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2012年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛试题及答案


2012 年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2012

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2012 2012 年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛 Part-1 (Total 6 Problems) 卷-1(共

6 题) (9:00 am – 12:00 pm, 02-02-2012) Q1 (5 points) 题 1 (5 分) It is found that the speed v of the neutrinos with 10 MeV of total energy is (1 ? v / c) ? 2 ?10?9 . Estimate the mass of the neutrinos in terms of eV, and determine whether the value you find is an upper or lower limit. 总能量为 10MeV 的微中子的速度 v 为 (1 ? v / c) ? 2 ?10?9 。估算以电子伏特为单位的微中子质量,幷 决定你计算得到的值是上限还是下限。 Q2 (10 points) 题 2 (10 分) Usually we only consider the motion of a simple pendulum of length L in one dimension, while in fact the point mass can move in the horizontal plane, i. e., with two degrees of freedom. Find an initial condition for the point mass such that its simple harmonic motion trajectory in the horizontal plane is (a) a straight line of length D; (b) a circle of radius R; and (c) an ellipse with long axis a and short axis b. All the length scales of the motion are much smaller than L. 通常我们只考虑长度为 L 的单摆一维的运动,但是实际上质点是可以在水平面上运动的,也就是说, 有两个自由度。现在水平面上,所有运动的长度量级都远小于 L 的条件下,给出质点的初始速度和 位置,使它的简谐运动轨迹是(a)长度为 D 的直线;(b)半径为 R 的圆形;(c)长轴为 a、短轴为 b 的椭 圆。 Q3 (9 points) 题 3 (9 分) A satellite of mass m is revolving around Earth on a circular orbit of radius R with angular frequency ?0 . It is then hit by a meteoroid with a small impulse I in the inward radial direction. Determine the motion of the satellite afterwards in terms of the position as function of time. 质量为 m 的卫星原来围绕着地球运动,轨道半径为 R,角频率为 ?0 。一颗具有很小冲量 I 的流星沿 向内的径向方向撞击了卫星。求此后卫星的位置与时间的关系。 Q4 (6 points) 题 4 (6 分) As shown in the figure, a gyroscope consists of a uniform disk of radius r and an ? axle of length R through its center and along its axis. The other end of the axle is hinged on a table but is otherwise free to rotate in any direction. The mass of the r disk is much larger than that of the axle. The gyroscope is spinning with angular R ? velocity ? with the axle inclined to the vertical direction. Let g be the gravitational acceleration. Find its angular velocity of precession. 如图所示,一陀螺仪由半径为 r 的均匀盘和长度为 R 的转轴组成,转轴的质量远小于均匀盘。转轴 的另外一端铰合在桌上,但是转轴可以在任何方向上自由转动。陀螺仪以角速度 ? 转动,转轴倾斜 于垂直方向。令 g 为重力加速度。求陀螺仪进动的角速度。 Q5 (10 points) 题 5 (10 分) A point charge q is at x0 = 3R/2 on the X-axis in front of a grounded conductor hemisphere of radius R on a large conductor plate perpendicular to the X-axis and in the Y-Z plane. The center of the hemisphere is at (0, 0, 0). Find the potential energy of the point charge. (Note: You must verify that the boundary conditions are preserved if you use image charge(s).) 垂直于 X 轴幷在 Y-Z 平面的大导体平板上有一半径为 R 的接地导体半球。
x

O

1

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半球的中心位于(0, 0, 0)。在半球前 X 轴上 x0 ? 3R / 2 处有电荷量为 q 的点电荷。求点电荷的势能。 (注意:如果运用镜像电荷,则必须证明满足边界条件。) Q6 (10 points) 题 6 (10 分) As shown, a thermally insulated smooth container with a locked heavy piston Piston 活塞 contains n moles of single atom ideal gas at temperature T0 in the left chamber and vacuum in the right chamber. The piston is then released and eventually sticks to the right wall of the container. A ? portion of the kinetic energy of the piston is eventually absorbed as heat by the gas. The volume of Container 容器 the whole container is ? times the original volume of the gas. (a) Find the kinetic energy of the piston right before it hits the wall, and verify your answer for ? ?? . (3 points) (b) Find the change of entropy of the gas, and proof that the change is positive. (6 points) (c) Verify your answer in (b) for the case ? = 1. (1 point) 如图所示,一个绝热的光滑容器带有一个被锁定的重活塞。该容器左边的腔室内有 n 摩尔的单原子 理想气体,气体温度为 T0 ,右边腔室则为真空。然后,活塞被释放,撞击容器右壁后与之相连。最 终,活塞动能中的某部分能量(假设该值为 ? )被气体以热能的方式吸收。整个容器的体积是原来 气体体积的 ? 倍。 (a) 求在活塞撞击右壁之前瞬间活塞的动能,幷用 ? ?? 验证你的答案。(3 分) (b) 求气体熵的变化,幷证明该变化为正值。(6 分) (c) 用? ? 1验证你(b)中的答案。(1 分)

