大 于 2 , 则 点 D 应 在 三 角 形 BCF 中 。 各 点 的 坐 标 为

BC ? 6, B(?2,, 0) C (4,, 0) D(?6, ? 2),E(4, ? 2),F (4, 3) ,所以 DE ? 10,EF ? 5,

CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为

1 ? 6?3 S?BCF 9 P? ? 2 ? S?DEF 1 ?10 ? 5 25 , 选 2

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D.
9 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现

的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量 p =(m,n) , q =(3,6) ,则向量 p 与 q 共线的概率为 ( A. )

1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

【答案】D 10 . (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)在下列命题中,

? x3 1 4 ”是“ sin ? ? 1 ”的充要条件;② ( ? ) 的展开式中的常数项为 2 ; 2 2 x 1 ③设随机变量 ? ~ N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? ? p . 2
①“ ? ? 其中所有正确命题的序号是 A.② C.②③ 【答案】C ( B.③ D.①③
?0 ? x ? 1, 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 ?0 ? y ? 1



11 . ( 2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) 在平面区域 ?

2 x ? y ? b 的概率大于

1 ,则 b 的取值范围是 4
C. (1,3) D. (1, ??)





A. (??, 2)
【答案】

B. (0, 2) D.

12. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)在区间

?0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件“ tan xgcos x ? 2 ”
( ) D.

1

发生的概率为 A.

1 3

B. C.

1 2

C.

2 3

3 4

【答案】

13. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使得

每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是 A.

( D.



2 21

B.

4 63

C.

1 21

2 63

【答案】B

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解:将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使得每组至少有一个数则有
1 2 3 4 5 6 C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 27 ? 2 ? 126 种,因为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 28 ,所以要使两组中

各数之和相,则有各组数字之和为 14.则有 7 ? 6 ? 1 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ; 7 ? 5 ? 2 ? 6 ? 4 ? 3 ? 1 ;

7 ? 4 ? 3 ? 6 ? 5 ? 2 ? 1 ; 7 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ? 5 ? 3 ;5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 7 ? 6 ? 1 ;6 ? 4 ? 3 ? 1 ? 7 ? 5 ? 2 ; 6 ? 5 ? 2 ? 1 ? 7 ? 4 ? 3 ; 6 ? 5 ? 3 ? 7 ? 4 ? 2 ? 1 共 8 种,所以两组中各数之和相等的概率是 8 4 ? ,选 B. 126 63
二、填空题 14. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 )某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240

人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取 的人数是
【答案】20

______.

解:高三的人数为 400 人,所以高三抽出的人数为

45 ? 400 ? 20 人。 900
,由图中数据可知

15. (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )从某校高三学生中随机抽取 100 名同学,

将他们的考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图(如图) .则图中 a= 此次成绩平均分为 . 频率 【答案】0.035,64.5 组距 16. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届 a 3 月联考综合练习(二)数学(理)试 0.030 已知随机变量 X 的分布列如下,则 的值等于 0.020 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90

高三 题 )

EX

分数(分)

X

[来源:学&科&网

1
1 2

2
1 3

3

Z&X&X&K]

P
5 3

m

【答案】

17. (2013 北京朝阳二模数学理科试题)将一个质点随机投放在关于

x, y 的不等式组

?3 x ? 4 y ? 19, ? ? x ? 1, ?y ?1 ?

所构成

的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是_______.
【答案】

1?

? 12
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18. (2010 年高考(北京理) )从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率

分布直方图 (如图) ?由图中数据可知 a=_________ ?若要从身高在[120 , 130) , [130 , 140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生 中选取的人数应为_________?

【答案】0.030 , 3 ;解:组距是 10,

(0.005+0.010+0.020+0.035+a)=1, 在 [120 , 130 ) , [130 , 140 ) , 内的学生中,他们的人数比例是 样的方法选取 18 人,则从身高在 学生中选取的人数为 18 ?

所 以 10× 解得 a=0.030, [140 , 150]三组 3:2:1 ,用分层抽 [140 , 150] 内的

1 ? 3 (人). 1? 2 ? 3

19. (2013 北京西城高三二模数学理科)右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据的茎叶图.记甲,

乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 ,则 x甲 ______ x乙 . (填入:“ ? ”,“ ? ”,或“ ? ”)

【答案】

?;

20. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) )下图是根据 50 个城市某年 6 月份的平均

气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是 ?20.5,26.5? ,样本数据的分 组为 ?20.5,21.5? , ?21.5,22.5? , ?22.5,23.5? , ?23.5,24.5? , ?24.5,25.5? , ?25.5,26.5? .由图中数据 可知 a ? _______;样本中平均气温不低于 23.5℃的城市个数为________.

【答案】答案 0.18,33 因为 (0.10 ? 0.12 ? 2 ? a ? 0.22 ? 0.26) ?1 ?1 ,所以 a ? 0.18 .不低于 23.5℃

的 频 率 为 (0.18 ? 0.22 ? 0.26) ?1 ? 0.66 , 所 以 样 本 中 平 均 气 温 不 低 于 23.5℃ 的 城 市 个 数 为

0.66 ? 50 ? 33 .
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? y ? x ? 1, ? 21 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )已知区域 ? ? {( x, y ) ? y ? 0, } , ? x ? 1, ?
? ? y ? ? x ? 1, M ? {( x, y ) ? } ,向区域 ? 内随机投一点 P ,点 P 落在区域 M 内的概率为 y ? 0, ? ?
【答案】

.

