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2011届高三数学理大纲版创新设计一轮复习课件:2.10 函数图象


第10课时 函数图象 10课时

掌握作函数图象的基本方法/能利用函数图象分析解决问题 掌握作函数图象的基本方法 能利用函数图象分析解决问题

1.作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函 .作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图 作函数图象的步骤: 法和利用基本函数图象变换作图; 数的定义域; 化简函数的解析式; 讨论函数的性质即单调性、奇偶性、 数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期 甚至变化趋势); 描点连线,画出函数的图象. 性、最值(甚至变化趋势 ;④描点连线,画出函数的图象. 最值 甚至变化趋势 2.三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换. .三种图象变换:平移变换 对称变换和伸缩变换. 3.识图:对于函数的图象要注意其分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面. .识图:对于函数的图象要注意其分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面. 的图象要注意其分布范围 4.用图:函数的图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直 .用图:函数的图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“ 地显示了函数的性质 观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具, 观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具,要重视数形结合思想方法 的运用. 的运用.

1.函数y=1- .函数 = -

的图象是( 的图象是

)

答案: 答案:B

2.函数y=e|ln x|-|x-1|的图象大致是 .函数 = 的图象大致是( - 的图象大致是

)

答案: 答案:D

3. (2009·重庆模拟 已知图①中的图象对应的函数为 =f(x),则图②的图象对应的 重庆模拟)已知图 中的图象对应的函数为y= ,则图② 重庆模拟 已知图① 函数为( 函数为 )

A.y=f(|x|) . = 答案: 答案:C

B.y=|f(x)| . =

C.y=f(-|x|) . = -

D.y=- . =- =-f(|x|)

4 .(2009·湖南 如图,当参数 =λ1,λ2时,连续函数 湖南)如图 湖南 如图, 参数λ= y= = (x≥0)的图象分别对应曲线 1和C2,则( 的图象分别对应曲线C 的图象分别对应曲线 B.0<λ2<λ1 . < D.λ2<λ1<0 . )

A.0<λ1<λ2 . < C.λ1<λ2<0 .

解析: 解析:令x=x0(x0>0),由图象可知, = ,由图象可知, ,λ1x0>λ2x0,(λ1-λ2)x0>0, , λ1>λ2,又因为函数 = 又因为函数y= 答案: 答案:B 连续, 在(0,+∞)连续,因此 >0,故选 , 连续 因此λ> ,故选B.

作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状, 作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状,然后借助描点等手段作出 明确函数图象的位置和形状 函数图象,而明确函数图象位置和形状的主要方法有: 函数图象,而明确函数图象位置和形状的主要方法有: (1)图象的变换,例如y=|x|= 图象的变换,例如 = = 图象的变换 (2)等价变形,如y= 等价变形, = 等价变形 (3)研究函数的性质. 研究函数的性质. 研究函数的性质 ,等价于 y= = = +1等. 等

【例1】作出下列函数的图象: 】作出下列函数的图象:

解答: 解法一 函数的定义域为(- , 解法一: 解答:(1)解法一:函数的定义域为 -∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),且函数为偶 ∪- ∪ , , 函数,函数的递增区间为 - , 函数,函数的递增区间为(-∞,-1),(-1,0),递减区间为 ,- ,递减区间为(0,1),(1,+∞). , , . 可根据以上性质取值列表: 可根据以上性质取值列表:

在直角坐标系中描出上表对应点并用光滑的曲线连结起来.再根据 = 在直角坐标系中描出上表对应点并用光滑的曲线连结起来.再根据y= 函数,把所作图象关于 轴对称到 轴左侧后,就得到y= 轴对称到y轴左侧后 函数,把所作图象关于y轴对称到 轴左侧后,就得到 =

是偶

的图象(如图 . 的图象 如图1). 如图

图1 当x≥0且x≠1时,y= 且 时 = ,它的图象可由y= 它的图象可由 = 的图象向右平移一个单位后得

仅要y轴及其右侧部分 到(仅要 轴及其右侧部分 . 仅要 轴及其右侧部分). 当x<0且x≠-1时,y=- < 且 - 时 =- ,它的图象可由y= 它的图象可由 = 的图象先关于x轴对称后, 的图象先关于 轴对称后, 轴对称后

再向左平移一个单位后得到(仅要 轴左侧部分 再向左平移一个单位后得到 仅要y轴左侧部分 ,把上述两次得到的图象合在 仅要 轴左侧部分), 一起就得到函数y= 一起就得到函数 = 的图象(如图 . 的图象 如图1). 如图