《THE END 完》

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Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2012 2012 年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛 Part-2 (Total 3 Problems) 卷-2(共 3 题) (2:30 pm – 5:30 pm, 02-02-2011) Q1 Stella Interferometer (8 points) 题 1 恒星干涉仪 (8 分) A Stella Interferometer is used to accurately measure the angular separation between two close-by stars. As Star light 星光 shown, the light from the stars can be treated as two ?? broad parallel light waves of 5.0 ?10?7 meters in Slits 狹縫 wavelength; one (wave-1) is at normal incidence and the other (wave-2) is off by a small angle Entrance Mirrors ?? ? 3.0 ?10?6 degrees. Each wave is then split into 入口鏡 two by the two entrance mirrors. The distance between the mirrors is D. There is no phase difference Screen 屏幕 between the two waves split from wave-1 at the Star light 星光 entrances. The waves at the entrances are then brought to the two narrow slits of a Young’s interference Stella Interferometer 星光干涉儀 experiment without introducing additional path difference. The entrance mirrors are moved slowly to increase the distance D until the fringes on the screen disappear. (a) Find the value of D. (6 points) (b) If an optical telescope is used to observe the two stars, what should be the minimum diameter of the primary lens or mirror? (2 points) 恒星干涉仪可用来精确地测量双星之间微小的角距离。如图所示,从两颗恒星发射出来的光可当做 ?7 两 束 宽 大 的 平 行 光 ,其 波 长 为 5.0? 10 米 ; 光 束 -1 正 入 射 , 而 光 束 -2 偏 移 一 个 微 小 的 角 度 ?6 ?? ? 3.0? 10 度入射。随后,每束光被两个入口镜分裂成两束光。镜子间的距离为 D。在入口处, 光束-1 分裂出的两束光之间没有相位差。光束随后被引入到杨氏干涉实验的狭缝上,幷且在此过程 中没有引入任何另外的光程差。慢慢移动入口镜,增加彼此之间的距离 D 直到屏幕上的条纹消失。 (a) 求出 D 的值。(6 分) (b) 如果用光学望远镜观测这两颗恒星,初级镜的最小直径应该是多少?(2 分) Q2 Y-Meson (12 points) 题 2 Y 介子 (12 分) ?-mesons with rest mass mY = 1.058 ?1010 eV are produced by colliding electrons with positrons head-on in the reaction e? ? e? ? Y . Each ?-meson will decay immediately into a pair of B-mesons: Y ? B? ? B? . The rest mass of the B-mesons is mB = 5.28 ?109 eV and their lifetime is ? 0 = 1.5 ?10?12 seconds. The rest mass of electrons and positrons is 5.11?105 eV. When the momentum of the electrons is the same as the positrons in the laboratory frame, the Y-mesons are at rest. ( c ? 3.0 ?108 m / s ) (a) How large is the decay length (the distance it travels) of the B-mesons in the laboratory? (2 points) (b) Assume that the B-mesons are moving along the electron-positron trajectory. To increase the decay length of half of the B-mesons, the Y-mesons need to be given momentum in the laboratory frame. This is done by colliding electrons with positrons with different energies. What momentum (in the unit of eV/c) should the B-mesons have if they will have decay length of 0.20 mm? (3 points) (c) What is the total energy of the Y-mesons before they decay? (4 points)