1 2

22. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、

乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后, 甲、 乙两名选手得分的平均数分别为 a1 , a2 , 则 a1 , a2 的大小关系是_____________ (填 a1 ? a2 , a2 ? a1 ,

a1 ? a2 )


【答案】 a2

? a1

【解析】去掉一个最高分和一个最低分后,甲乙都有 5 组数据,此时甲乙的平均数为

a1 ?

1? 4 ? 5? 3 6 ? 7 ? 4?3 ?8 0 ? 8 4 ? 80 ? 85 ,所以 a2 ? a1 。 , a2 ? 5 5
级学生中随 绩(均为整 100]后得到频 内的人数是

23. (2013 届北京丰台区一模理科)某校从高一年

机抽取 100 名学生, 将他们期中考试的数学成 数)分成六段:[40,50) ,[50,60) ,…,[90, 率分布直方图 (如图所示) . 则分数在[70, 80) ________。
【答案】30;

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 24. (2013 届北京市高考压轴卷理科数学)设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机 ? y ? ?2 ?

取一个点,则此点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是________
【答案】

9 25

【解析】不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距离等于 2 , 所 以 要 使 点 D 到 直 线 的 距 离 大 于 2 , 则 点 D 应 在 三 角 形 BCF 中 . 各 点 的 坐 标 为

B(?2,, 0) C (4,, 0) D (?6, ? 2),E (4, ? 2),F (4, 3) ,所以 DE ? 10,EF ? 5, BC ? 6,
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1 ? 6?3 S ?BCF 9 P? ? 2 ? S ?DEF 1 ?10 ? 5 25 CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为 2 .

三、解答题 25. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)为了解甲、乙两厂的产品

的质量,从两厂生产的产品中随机抽取各 10 件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是 测量数据的茎叶图: 甲厂 9 0 3 9 1 6 50 5 8 3 2 1 8 45 6 9 0 3 乙厂

1 0 3

规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优 等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优等品数 ? 的分布列及 其数学期望 E (? ) ; (Ⅲ )从上述样品中,各随机抽取 3 件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率.
【答案】解: (I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为

6 3 ? . 10 5

乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 (II) ? 的取值为 0,1,2,3.[来源:学科网]

5 1 ? . ………………..2 分 10 2

3 1 C50 ? C5 C5 ? C52 5 1 P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12

P(? ? 2) ?

1 3 C52 ? C5 C5 5 1 ? , P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C10 12 C10 12

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所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

E ?) ? 0? 故 ?的数学期望为(

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2 ……………………9 分

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取的优等品数甲厂 2 件,乙厂 0 件”,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”

3 2 1 1 27 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? C30 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 2 2 500 81 3 3 3 1 1 1 1 2 P( B) ? C3 ( ) ? C3 ( )( ) ? 5 2 2 1000
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P( A) ? P( B) ?

27 81 27 ? ? . …13 分 500 1000 200

26. (北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里

装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,现在从这两个箱子里各随机摸出2个球,求 (Ⅰ)摸出3个白球的概率; (Ⅱ)摸出至少两个白球的概率; (Ⅲ)若将摸出至少两个白球记为 1 分,则一个人有放回地摸 2 次,求得分 X 的分布列及数学期望。
【答案】解: (I)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件

Ai ? (i ? 0,1, 2,3), 则

P( A3 ) ?

1 C32 C2 1 ? ? . 2 2 C5 C3 5

………………..3 分

(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件 B,则
2 C C 1 1 1 1 2 2C 22 C C2 ? CC 1 2 3 C 2 ? P( A2 ) ? 32 ? ? ? ? , 2 2 2 2 2 C5 C3C5 C C C2 2 35 3

B ? A2

A3 ,又

1

1

1

且 A2,A3 互斥,所以

P( B) ? P( A2 ) ? P ( A3 ) ?

1 1 7 ? ? . 2 5 10 ………………..6 分

(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2.

7 2 9 ) ? , 10 100 7 21 1 7 P( X ? 1) ? C2 (1 ? ) ? , 10 10 50 7 2 49 P( X ? 2) ? ( ) ? . 10 100 P( X ? 0) ? (1 ?
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所以 X 的分布列是 X P 0 1 2

9 100

21 50

49 100
………………..13 分

E( X ) ? 0 ?
X 的数学期望

9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5

27. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租

情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据 如下表: A 型车 出租 天数 车辆 数 B 型车 出租 天数 车辆 数 1 14 2 20 3 20 4 16 5 15 6 10 7 5 1 5 2 1 0 3 3 0 4 3 5 5 1 5 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这 辆汽车恰好是 A 型 车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买一辆,请 你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.
【答案】解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6 (II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天”, “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天”,其中 i, j ? 1,2,3,...,7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 ………………3 分

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )

………………5 分 ………………7 分

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5 20 10 20 30 14 ? ? ? ? ? 100 100 100 100 100 100 9 ? 125 ?
该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 ………………9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为

9 125

X

1 0.05

2 0.10

3 0.3 0

4 0.3 5

5 0.15

6 0.03

7 0.02

P

[来源:学科网] 设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

Y

1 0.14

2

3

4 0.1 6

5 0.15

6 0.10 [来 源: 学 科 网]

7

[Y.COM/]

P

0.20

0.2 0

0.05 [来 源: 学# 科# 网 Z#X #X# K]

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02 =3.62

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05
………12 分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的平均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差,综合分析,选 择 A 类型的出租车更加合理 . ………………13 分
28. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)在某校组织的一次篮球定

=3.48

点投篮测试中,规定每人最多 投 3 次,每次投篮的结果相互独立.在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每 .. 投进一球得 2 分,否则得 0 分. 将学生得分逐次累加并用 ? 表示,如果 ? 的值不低于 3 分就认为通过测 试,立即停止 投篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种:方案 1:先在 A 处投 .... 一球,以后都在 B 处投;方案 2:都在 B 处投篮.甲同学在 A 处投篮的命中率为 0.5 ,在 B 处投篮的命 中率为 0.8 . (Ⅰ) 甲同学选择方案 1.
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① 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 的概率; ② 求甲同学测试结束后所得总分 ? 的分布列和数学期望 E? ; (Ⅱ)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.
【答案】 (Ⅰ)在 A 处投篮命中记作 A ,不中记作 A ;在 B 处投篮命中记作 B ,不中记作 B ;

① 甲同学测试结束后所得总分为 4 可记作事件 ABB ,则

P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
② ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

………………2 分

P(? ? 0) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.02
P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P( A) P(B) P( B ) ? P( A) P( B ) P(B)
? 0.5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.5 ? (1 ? 0.8) ? 0.8 ? 0.16

P(? ? 3) ? P(A) ? 0.5
P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
………………6 分

? 的分布列为:

?
P

0 0.02

2 0.16

3 0.5

4 0.32

………………7 分

E? ? 0 ? 0.02 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.5 ? 4 ? 0.32 ? 3.1 ,

………………9 分

(Ⅱ)甲同学选择方案 1 通过测试的概率为 P 1 ,选择方案 2 通过测试的概率为 P 2 ,

P 1 ? P (? ? 3) ? 0.5 ? 0.32 ? 0.82

P2 ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) = 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.896
因为 P2 ? P 1 所以 甲同学应选择方案 2 通过测试的概率更大 ………………13 分

29. (2010 年高考 (北京理) ) 某同学参加 3 门课程的考试?假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 , 5

第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ) ,且不同课程是否取得优秀成绩相互独 立?记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为
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ξ

0

1

2 b

3

p

6 125

a

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ.

i =1, 【答案】 解:事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”, 2, 3, 由题意知 P ( A1 ) ?

4 ,P( A2 ) ? p , 5

P( A3 ) ? q
(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以该生至少有 1 门课 程取得优秀成绩的概率是 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (II)由题意知 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ?

6 119 ? , 125 125

1 6 (1 ? p)(1 ? q) ? 5 125 4 24 6 P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? pq ? , 整理得 pq ? , p ? q ?1 5 125 125 3 2 由 p ? q ,可得 p ? , q ? . 5 5
(III)由题意知 a ? P(? ? 1) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3) =

4 1 1 37 (1 ? p)(1 ? q) ? p(1 ? q) ? (1 ? p)q ? 5 5 5 125 58 125 9 5

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =

E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) =

30. (2013 届北京丰台区一模理科)在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如下:

主办方先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获奖 600 元,最后 还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元。 (Ⅰ)求甲和乙都不获奖的概率; (Ⅱ)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和均值 EX 。
【答案】解: (Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件 A ,
2 1 1 C4 C2 C2 1 则 P(A)= 2 ? 1 ? 1 ? , C6 C4 C4 10

………………………………1 分

答:甲和乙都不获奖的概率为

1 . ……………………………………5 分 10

(Ⅱ)X 的所有可能的取值为 0,400,600,1000,…………………………………6 分
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P(X=0)=

3 C2 3 1 1 C52 1 3 1 , P(X=400)= 5 , P ( X=600 ) = ? ? ? ? ? ? , 2 2 8 C6 4 4 8 C6 4 4 8
1 C5 C52 1 1 3 ? 2 ? ? ? , …………………………………………10 分 2 C6 C6 4 4 8

P(X=1000)=

∴X 的分布列为 X P 0 400 600 1000

3 8 3 8 1 8

1 8 1 8

1 8 3 8

3 8
……………11 分

∴E(X)=0× +400× +600× +1000× =500(元). 答: 甲获奖的金额的均值为 500(元). …………………………13 分

31. (2012 北京理)17.近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收

物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了 该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “ 厨 余 垃 圾”箱 厨余垃 圾 可回收 物 其他垃 圾 400 30 20 “ 可 回 收 物”箱 100 240 20 “ 其 他 垃 圾”箱 100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c 其中 a>0,
2 a ? b ? c =600.当数据 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s 的值.