解法三:作函数图象还可通过求导确定函数的单调性和极值情况: 解法三:作函数图象还可通过求导确定函数的单调性和极值情况:当x≥0时, 时 y= = x= = ,求导得y′= 求导得 = ,+∞), <0,∴单调递减区间是 , 单调递减区间是[0,1)及(1,+ ,取 及 ,+ 在坐标系中描出各点并用光滑曲线连结起来, 在坐标系中描出各点并用光滑曲线连结起来,再把 的图象(如图 . 的图象 如图1). 如图

所得曲线关于y轴对称就得到函数 = 所得曲线关于 轴对称就得到函数y= 轴对称就得到函数

(2)当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,当x<0时, 当 时 = - = - , < 时 f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)= = - = + , = 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图2.

(3)若x≥2,原式为 = 若 ,原式为y= 若x<2,原式为 = ,原式为y=

=-x(x≠4), , =- 所示. =x-4(x≠0),故所求图象如图 所示. - ,故所求图象如图3所示

图2 图3

所以原函数是以(- 为中心, =-1、 = 为渐近线的反比例函数 为渐近线的反比例函数, 所以原函数是以 -1,2)为中心,以直线 =- 、y=2为渐近线的反比例函数, 为中心 以直线x=- 其图象如图4所示 其图象如图 所示. 所示

图4

对于给定函数的图象,可从图象上下左右分布范围,变化趋势,特殊点的坐 对于给定函数的图象,可从图象上下左右分布范围,变化趋势, 标等方面进行判断,必要时可借助解方程、 证 不等式等手段进行判断 不等式等手段进行判断, 标等方面进行判断,必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行判断,未 必非要写出函数的解析式进行判断. 必非要写出函数的解析式进行判断.

的问题: 【例2】回答下述关于图象的问题: 】回答下述关于图象的问题 (1)向形状如右图 , 高为H的水瓶注水 , 注满为止, 若将 向形状如右图, 高为 的水瓶注水, 注满为止 , 向形状如右图 的水瓶注水 注水量V看作水深 的函数 则函数V= 注水量 看作水深h的函数, 则函数 =f(h)的图象是下图 看作水深 的函数, 的图象是下图 中的( 中的 )

(2)某学生一天早晨离家去学校,开始骑自行车,中途自行车胎破,他只好推着 某学生一天早晨离家去学校,开始骑自行车,中途自行车胎破, 某学生一天早晨离家去学校 自行车赶到学校.若将这天早晨他从家里出来后离学校的距离 表示为他出发后 自行车赶到学校.若将这天早晨他从家里出来后离学校的距离d表示为他出发后 的时间t的函数 = ,则函数f(t)的大致的图象是下图中的 的大致的图象是下图中的( 的时间 的函数d=f(t),则函数 的大致的图象是下图中的 的函数 )

解析: 水量 显然是h的增函数 将容器的高等分成n段 每一段记为?h, 水量V显然是 的增函数, 解析:(1)水量 显然是 的增函数,将容器的高等分成 段,每一段记为 , 从开始注水起(即从下到上 计算 每段?h对应的水量分别记为 对应的水量分别记为?V 从开始注水起 即从下到上)计算,每段 对应的水量分别记为 1,?V2,…, 即从下到上 计算, ?Vn,由于容器上小下大,∴?V1>?V2>…>?Vn,即当 愈大时,相等高度 由于容器上小下大, 即当h愈大时 愈大时, 增加的水量愈少, 其图象呈“上凸”形状,故选 增加的水量愈少,∴其图象呈“上凸”形状,故选A. (2)∵时间t愈大,该学生离学校的距离 愈小,∴d是t的减函数,答案应为 、 ∵时间 愈大 该学生离学校的距离d愈小 愈大, 愈小, 的减函数, 是 的减函数 答案应为C、 D中的一个,由于前一段时间速度快,后一段时间速度慢,即 中的一个,由于前一段时间速度快,后一段时间速度慢, 中的一个 小,故选D. 故选 答案: 答案:(1)A (2)D 的值前大后

变式2.如下图所示,向高为 的水瓶 的水瓶A、 、 、 同时以等速注水 注满为止. 同时以等速注水, 变式 如下图所示,向高为h的水瓶 、B、C、D同时以等速注水,注满为止. 如下图所示