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(d) What should be the energies of the electrons and the positrons in order to produce the Y-mesons in (c)? (3 points) 通过电子和正电子对撞,即反应 e? ? e? ? Y ,可以产生静质量为 1.058 ?1010 eV 的 Y 介子,而 Y 介子 9 会立刻衰变成一对 B 介子,即反应 Y ? B? ? B? 。 B 介子的静质量为 5.28? 10 eV ,他们的寿命为 5 ?12 ? 0 ? 1.5 ?10 秒。电子和正电子的静质量为 5.11?10 eV。在实验室中,当电子的动量与正电子相一 致时,Y 介子处于静止状态。( c ? 3.0 ?108 m / s ) (a) 在实验室中,B 介子的衰变长度(即走过的距离)是多少?(2 分) (b) 设 B 介子只沿着电子-正电子的轨迹运动,为了增加一半 B 介子的衰变长度,需要给 Y 介子动 量。这可以通过用不同能量的正电子与电子碰撞来实现。如果希望 B 介子的衰变长度为 0.20 mm,那么 B 介子的动量应该为多少(以 eV/c 为单位)?(3 分) (c) 在衰变前,Y 介子的总能量是多少?(4 分) (d) 为了得到(c)中的 Y 介子,电子和正电子的能量分别应为多少?(3 分) Q3 Penning Trap (30 points) 潘宁势井 (30 分) (a) Consider an ion (mass m and charge q) with initial velocity v in the X-Y plane in a uniform magnetic field B along the Z-axis. Find its angular frequency ?c (cyclotron frequency), and the kinetic energy in terms of ?c and the orbital radius r0. (1 point) (b) Consider a point charge q between two grounded conductor plates perpendicular to the X-axis separated by a distance D. It can be shown that the induced charge x x ? on plate-1 and plate-2 are Q1 ? q ? ? ? 1? and Q2 ? ?q D , respectively, where x ?D ? is the distance between the charge and plate-1. Referring to the figure, find the electric current in the circuit if the center of the ion orbit in (a) is at x = D/2. To obtain larger current, should the orbital radius be bigger or smaller? (2 points) (c) An AC electric field E (t ) ? E0 cos(?ct ) is applied across plate-1 and plate-2. Suppose the orbit of the ion remains nearly circular for each revolution and the energy gained from the AC electric field in each revolution is much smaller than the kinetic energy of the ion. The charges induced by the ion on the plates can be ignored. After time T which is much longer than the orbital period, find the radius of the orbit R. (3 points) The AC electric field in (c) is then turned off when 2R is still smaller than D. So far the ion is free to move along the z-direction, which means that it can escape from the uniform magnetic field region if it has initial velocity along the z-axis. To prevent that, another electric potential field in the form of
2 V (r ) ? V0 ( z 2 ? ? x2 ? ? y 2 ) / z0 , where V0 > 0, is applied so that in the Z-direction the ion can only

(d)

(e)

oscillate around z = 0. Find the oscillation frequency ?z. (2 points) For the potential field in (d) to be valid in the region of empty space, find the constant ? in (d). (1 point)

Such a combination of electric and magnetic field is called a Penning Trap. It is a device to trap an ion for a long time so its cyclotron frequency?c, and therefore its q/m ratio, can be measured with very high precision. Use ?c and?z as known quantities for the remaining part of the question.

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(f) (g) (h) (i)

The ion is now in a Penning Trap as above. Derive the differential equations for the position of the ion x(t) and y(t) in the X-Y plane. (4 points) Let u(t ) ? x(t ) ? iy(t ) , where i ? ?1 . Find the differential equation for u(t). (2 points) Try solution u (t ) ? Ae ? i?t , determine the two possible frequencies ?+ and ?-, with ?+ >?-. (2 points) The general solution is then u(t ) ? A? e?i??t ? A?e?i??t . Suppose the electric trap potential is turned on after the magnetic field is on for a while. When the trap is turned on at t = 0 the ion is at x = R on the X-axis, and the center of its orbit is at the origin of the X-Y plane. Determine A+ and A-, and take the approximation that ?c >> ?z. (5 points) To see what the trajectory of the ion looks like in (i), let us go to a rotating reference frame with angular frequency ?. Using the definition of u(t) in (g), find its expression u(t ) in the rotating frame.