(注: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为数据 x1, x2 ,?, xn 的平均数) n
400 2 = 600 3 .

【答案】解:( )由题意可知:

( )由题意可知:

200+60+40 3 = 1000 10 .

1 ( )由题意可知: s 2 ? (a2 ? b2 ? c2 ? 120000) ,因此有当 a ? 600 , b ? 0 , c ? 0 时,有 s 2 ? 80000 . 3
32. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试





题 ) 某工厂

甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带 时抽一包产品,称其重量(单位:克)是否合格,分
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2 12 4 4311 11 025 7 10 89

上每隔一小 别记录抽查

数据,获得重量数据茎叶图(如右). (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相 对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概率.
2 2

【答案】解: (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 ,

则 X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , 6 1 2 2 2 2 s甲 ? ??122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? 6?

……………………1 分 ……………………2 分

2 2 2 ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?

? 21 ,
1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? 6
2 2 2 ? ?115 ? 113? ? ?108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ?

……………………4 分

? 29.33 ,

……………………6 分

2 2 由于 s甲 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;……………………7 分 ? s乙

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109? ?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
所以 .………………9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ………………11 分 ………………13 分

P ? A? ?

4 . 15

33. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 ) (本小题满分 13

分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中 随机抽取了 40 名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示) . (1) 试估计这 40 名学生成绩的众数; (2) 试估计这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的人数; (3) 从参加活动的学生中任取 5 人,求这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90? 之间的概率.

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频率 组距
0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 60
【答案】解: (1) 77.5;

65

70

75

80

85

90

95

100

分数

………………………………………3

分 (2) 所求为:直线 x ? 72 与直线 x ? 84 之间的直方图的面积 ? 40 , 因此, (3 ? 0.035? 5 ? 0.045? 4 ? 0.040) ? 40 ? 19.6 ………………………7 分 ……………8 分

答:这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的有 20 人. (答 19 人也算对) (3) 设这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90?之间为事件 A , 因为 (0.04 ? 0.02) ? 5 ? 0.3
2 所以 P( A) ? C5 ?

……………………………………10 分
3

?3? ?7? ? ? ? ? 0.3087 ? 10 ? ? 10 ?

2

……………………………………12 分 ………13 分

答:这 5 人中恰有 2 人 的成绩在 ?80, 90?之间的概率为 0.3087.

34. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大

的提速,对市民进行了“生活满意”度的调查.现随机抽取 40 位市民,对他们的生活满意指数进行统计 分析,得到如下分布表: 满意级别 满意指数 (分) 人数(个) 非常满意 90 15 满意 60 17 一般 30 6 不满意 0 2

(I)求这 40 位市民满意指数的平均值; (II)以这 40 人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数很多)中任 选 3 人,记 ? 表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求 ? 的分布列; (III)从这 40 位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为 m ,然后再随机选另一个人,记他的 满意指数为 n ,求 n ? m ? 60 的概率.
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【答案】解:(Ⅰ)记 X 表示这40位市民满意指数的平均值,则

X?

1 (90 ? 15 ? 60 ? 17 ? 30 ? 6 ? 0 ? 2) ? 63.75 (分) 40

(Ⅱ) ξ 的可能取值为0、1、2、3.

1 0 4 0 1 3 12 P(? ? 0) ? C3 ( ) ( ) ? 1 4 1 1 2 5 5 125 , P(? ? 1) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 125 4 1 48 64 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? 3 4 3 1 0 , P (? ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 125 5 5 125
? ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125

(Ⅲ)设所有满足条件 n ? m ? 60 的事件为 A
1 ①满足 m ? 0且n ? 60 的事件数为: A21 A 17 ? 34 1 ②满足 m ? 0且n ? 90 的事件数为: A21 A 15 ? 30

1 ③满足 m ? 30且n ? 90 的事件数为: A61 A 15 ? 90 ? P( A) ?

34 ? 30 ? 90 77 ? 2 A40 780

所以满足条件 n ? m ? 60 的事件的概率为

77 780
糊,无法确认,在图中以 X 表示.

35. (2011 年高考(北京理) )以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树,乙组记录中有数据模

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和 方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组随机选取一名 同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望. (注:方差 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ?

甲组 9 9 1 1

0 1

乙组 X 8 0

9

1 n

? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,

xn 的平均数)

【答案】 【命题立意】本题考查了样本的平均数和方差的计算,考查离散型随机变量的分布列和数学期

望.考查学生的实际应用能力和分析问题解决问题的能力. 【解析】 (Ⅰ)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? , 4 4 1 35 35 35 35 11 方差为 s 2 ? [(8 ? )2 ? (8 ? )2 ? (9 ? )2 ? (10 ? )2 ] ? 4 4 4 4 4 16
所以平均数为 x ? (Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是 9,9,11,11,乙组同学的植树棵数是:,9, 8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4× 4=16 种可能的结果, 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21, 事件“Y=17”等价于“甲组选取的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”,所以该事件有两种可能的
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结果,因此 P(Y ? 17) ? 同理可得 P(Y ? 18) ?