(1)若水量 与水深 函数图象是下图的 ,则水瓶的形状是 若水量V与水深 函数图象是下图的(a),则水瓶的形状是________; 若水量 与水深h函数图象是下图的 ; (2)若水深 与注水时间 的函数图象是下图的 ,则水瓶的形状是 若水深h与注水时间 的函数图象是下图的(b),则水瓶的形状是________; 若水深 与注水时间t的函数图象是下图的 ; (3)若注水时间 与水深 的函数图象是下图的 ,则水瓶的形状是 若注水时间t与水深 的函数图象是下图的(c),则水瓶的形状是________; 若注水时间 与水深h的函数图象是下图的 ; (4)若水深 与注水时间 的函数的图象是图中的 ,则水瓶的形状是 若水深h与注水时间 的函数的图象是图中的(d),则水瓶的形状是________. 若水深 与注水时间t的函数的图象是图中的 .

答案: 答案:(1)A (2)D

(3)B

(4)C

数形结合是数学中非常重要的思想方法, 数形结合是数学中非常重要的思想方法,利用函数的图象可解决判断方程解的 个数,求方程的近似解 二分法 等问题,如果能够求出方程的解, 二分法)等问题 个数,求方程的近似解(二分法 等问题,如果能够求出方程的解,利用函数图 象进而可求对应不等式的解. 象进而可求对应不等式的解.

的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 =f2(x) 【例3】已知二次函数 =f1(x)的图象以原点为顶点且过点 】已知二次函数y= 的图象以原点为顶点且过点 ,反比例函数y= 的图象与直线y= 的两个交点间的距离为 的两个交点间的距离为8, = 的图象与直线 =x的两个交点间的距离为 ,f(x)=f1(x)+f2(x). + . (1)求函数 的表达式; 求函数f(x)的表达式 的表达式; 求函数 (2)证明:当a>3时,关于 的方程 证明: > 时 关于x的方程 =f(a)有三个实数解. 的方程f(x)= 有三个实数解 有三个实数解. 证明

解答: 由已知 由已知, 解答:(1)由已知,设f1(x)=ax2(a≠0),由f1(1)=1,得a=1,∴f1(x)=x2. = , = , = , = 设 f2(x)= = B(- - (k>0),它的图象与直线 =x的交点分别为 k 的交点分别为A( ,它的图象与直线y= 的交点分别为 ),由|AB|=8,得k=8,∴f2(x)= , = , , = , ) .

,-

.故f(x)=x2+ 故 =

(2)证明:证法一:由f(x)=f(a),得x2+ =a2+ ,即 =- 2+a2+ .在同一坐 证明:证法一: =-x 证明 = , 在同一坐 标系内作出f2(x)= 和f3(x)=- 2+a2+ 的大致图象,其中 2(x)的图象是以坐标 =-x 的大致图象,其中f 标系内作出 = =- 的图象是以坐标 轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, 的图象是(0, 轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图象是 ,a2+ 的图象是 )为顶点, 为顶点, 为顶点

开口向下的抛物线.因此, 的图象在第三象限有一个交点, 开口向下的抛物线.因此,f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a) 与 的图象在第三象限有一个交点 = 有一个负数解. 有一个负数解.

又∵f2(2)=4,f3(2)=- +a2+ ,当a>3时, =-4+ = , =- > 时 f3(2)-f2(2)=a2+ - = -8>0,∴当a>3时,在第一象限 3(x)的图象上存在一点 > , > 时 在第一象限f 的图象上存在一点

(2,f(2))在f2(x)图象的上方.∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即 , 图象的上方. 的图象在第一象限有两个交点, 在 图象的上方 与 的图象在第一象限有两个交点 f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程 = 有两个正数解. 有三个实数解. 有两个正数解 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解. = 有三个实数解

证法二: 证法二:由f(x)=f(a),得x2+ =a2+ ,即(x-a)·(x+a- = , - + - 得方程的一个解x 方程x+ - 得方程的一个解 1=a.方程 +a- 方程 ?=a4+32a>0,得x2= = > ,

)=0, = ,

化为ax =0化为 2+a2x-8=0,由a>3, 化为 - = , > , ,x3= ,

0, 0, .若 a= ∵x2<0,x3>0,∴x1≠x2,且x2≠x3.若x1=x3,即a= 则3a2= ,a4=4a,得a=0或a= , = 或 =

矛盾, ,这与a>3矛盾,∴x1≠x3. 这与 > 矛盾

故原方程有三个实数解. 故原方程有三个实数解

【方法规律】 方法规律】
1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的 .列表描点法是作函数图象的辅助手段, 位置和形状: 位置和形状: (1)可通过研究函数的性质如定义域、 值域 、 奇偶性 、 周期性 、 单调性 、 凸凹 可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、 可通过研究函数的性质如定义域 性等等; 性等等; (2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等; 可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等; 可通过函数图象的变换如平移变换 (3)可通过方程的同解变形,如作函数y= 可通过方程的同解变形,如作函数 = 可通过方程的同解变形 的图象. 的图象.