(j)

(3 points) (k) Apply your answer in (j) to the answer in (i), and let ? = ?-. Draw a schematic diagram of the ion trajectory in the rotating frame on the X-Y plane. (1 point) (l) Draw a schematic diagram of the ion trajectory on the X-Y plane in the laboratory frame. (1 point) (m) Give three possible shapes of the ion trajectory on the X-Y plane in a rotating frame with angular frequency ?c/2 if the initial conditions are appropriate. (3 points) (a) (b) 考虑一个在 X-Y 平面上、初速度为 v 的离子(质量为 m,电量为 q),沿着 Z 方向有均匀的外 磁场 B。求它的角频率 ?c (回旋频率),幷且用 ?c 和轨道半径 r0 表达它的动能。(1 分) 假设现有两个垂直于 X 轴的接地导体板,板之间的距离为 D,之间放置了 一 电 量 为 q 的点电 荷。可以证明,板 -1 和板 -2 上的感应 电荷 分别为 x x Q1 ? q( ? 1) 和 Q2 ? ?q ,其中 x 是点电荷到板-1 的距离。如图所示,如 D D (a) 果 中离子的轨道中心在 x ? D / 2 处,求电路中的电流。为了获得更大的 电流,轨道半径应该变小还是变大?(2 分) 现在板-1 和板-2 之间加上交流电场 E (t ) ? E0 cos(?ct ) 。假设在每次旋转中, 离子的轨道还是保持接近于圆形,幷且在每周期从交流电场获得的能量远 小于离子的动能,同时忽略导体板上的感应电荷,求经过时间 T(远长于轨道周期)后轨道半 径 R。(3 分) 在 2R 大于 D 之前将(c)中的交流电场关掉。到目前为止,离子可以沿着 Z 轴方向自由运动,这 就意味着,如果离子在 Z 方向上有初速度,那么它可以逃离均匀磁场区。为了防止此发生,需 2 要再加一个电势场 V (r ) ? V0 ( z 2 ? ? x 2 ? ? y 2 ) / z0 ,其中 V0 > 0,使离子在 Z 方向上只能在 z = 0 附近振动。求振动频率 ? z 。(2 分) 要使(d)中的电势场在真空中仍然有效,常数 ? 应为何值?(1 分)

(c)

(d)

(e)

上述的电磁场组合称为潘宁势井。它可以长时间地捕获住离子,所以能够非常精确地测量出离子的 回旋频率以及离子的 q/m 比值。 在解下面的问题时可把 ?c 和 ? z 当作是已知量。 (f) 现在,离子处于(e)中所描述的潘宁势井中。推导出离子在 X-Y 平面上位置 x(t) 、y(t) 所满足的 微分方程。(4 分)

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(g) (h) (i)

令 u(t ) ? x(t ) ? iy(t ) ,其中 i ? ?1 。导出 u(t ) 所满足的微分方程。(2 分) 尝试解 u (t ) ? Ae ? i?t ,求出两个可能的频率 ? ? 和 ?? ,其中 ?? ? ?? 。(2 分) 令通解为 u(t ) ? A? e?i??t ? A?e?i??t 。假设在开启磁场后经过一段时间再加上电势场。在 t = 0 时刻 加上电势场时,离子处在 x = R 处的 X 轴上,其轨道中心位置在 X-Y 平面的原点。计算 A? 和
A? ,幷取近似 ?c ?? ? z 。(5 分)

为了方便确定(i)中离子运行轨迹的简图,假设我们处在一个角频率为 ? 的旋转参考系中。利用 (g)中 u(t ) 的定义,求在旋转参考系中它的表达式 u(t ) 。(3 分) (k) 将你在(j)中得到的答案应用于(i)中,幷令 ? ? ? 。画出离子运动轨迹在旋转参考系中 X-Y 平面 上的简图。(1 分) (l) 画出离子在实验室参考系中 X-Y 平面上的运动轨迹简图。(1 分) (m) 当角频率为 ?c / 2 时,若初始条件合适,给出离子在旋转参考系中三种可能的 X-Y 平面上的运 动轨迹。(3 分) (j) 《THE END 完》

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Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2012 2012 年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛 Part-1 (Total 6 Problems) 卷-1(共 6 题) (9:00 am – 12:00 pm, 02-02-2012) Q1 (5 points)
1 1 ? . (1 ? ? )(1 ? ? ) 2(1 ? ? )

E ? ? mc 2 , where ? ?