2 1 ? 16 8

1 1 1 1 ; P(Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? , P(Y ? 21) ? , 4 4 4 8
Y P 17 18 19 20 21

所以随机变量 Y 的分布列为

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17× P(Y=17)+ 18× P(Y=18)+ 19× P(Y=19)+ 20× P(Y=20)+ 21× P(Y=21) = 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 21? ? 19
36. (2013 届北京大兴区一模理科)期末考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

成绩,如下表: 学生 数学 物理
A1 A2 A3 A4 A5

89 87

91 89

93 89

95 92

97 93

(1)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。 从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动, 以 X 表示选中同学的物理成绩高于 90 分 的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值.

【答案】解: (Ⅰ)5 名学生数学成绩的平均分为:

1 (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5

5 名学生数学成绩的方差为:

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5 1 5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5
5 名学生物理成绩的方差为:

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)由题意可知, X ? 0 , 1 , 2

P( X ? 0) ?

0 2 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

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P( X ? 1) ?

1 1 C2 ? C2 2 ? 2 C4 3

P( X ? 2) ?

2 0 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

随机变量 X 的分布列是 X P ( X ) 0 1 2

1 6

2 3

1 6

1 2 1 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6
37. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划

分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测 结果统计如下: 测试指 标 元件 A 元件 B

[70,76)
8
7

[76,82)
12

[82,88)
40
40

[88,94)
32
29

[94,100]
8
6

18

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若是正品可 盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.
【答案】 (Ⅰ)解:元件 A 为正品的概率约为

元件 B 为正品的概率约为

40 ? 29 ? 6 3 ? . 100 4

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5
………………2 分

………………1 分

(Ⅱ)解: (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

………………3 分

4 3 3 P ( X ? 90) ? ? ? ; 5 4 5

1 3 3 P( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 20
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4 1 1 P ( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 1 1 P( X ? ?15) ? ? ? . 5 4 20

………………7 分

X
P

90

45

30

?15

3 5

3 20

1 5

1 20

………………8 分

3 3 1 1 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 所以 n ? 4 ,或 n ? 5 . 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A , 则 P ( A) ? C5 ( ) ?
4 4

………………9 分

解得 n ?

19 . 6
………………11 分

3 4

1 3 5 81 ?( ) ? . 4 4 128

………………13 分

38. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现

在福彩中心准备发行一种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡, 设计方案如下( : 1) 该福利彩票中奖率为 50%; (2)每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种;(3)顾客购买一张彩票获得 150 元奖金 的概率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2% . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求
【答案】解:(I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) ? 1 ? 0.5 ? 0.75

p 的取值范围.

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145

? 的分布列为
?
5 0 ?45 ?145

P

50%

50% ? 2% ? p

2%

p

所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? ( ?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145 p
第 21 页,共 36 页

所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即

p?

8 725

所以当

0? p?

8 725 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业

39. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)小明从家到学校有两条路线,路线 1 上有三个路口,各路口

遇到红灯的概率均为

1 3 4 ;路线 2 上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 2 4 5

(Ⅰ)若小明上学走路线 1,求最多遇到 1 次红灯的概率; (Ⅱ)若小明上学走路线 2,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的 上学路线,并说明理由. 【答案】 (Ⅰ)设走路线 1 最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? 2 2 2 2 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2. 3 4 1 P ( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 20 3 4 3 4 7 P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 4 5 20 3 4 3 P( X =2)= ? ? 4 5 5 随机变量 X 的分布列为: 0 X 1 P 20 EX ? 1 7 3 31 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? 20 20 5 20

1

2

7 20

3 5

(Ⅲ)设选择路线 1 遇到红灯次数为 Y ,则 Y 所以 EY ? 3 ?

1 B(3, ) , 2

1 3 ? 2 2

因为 EX ? EY ,所以选择路线 1 上学最好
40. (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)国家对空气质量的分级规定如下表:

污 染 指 数 空 气 质

0~50

51~100

101~150

151~200

201~300

>300





轻度污 染

中度污 染

重度污 染

严重 污染

第 22 页,共 36 页

量 某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 3 4 1 4 0 4 2 1 0 1 3 8 1 6 3 1 8 7 3 1 2 1 1 5 4 2 1 0 2 2 2 7 3 6 1 5 1 4 9 1 0 3 1 3 5 4 0 4 5 7 8 2 3 6 5 7 9 2 0 7 2 0 1 6 4 8 8 1 6 0

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a ,b, x ,y 的值; (Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优 或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 频 分组 数
【 答 案 】 解 : ( Ⅰ )

频 率

[0,50] (50, 100] (100,

14

7 15

1 1 a ? 6, b ? 3, x ? , y ? , 5 10
空气质量为优或良的概率为

(Ⅱ)由题意,该市 4 月份 P=

a
5

x
1 6
y

4 2 2 ? ? , 15 5 3

150] (150, 200] (200, 250] 合计 b 2 30

1 ?1? P( X ? 0) ? C ? ? ? ? , ? 3 ? 81
0 4

4

1 15
1

8 ? 2? ?1? 1 P( X ? 1) ? C4 ?? ??? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 81 8 32 ? 2? ?1? ?2? 1 3 P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ?? ? ? ? , 27 81 ? 3 ? ? 3? ? 3? 3
2 4 2 2 3