2.利用函数的图象可研究函数的性质,可判断方程解的个数,可通过解方程, .利用函数的图象可研究函数的性质,可判断方程解的个数,可通过解方程, 根据函数的图象观察对应不等式的解等. 根据函数的图象观察对应不等式的解等. 3.数形结合的思想方法也是高考中重点考查的内容. .数形结合的思想方法也是高考中重点考查的内容

(本题满分 分)方程 2+ 本题满分4分 方程 方程x 本题满分

x-1=0的解可视为 =x+ - = 的解可视为 的解可视为y= +

的图象与函数y= 的图象与函数 =



图象的交点的横坐标, 的各个实根x 图象的交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根 1,x2,…,xk(k≤4)所对应的 - = 的各个实根 k 所对应的 点 (i=1,2,…,k)均在直线 =x的同侧,则实数 的取值范围是 = , 均在直线y= 的同侧 则实数a的取值范围是 的同侧, 的取值范围是________. 均在直线

【答题模板】 答题模板】
解析:将方程x 变形为x 解析 : 将方程 4 + ax-4= 0变形为 3 + a= - = 变形为 = x1,…,xk(k≤4)所对应的点 k 所对应的点 的各个实根x , “ x4 + ax-4=0的各个实根 1 , - = 的各个实根

均在直线y= 的同侧 的同侧” 等价于“ 均在直线 =x的同侧”,等价于“函数

y= x3+a的图象与函数 = 的图象的交点均在直线 =x的同侧”.在同一坐标系 = 的图象与函数y= 的图象的交点均在直线y= 的同侧 的同侧” 的图象与函数 中作出y= 中作出 = 的图象, 的图象过(2,2)点, 与y=x3+a的图象,由图 ,若函数 =x3+a的图象过 = 的图象 由图1,若函数y= 的图象过 点

则a=- ;由图 ,若函数 =x3+a的图象过 -2,-2)点,则a=6; =-6;由图2,若函数y= 的图象过(- , =- 的图象过 点 = ; 因此满足条件的实数a的范围是 - , 因此满足条件的实数 的范围是(-∞,-6)∪(6,+∞). 的范围是 ∪ , . 答案:(-∞,-6)∪(6,+∞) 答案: - , ∪ ,

【分析点评】 分析点评】
1. 高考中对函数图象的考查,多以选择题和填空题的形式出现,形式多变, 高考中对函数图象的考查,多以选择题和填空题的形式出现,形式多变,灵活 多样,具体是作图、识图和用图. 多样,具体是作图、识图和用图. 2.利用函数图象我们可以判断对应方程解的情况,如方程是否有解,有多少个 .利用函数图象我们可以判断对应方程解的情况,如方程是否有解, 解,甚至可以求出方程的近似解,当然也就可以了解方程解的分布情况 ,结 甚至可以求出方程的近似解, 合函数图象和方程的解,还可以利用数形结合的思想方法解不等式. 合函数图象和方程的解,还可以利用数形结合的思想方法解不等式. 3.数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:研究方程根的情况 , .数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:研究方程根的情况, 讨论函数的值域(最值 及求变量的取值范围等内容的题目 对这类内容的选择题、 讨论函数的值域 最值)及求变量的取值范围等内容的题目.对这类内容的选择题、 最值 及求变量的取值范围等内容的题目. 填空题,数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数形结合的重点是研究“ 填空题,数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以 形助数” 形助数”,但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强,应引起重视. 以数定形”在今后的高考中将会有所加强,应引起重视.

华罗庚曾言“数形结合百般好,隔裂分家万事休.”“数形结合 数是基础, 数形结合” 华罗庚曾言 “数形结合百般好 , 隔裂分家万事休 . ”“ 数形结合 ” 数是基础 , 是 关键,既要“以形助数”又要“以数定形” 关键,既要“以形助数”又要“以数定形”.复习中应提高用数形结合思想解题的 意识,画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系 意识,画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系.


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