So mc 2 ? E 2(1 ? ? ) ? 10 ? 2 ? 2 ?10?9 ? 632 eV. (4 points) Upper limit 上限. (1 point) Q2 (10 points) 设 X-Y 平面为水平面,单摆平衡时质点在(0,0),质点现在位置是(x,y)。利用小幅振动近似 的结果,我们知道细绳的张力等于质点的重力,张力在 X-Y 平面的投影的大小为 mg 向指向(0,0)。因此,X 方向的分力为
Fx ? ?mg x2 ? y 2 L x x2 ? y 2 ?? x mg L y x ?y
2 2

x2 ? y 2 ,方 L

(i)。
?? y mg L

Y 方向的分力为 Fy ? ?mg 动力学方程为

x2 ? y 2 L

(ii)。

?

x y g ? x, ? g ? y 。 L L

通解为 x(t ) ? Ax cos(?t ) ? Bx sin(?t ) , y(t ) ? Ay cos(?t ) ? By sin(?t ) ,
r (t ) ? x(t ) x0 ? y (t ) y0 。 ? ? g / L . (2 points)

设一般的初始条件 r (0) ? X 0 x0 ? Y0 y0 , r (0) ? vx 0 x0 ? vy 0 y0 ,则

x(t ) ? X 0 cos(?t ) ?

vx 0

?

sin(?t ) , y(t ) ? Y0 cos(?t ) ?

vy 0

?

sin(?t ) . (2 points)

As we only ask for examples, there can be many different ways.题目只要求给出例子,所以可以有多种 答案。 D (a) X0 = D/2, others are 0 其余为 0. Then 则 x(t ) ? cos(?t ) , y(t ) ? 0 . (2 points) 2 (b) (c)
r (0) ? Rx0 , r (0) ? R? y0 . Then x(t ) ? R cos(?t ) , y(t ) ? R sin(?t ) . (2 points)
r (0) ? ax0 , r (0) ? b? y0 . Then x(t ) ? a cos(?t ) , y(t ) ? b sin(?t ) . (2 points)

Q3 (9 points) In the rotating reference frame, the force along the radial direction is 在跟着卫星转的旋转参照系里,沿 半径方向的力为:

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GMm GMm 2 , and Fr ( R) ? m?0 R? 2 ?0. 2 r R After the impact, the total angular momentum is still conserved 碰撞后,角动量仍然守恒: 0 ? d (?r 2 )r ? R ? R2 d? ? 2?0 Rdr . Let the orbit radius change by dr, then 令轨道的变化为 dr 2GMm 2 2 dFr ( R) ? m?0 dr ? 2?0 Rd? ? m dr ? ?m?0 dr . 3 R (Note that without taking into account the change of ?, the force is positive and the balance is unstable.若漏 了考虑?的变化,则力的变化是正的,原来的轨道运动变得不平衡了,那是不对的。) 2 This is a SHM with 上式结果显示卫星的径向运动是简谐振动,力常数为 k ? m?0 , so 因此振动频率为 ? = ?0. ?I The initial condition is 初始条件为 v0 ? I / m , and 和 dr = 0. So dr (t ) ? sin(?0t ) . m?0 I I x(t ) ? [ R ? sin(?0t )]cos(?0t ) , y (t ) ? [ R ? sin(?0t )]sin(?0t ) . m?0 m?0 Fr (r ) ? m? 2 r ?
Q4 (6 points)
?

Angular momentum is 角动量为 J ? mr 2? / 2 . Torque 力矩 ? ? mgR sin ? , and pointing perpendicular to the paper plane 方向垂 直于纸面. The change of angular momentum is 角动量的变化为 ?J ? ( J sin ? )?? . ?J ?? 2 gR ?? ? ( J sin ? ) ? ( J sin ? )? . So ? ? 2 . ?t ?t r? Q5 (10 points) Let the image charge be at x on the X-axis 放个镜像电荷在 X-轴上 x 点处。 ? q1 1 ? q ?( R) ? ? ? ??0 2 2 2 2 4?? 0 ? R ? x ? 2 Rx cos ? R ? b ? 2 Rb cos ? ? ? q2 ( R2 ? b2 ? 2Rb cos ? ) ? q12 ( R2 ? x2 ? 2Rx cos ? ) 。 上式对任何角度? 都成立,所以有
q 2 ( R2 ? b2 ) ? q12 ( R2 ? x2 )

r R

?