3

? 2 ? 16 P( X ? 4) ? C ? ? ? ? ? 3 ? 81
4 4

4

? X 的分布列为:
X 0 1 2
第 23 页,共 36 页

3

4

P

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

2 2 8 , ? EX ? 4 ? ? ? X~B(4, ) 3 3 3
41. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生

参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如 图所示)解决下列问题: 频率分布表
频率分布直方图
0.040

频率 组距


组别 分组 [50 , 60) [60 , 70) [70 , 80) [80 , 90) [90 , 100] 合计

频 数 8

频率

x

Ⅰ ) 写
第2组 第1组



0.16


a



0.008 y 50 60 70 80 90 100



a, b, x, y
的 值 ;

第3组

20

0.40

成绩(分)

第4组



0.08

第5组

2 ▓

b ▓

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上

(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动 ,求所抽取的 2 名同学 来自同一组的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数,求 ? 的分布列及其数学 期望.

【答案】解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . ………………4 分

(Ⅱ)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有
2 C6 ? 15 种情况.

………………………………………………………………6 分

设事件 A :随机抽取的 2 名同学来自同一组,则
第 24 页,共 36 页

P( A) ?

2 2 C4 ? C2 7 ? . 2 C6 15

所以 ,随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是

7 . …………………………8 分 15

(Ⅲ )由(Ⅱ)可知, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,则

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 6 2 1 , , ? ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? . 2 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

所以, ? 的分布列为

0 [来

?
所以,

源:学 科网]

1

2

…………………………………………12 分

P

2 5

8 15

1 15

2 8 1 2 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . ……………………………………13 分 5 15 15 3
42. (2013 届北京西城区一模理科)某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行学业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【答案】 (Ⅰ)解:依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 ,…………1 分

所以,从甲组抽取的学生人数为

2 1 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 .…2 分 3 3
……3 分

设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 则 P( A) ?
1 C1 15 3 ? C5 , ? 2 C8 28

故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 (Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,1, 2,3 .
2 C5 ? C1 5 2 , P( X ? 0) ? 2 1 ? C8 ? C4 28

15 . 28

…………5 分 ………6 分

1 1 2 C1 C5 ? C1 25 3 ? C5 ? C2 2 P( X ? 1) ? ? 2 1 ? , 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 56

P( X ? 2) ?

2 1 1 C3 ? C1 C1 9 2 3 ? C5 ? C2 ? ? , 2 1 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 28

P( X ? 3) ?

2 C3 ? C1 3 2 ? .……………10 分 2 1 C8 ? C4 56

所以,随机变量 X 的分布列为:
第 25 页,共 36 页

X

0

1

2

3

P

5 28

25 56

9 28

3 56
………………11 分

EX ? 0 ?

5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 28 56 28 56 4

………………13 分

43. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志

愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示, 其中年龄分组区间是: ?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从 这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁” 的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 频率/组距 0.07 x

0.04 0.02 0.01 O 20 25 30 35 40 45

【答案】解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除

?35,40? 外的频率和为 0.70,

年龄/岁

?x ?

500 名志愿者中,年龄在 ?35,40? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人). (II)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3,
3 1 C8 C12 C82 14 28 , P? X ? 1? ? , P? X ? 0 ? ? 3 ? ? 3 285 95 C20 C20 2 1 3 C12 C8 C12 44 11 , P? X ? 3? ? 3 ? , P? X ? 2 ? ? ? 3 95 C20 57 C 20

1 ? 0.70 ? 0.06 5

故 X 的分布列为

X P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

3

14 285

28 95

44 95

11 57

14 28 44 11 171 ? 1? ? 2? ? 3? ? 285 95 95 57 95
第 26 页,共 36 页

44. (2013 北京西城高三二模数学理科)某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,

将获得一次摸奖机会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励 10 元,摸 到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【答案】 (Ⅰ)解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A ,

则 P( A) ?

2 A3 1 ? , 3 A4 4

故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为

1 4

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15, 20

1 P ( X ? 0) ? , 4

A2 1 P( X ? 5) ? 2 ? , 2 A4 6 P( X ? 15) ?
2 C1 1 2 ? A2 ? , 3 A4 6

P( X ? 10) ?

1 A2 1 2 ? 3 ? , 2 A4 A4 6 A3 1 3 ? 4 A4 4

P( X ? 20) ?

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

0

5

10

15

20

P

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4

1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 5? ? 1 ? 0 ? 1 ?5 ? 4 6 6 6
三个等级.测试结果如下表:(单位:人)

1 ? 2 0? 4

10

45. (2013 北京东城高三二模数学理科)某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格

优 秀 男

良 好

合 格

180 70 20 a 120 30 女 按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人.
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.
第 27 页,共 36 页

【答案】 (共 13 分)解:(Ⅰ)设该年级共 n 人,由题意得

50 30 ? ,所以 n ? 500 . n 180 ? 120

则 a ? 500 ? (180 ? 120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 . (Ⅱ)依题意, X 所有取值为 0,1, 2 .

P( X ? 0) ?