(i),

q 2b ? q12 x
将 b 代掉,得

(ii)。

x2 q14 ? q2 ( R2 ? x2 )q12 ? q 4 R2 ? 0

(iii)。

解上式,得两个解。第一个是 q1 ? ? q , b ? x ,即把球外的点电荷中和掉。因为这个镜像电荷没有放 在球面内,不在所考虑的解的空间以外,所以不能用,舍去。第二个是 q1 ? ? Rq / x , b ? R2 / x 。这 2

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就是镜像电荷的值和位置。(It is OK if answers are given without derivations.若没有上述推导而只有答 案也得全分。) In order to make the potential on the plane zero, we need two more image charges, namely q3 ? ? q1 at

? R2 / x , and q3 ? ? q at ?3R / 2 . One can see that q2 and q3 combined will make the potential on the sphere surface zero. One can see that q2 and q3 combined will make the potential on the sphere surface zero. 为了 使平面的电势为 0,我们需要另外两的镜像电荷, q3 ? ? q1 在 ? R2 / x , and q3 ? ? q 在 ?3R / 2 . 而 q2 、 q3 合起来也使球面的电势为 0。(2 points) qq1 1 ?q 2 R ?q 2 xR ? ? 电荷受的力为: F1 ? 。 2 2 2 2 4?? 0 ? x ? b ? 4?? 0 x ? x ? R / x ? 4?? 0 ? x ? R 2 ?2
现在求 q 的电势,也就是把 q 从无穷远拉到现在位置所需的能量。用作用力做功的方法,
W1 ? ? F1dx ?
3 R /2 ?

?q 2 R ? x ? 4?? 0 3 R /2 x 2 ? R 2

?

?

2

dx ?

?q 2 ? R ? ?q 2 ? 4 ? ?q 2 ? ? 。(4 points) ? ? ? ? 8?? 0 ? d 2 ? R 2 ? 8?? 0 R ? 9 ? 4 ? 10?? 0 R

读者请注意,此势能和直接用电势所得的值是不同的。 q 所在位置的电势由 q1 产生,其值为

1 ?q R ?q ?q 2 . 所以 q 的势能为 W ? . U? ? ? 4?? 0 ? d ? b ? 4?? 0 d 2 ? R 2 5?? 0 R 5?? 0 R q1

?

?

正确答案是错误答案的一半。两者差别的主要原因,是因为镜像电荷的值随真电荷的位置而变。所 以计算电荷势能最可靠的方法是用作用力的路径积分来做。 ? q2 R ? x q2 ? 4 ? q2 W2 ? ? F2 dx ? dx ? ? . ? ? ? 4?? 0 3 R /2 ? x 2 ? R 2 ?2 8?? 0 R ? 9 ? 4 ? 26?? 0 R 3 R /2

W3 ? ? F3dx ? ?
3 R /2

?

?

q2 16?? 0 x q2

3 R /2

dx ? ? 2

q2 24?? 0 R

。(2 points)

W ? W1 ? W2 ? W3 ?

2 ? 1 1 1 ? ?161 q ? ? ? ? . (1 point) ? ? 2?? 0 R ? 5 13 12 ? 1560 ?? 0 R

Q6 (10 points) (a) Let c ?

3 , so that cv ? cnR . The expansion is an adiabatic process, 膨胀过程为绝热过程,所以有 2

PV 1?1/ c ? con.
The work done to the piston is 对活塞做的功为
?V0 ?V0

W?

V0

? PdV ? PV

1?1/ c 0 0

V0

?V

?1?1/ c

3 ?1/ c dV ? cPV ) ? nRT0 (1 ? ? ?2/3 ) . (2 points) 0 0 (1 ? ? 2

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3 nRT0 , which is the total internal energy of the gas 等于气体的总内能, 2 也就是气体可做的最大功. (1 point) ?1 ?S ?W ? (b) ? ln(? ) ? c ln(T / T0 ) ? ln(? ) ? c ln ? (T0 ? )? nR cnR ? ? T0
Maximum work is 最大功为 Wmax ?

?S 3 ? ln(? ) ? ln ?1 ?? ? ?? ?2/3 ? . (5 points) nR 2 ?2/3 ? 1) ? 0 , and ?S > 0. (1 point) To see if ?S is positive, let 令 ?S ? cnR ln(m) , so m ? 1 ? (1 ? ? )(? (c) When ? = 1, ?S = 0, which is consistent with the fact that there is no net loss in internal energy of the gas. 当? = 1, ?S = 0, which is consistent with the fact that there is no net loss in internal energy of the gas 符合气体自由膨胀时熵不变这一结果。(1 point)
Put in the answer in (a) we get 代入(a) 里功的表达式,得

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Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2012 2012 年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛 Part-2 (Total 3 Problems) 卷-2(共 3 题) (2:30 pm – 5:30 pm, 02-02-2011) Q1 Stella Interferometer (8 points) (a) The difference between the path differences of the two pairs of split waves is ? ? D ? ?? . When ? ? ? / 2 , the bright fringes of one star coincide with the dark fringes of the other. 两个平面波在两个入口镜的光程差的差为 ? ? D ? ?? . 当 ? ? ? / 2 时, 一颗星的亮条 纹与另一颗星的暗条纹刚好重叠,所以: D ? points) (b) ?? ?
1.22? 1.22? 1.22 ?180 ? 5.0 ?10?7 , so D ? ? m ? 12 m . (2 points) D ?? 3.14 ? 3 ?10?6

? 180 ? 5.0 ?10?7 ? m ? 4.8 m . (6 2?? 2 ? 3.14 ? 3 ?10?6

Q2 Y-particle (12 points) The two B-mesons should have the same momentum and energy because the original Y-meson is at rest. The kinetic energy of one B-meson is 1 Ek ? (10.58 ? 2 ? 5.28) ? 0.01 GeV, which is much less than the rest energy of B-mesons. 2 0.01 1 2 c ? 0.0615c . As the BSo we can use Ek ? mB v0 . Putting the numbers in we get v0 ? 5.28 2 mesons are moving at low speed their lifetime change can be ignored. So L0 ? v0? 0 ? 3 ?108 ? 0.0615 ?1.5 ?10?12 ? 0.028 mm. 由于 Y 介子是静止的,所以两个 B 介子的动量相等,方向相反。B 介子的动能为 1 Ek ? (10.58 ? 2 ? 5.28) ? 0.01 GeV, 比它的静止质量小亨多,所以可用经典力学 2 0.01 1 2 c ? 0.0615c . B 介子寿命因运动 Ek ? mB v0 来求它的速度。将数值代入后得 v0 ? 5.28 2 而延长的效应可忽略,因此 L0 ? v0? 0 ? 3 ?108 ? 0.0615 ?1.5 ?10?12 ? 0.028 mm. (2 points) (b) Rough estimation: the speed of the B-mesons should be v0 L / L0 ? 0.44c , so we need precise formula which takes into account the lifetime change. 粗略估计: B 介子的速 度为 v0 L / L0 ? 0.44c , 所以必须考虑相对论效应. v? 0 c L? ? 0.406c . . So v ? 1 ? (v / c ) 2 (c? 0 / L) 2 ? 1 (c)
P ? ? mB v ? 0.406 ?1.094 ? 5.28(GeV / c) ? 2.35 GeV/c (3 points) The Y-mesons move with the center-of-mass (CoM) frame of the B-mesons. From (a) we get the speed of the B-mesons in that frame as v0 = 0.0615c. From (b) we know that in the laboratory frame the speed of the B-mesons is v = 0.406c. Let the relative speed

(a)

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Pan Pearl River Delta

between the CoM frame and the laboratory frame be –u, which is also the speed of the v0 ? u Y-mesons in the laboratory frame, then v ? . Solving it we get u = 0.336c. Y 1 ? v0u / c 2 介子的速度与 B 介子质心的速度一致,由 (a) 我们知道 B 介子在质心参照系的速 度为 v0 = 0.0615c. 由(b) 我们知道 B 介子在实验室参照系里的速度为 v = 0.406c. 令质心参照系相对于实验室的速度(也是 Y 介子在实验室的速度)为–u, 则 v0 ? u . 由此得 u = 0.336c. The total energy of the Y-mesons in the v? 1 ? v0u / c 2 (d) laboratory frame is Y 介子的总能量为 EY ? mY c 2 / 1 ? (u / c)2 ? 1.062mY c 2 . (4 points) In the CoM an electrons has equal and opposite momentum as a positron, while together they must have the energy to create a Y-meson. The momentum 4-vector is ? 0 ? then ? ? in CoM. 在 Y 介子参照系里电子和正电子的动量相等,方向相反,总 m c ? Y ?