1 1 2 C2 C3 3 C32 3 C2 1 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? . C52 10 C52 5 C52 10

X 的分布列为: X
P

0 1 10

1 3 5

2 3 10

EX ? 0 ?

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? 10 5 10 5

46. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知

甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 、 、p, 且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲 破译出密码的概率为

1 1 2 3

1 . 4

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;[来源:学§ 科§ 网] (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .
【答案】记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? ? ? . 2 3 3
(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码” 为事件 B ,则有

…………………3 分

1 2 1? p P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? , 2 3 3 1 1? p 1 ? ,p? . 所以 4 3 4
(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3 . 所以 P ( X ? 0) ?

…………………5 分 ……………………7 分 ……………………8 分

1 , 4

P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
? 1 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24
第 28 页,共 36 页

P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 P( X ? 3) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? ? . 2 3 4 24 X 分布列为: 0 X 1 P 4
……………………12 分 所以, E ( X ) ? 0 ?

……………………11 分

1 11 24

2 1 4

3 1 24

1 11 1 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 24 4 24 12

………………13 分

47. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 (解析) ) 现有甲、 乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,

每次命中的概率为

3 2 ,每命中一次得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击一次,命中的概率为 ,命 4 3

中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.
【答案】解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件 A ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件 B ,“该射

手第二次射击甲靶命中”为事件 C ,“该射手射击乙靶命中”为事件 D . 由题意知, P ?B ? ? P ?C ? ?

所以 P? A? ? P BC D ? P BC D ? P BCD

?

? ?

3 2 , P ?D ? ? , 4 3

? ?

?

? P?B ?P?C ?P D ? P?B ?P C P?D ? ? P B P?C ?P?D ?

? ?

??

??

?
?

3 3 ? 2? 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3
7 16

(II)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

3? ? 3? ? 2? 1 ? , P ? X ? 0 ? ? P B C D ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 48 ? P? X ? 1? ? P BC D ? P BC D ?
? 1 . 8
第 29 页,共 36 页

?

?

?

? ?

?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3?

P? X ? 2 ? ? P BC D ? P BC D ? P? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

? ?

?

3 3 ? 2? ? 3? ? 3 ? 2 11 , ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? ? 4? ? 4 ? 3 48 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4

?

? ?

?

P? X ? 4? ? P?BCD ? ?
故 X 的分布列是

3 3 2 3 ? ? ? , 4 4 3 8

X
P

0

1

2

3

4

1 48

1 8

11 48

1 4

3 8

所以 EX ? 0 ?

1 1 11 1 3 17 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 48 8 48 4 8 6

(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件 A1 ,“该射手向甲靶射击命中一次且向 乙靶射击未命中 ” 为事件 B1 , “ 该射手向甲靶射击命中 2 次且向乙靶射击命中 ” 为事件 B2 ,则

A1 ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件. P? A1 ? ? P?B1 ? ? P?B2 ?
?
?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 3 3 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 4 4 3
1 . 2 1 2

所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为

48. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也

称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克/立 方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气 质量恰好有一天为一级的概率; (Ⅲ)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的 分布列及期望.

第 30 页,共 36 页

【答案】

49. (2013 届北京市延庆县一模数学理)空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入
3

肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

PM 2.5 进行监测, 甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 获得 PM 2.5 日均浓度指数 甲城市 乙城市
数据如茎叶图所示: 3 4 (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内 6 哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由) 7 (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市 8 9 空气质量类别均为优或良的概率; 0224 896 151 8 230 8 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809

(Ⅲ) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优或良的天数, 求 X 的分布列及数学期望.
【答案】解: (Ⅰ)甲城市空气质量总体较好.

………2 分

(Ⅱ)甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天,任取 1 天,空气质量类别为优或良的概
第 31 页,共 36 页

率为

10 2 ? , 15 3

………4 分

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优或良的概率为

5 1 ? , 15 3

………6 分 在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

2 1 2 ? ? . 3 3 9
………8 分

(Ⅲ) X 的取值为 0,1,2 ,

………9 分

2 0 1 1 C50 C10 C52 C10 C5 C10 10 3 2 , P ( X ? 0) ? P( X ? 0) ? ? , P( X ? 1) ? ? ? 2 2 2 C15 21 7 21 C15 C15

X 的分布列为:

X
P

0
3 7

2

10 21 3 10 2 2 数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 7 21 21 3
遇到红灯的概率都是

2 21
………13 分

50. (2009 高考(北京理) )某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.
【答案】 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量

的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学 生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为

? 1? ? 1? 1 4 . P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 27
(Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”( k ? 0,1,2,3,4) ,

?1? ? 2? ∴ P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
4 k

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? ,

∴即 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

6

8

16 81

32 81

8 27
第 32 页,共 36 页

8 81

1 81

∴ ? 的期望是 E? ? 0 ?