? 0 ? 能量等于 Y 介子的静质量。因此 Y 介子的动量-能量 4 矢为 ? ? 。In the ? mY c ? laboratory frame the momentum 4-vector is 在实验室参照系,该 4 矢为 ?? ? ? 0 ? ? ?? mY c ? ? ? ? ?? m c? ? ? ? m c ? . ? ?? ? ? ?? Y ? ? Y ? Let the momenta of electron and positron be P1 and P2, respectively, and also note that as the electron (and positron) rest energy (0.511 MeV) is thousands of times less than that of the Y-meson, so the energy of an electron is simply cP1. 令电子和正电子的动 量分别为 P1 、P2,又由于现在电子的能量远大于它的静止质量 (0.511 MeV) , 所以它的能量为 cP1。We then have 由此我们得 ?P ? ?? mY c ? 1?P 2? ? ??? ? , where 其中 ? ? u / c . ?P 1?P 2? ? ? mY c ?
The electron energy in the laboratory frame is then 电子在实验室的能量为 1 1 cP (1 ? ? )? mY c 2 ? ?1.336 ?1.062 ? mY c 2 ? 0.709mY c 2 ? 7.51 GeV. 1 ? 2 2 正电子的能量为 1 1 cP2 ? (1 ? ? )? mY c 2 ? ? 0.664 ?1.062 ? mY c 2 ? 0.353mY c 2 ? 3.73 GeV, or vise versa. 2 2 (3 points) Q3 Penning Trap (30 points) 1 1 v2 v qB (a) qBv ? m , so ?c ? ? . Ek ? mv 2 ? m?c2 r02 . (1 point) r0 m r0 2 2 (b)
I?

x?

D r ? r cos(?ct ? ? ) , Q1 ? Q2 ? ?2q cos(?ct ? ? ) . 2 D

r? dQ ? 2q 0 c sin(?ct ? ? ) . Larger r0 leads to larger current. (2 points) dt D

2

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(c)

The energy gained in each cycle is 每周期得到的能量为 dEk 1 1 dEk ? ? qE0 cos(?ct ) ? r?c cos(?ct )dt ? qE0 r?cTc , and ? qE0 r?c (1 point) 2 dt 2 Tc On the other hand, from (a) we have 由(a) 我们得 So m?c2 r

dEk dr ? m?c2 r . (1 point) dt dt

(d) (e)

dr 1 qE0 ? qE0 r?c , and R ? r0 ? T (1 point) 2m?c dt 2 2qV0 z Ez ? ?2V0 2 . ? z2 ? . (2 points) 2 z0 mz0

? 2V (r ) ? 0 so ? ? ?1/ 2 . (1 point)

Use ?c and?z as known for the remaining part of the question. (f) The electric field in the x-y plane is 沿 X-Y 平面的电场为 E ? ?V0

xx0 ? yy0 . (1 point) 2 z0

(g)

The equation is 粒子的运动方程为 xx ? yy xx ? yy m( xx0 ? yy0 ) ? eV0 0 2 0 ? eB( xx0 ? yy0 ) ? z0 ? eV0 0 2 0 ? eB( xy0 ? yx0 ) z0 z0 (1 point) 1 x ? ?c y ? ?z2 x ? 0 2 1 y ? ?c x ? ?z2 y ? 0 (2 points) 2 Multiply i to the first equation, and add to the second one, 将第一式乘 i 后与第二式相 1 加,得 we get u ? iau ? bu ? 0 , where a ? ?c and b ? ? ?z2 . (2 points) 2

(h) (i)

?? ?

(2 points) 2 x(0) ? R , y(0) ? 0 , x(0) ? 0 , y (0) ? ? R?c (2 points)

?c ? ?c2 ? ?z2

Then R ? A? ? A? , R?c ? ?? A? ? ?? A? (1 point)

(j) (k) (l)

? ? ?c 1?? ? R?? ? z ? R , Solving the equations we get 解上述方程,得 A? ? ? ?? ? ?? 2 ? ?c ? ? ? ?? A? ? c R ? R (2 points) ?? ? ?? x ? x cos(?t ) ? y sin(?t ) , y ? y cos(?t ) ? x sin(?t ) . So u ? ue?i?t . (3 points)
u ? uei??t ? A? ? A?e?i (?? ??? )t , which is a circle centered at x ? A? .这是一个中心在
x ? A? 的圆。(1 point)

2

(k)中的圆心绕原点作圆周运动。 (1 point)

3

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(m) u ? A? e?i?1t ? A?ei?1t where ?1 ? ?c2 ? ? z2 . (1 point) So x ? ( A? ? A? ) cos(?1t ) , y ? ( A? ? A? ) sin(?1t ) , which is an ellipse with ( A? ? A? ) being one axis and ( A? ? A? ) being the other. Under more special conditions, the ellipse can become a line or a circle. 这是个椭圆,在特定条件下可变成圆( A? 或 A? 等于 0), 或直线( A? = ? A? )((2 points) 《THE END 完》

4


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