16 32 8 8 1 8 ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . 81 81 27 81 81 3

51. (2013 北京朝阳二模数学理科试题)为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛

成绩共有 90 分,70 分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生 中随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表: 成绩等 级 成绩 (分) 人数 (名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级 为“ A 或 B ”的概率; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3 人,记 X 表示抽到成绩等级为“ A 或 B ”的学生人数,求 X 的分布列及其数学期望 EX ; (Ⅲ)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 20 分”的概率. 【答案】解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这 30 名学生中任选一人,分数等级为“ A 或 B ”的频率为

4 6 10 1 ? ? ? . 30 30 30 3
从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ A 或 B ”的概率约为 (Ⅱ)由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 3

1 0 2 3 8 2 2 12 4 1 1 1 ? ; ; P ( X ? 1) ? C3 ( ) ? ( ) ? 3 3 27 3 3 27 9 1 2 6 2 2 1 3 1 3 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ? ; P( X ? 3) ? C3 ( ) ? ( )0 ? . 3 3 27 9 3 3 27 随机变量 X 的分布列为 0 1 2 3 X 8 4 2 1 P 27 9 9 27 8 12 6 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 所以 EX ? 0 ? 27 27 27 27
所以 P ( X ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ?
0

(Ⅲ)设事件 M:从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分. 设从这 30 名学生中,随机选取 2 人,记其比赛成绩分别为 m, n .
2 显然基本事件的总数为 C30 .

不妨设 m ? n , 当 m ? 90 时, n ? 60 或 40 或 30 ,其基本事件数为 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ;
1 1 1 1

当 m ? 70 时, n ? 40 或 30 ,其基本事件数为 C6 ? (C7 ? C3 ) ;
1 1 1

当 m ? 60 时, n ? 30 ,其基本事件数为 C10 ? C3 ;
1 1

所以 P( M ) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ? C6 ? (C7 ? C3 ) ? C10 ? C3 34 ? . 2 C30 87

第 33 页,共 36 页

所以从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分的概率为

34 87

52. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上

1, 2 .称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试 分别标有数字 ?1,0,
验的结果互不影响). (Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率; (Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率; (Ⅲ) 在两次试验中, 记卡片上的数字分别为 ?,? , 试求随机变量 X=? ?? 的分布列与数学期望 EX .
【答案】解:(Ⅰ)设事件 A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则

P ( A) ?

2 1 ? . 4 2 1 2 1 . 2

答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是

(Ⅱ)设事件 B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数. 由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 所以 P ( B ) ? 1 ? [C4 ( ) ? ( ) ? C4
0 0 4

1 2

1 2

1

1 1 3 11 ?( ) ] ? . 2 2 16 11 16

答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为

1, 2 ,所以随机变量 X 的可能取值为 ?2, ?1 , 0, 1, 2, 4 . (Ⅲ)由题意可知, ?,? 的可能取值为 ?1,0,
P( X= ? 2) ? 2 1 ? ; 4? 4 8 7 7 P( X=0) ? ? ; 4 ? 4 16 2 1 P( X =2) ? ? ; 4? 4 8 P ( X= ? 1) ? 2 1 ? ; 4? 4 8 2 1 P( X =1) ? ? ; 4? 4 8 1 1 P ( X =4) ? ? . 4 ? 4 16
?1

所以随机变量 X 的分布列为

X
P

?2

0

1

2
1 8

4

1 7 8 16 1 1 7 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 所以 E ( X ) = ?2 ? ? 1? ? 0 ? 8 8 16 8 8 16

1 8

1 8 1 4

1 16

53. (2013 届北京海滨一模理科)在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与

逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试 成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
第 34 页,共 36 页

(ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级

等级

【答案】解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,

所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人………………1 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ………………3 分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
………………7 分 (Ⅲ)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20………………8 分

P(? ? 16) ?

2 C6 15 ? , 2 C10 45 1 1 2 C6 C2 C2 13 ? ? , 2 2 C10 C10 45 2 C2 1 ? 2 C10 45

P(? ? 17) ?

1 1 C6 C2 12 ? 2 C10 45 1 1 C2 C2 4 ? 2 C10 45

P(? ? 18) ?

P(? ? 19) ?

P(? ? 20) ?

所以 ? 的分布列为

X P

16

17

18

19

20

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45

………………11 分 所以 Eξ ? 16 ?

15 12 13 4 1 86 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5
第 35 页,共 36 页

所以 ? 的数学期望为

86 ………………13 分 5

54. (2013 届北京市高考压轴卷理科数学)本小题共 14 分

为了参加 2012 年全省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级中选出 12 人组成男子篮球队 代表所在地区参赛,队员来源人数如下表: 班级 人数 高三( 7 ) 班 高三( 17 ) 班 高二( 31 ) 班 高二( 32 ) 班

4

2

3

3

(I)从这 12 名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率; (II) 该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言, 设其中来自高三 (7) 班的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .
【答案】解:(I)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件 A ,
2 2 C4 ? C2 ? C32 ? C32 13 6? 则 P ( A) ? ? 2 C12 66

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 则 P (? ? 0) ?

7?

0 2 1 1 2 0 C4 C8 14 C4 C8 16 C4 C8 3 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C12 33 C12 33 C12 33

∴ ? 的分布列为:

?

0

1

2

P

14 33

16 33

3 33

10?
∴ E? ? 0 ?

14 16 3 2 ? 1? ? 2 ? ? 14? 33 33 33 3

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