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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2课件:第4章 典例导航:复数的有关概念


1. (2011·广东高考, 1) 设复数 z 满足 iz = 1,其中 i 为虚数单 位,则z=( A.-i C.-1 ) B.i D.1

解析: 方法一:设 z=x+yi(x、y∈R),则 iz=i(x+yi) =-y+xi=1,故 x=0,y=-1,故 z=-i. 1 方法二:z= =-i. i
答案: A

2 . (2011·湖南高考, 1) 若 a , b∈R , i 为虚数单位,且 (a + i)i=b+i,则( ) B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1

A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 解析: 答案:

(a+i)i=ai-1=b+i,故应有a=1,b=-1. D

已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+(3-

y)i=y-i,求x,y.

因为 x∈R, y 是纯虚数, 所以可设 y=bi(b∈R 且 b≠0), 代入原式,由复数相等的充要条件可得方程组,解之即得所 求结果.

[ 解题过程 ] b≠0),

∵ y 是纯虚数,∴可设 y = bi(b ∈ R ,且

则(2x-1)+3i+b=bi-i=(b-1)i, 整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i,
? ?2x-1+b=0, 由复数相等的充要条件得? ? ?b-1=3,

b= 4 , ? ? 解得? 3 x=- , ? 2 ? 3 ∴x=- ,y=4i. 2

1.若本例中条件改为“x,y是实数,且满足(2x-1)+(3-y)i =y-i”,求x,y.

解析:

? ?2x-1=y 由复数相等的充要条件得? ? ?3-y=-1

5 ? ?x= 解得? 2 ? ?y=4

实数x分别取什么值时,复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i
对应的点Z在下列位置? (1)在虚轴上;(2)第四象限;(3)直线x-y-3=0上.

[解题过程]

复数 z=x2+x-6+(x2-2x-15)i 的实部

为 x2+x-6,虚部为 x2-2x-15. (1)由题意得 x2+x-6=0.解得 x=2 或 x=-3. (2)当实数 x
2 ? ?x +x-6>0, 满足? 2 ? ?x -2x-15<0,

即 2<x<5 时,点 Z 在第四象限. (3)当实数 x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0, 即 x=-2 时,点 Z 在直线 x-y-3=0 上.

2. 在复平面内,若复数 z = (m2 - m - 2) + (m2 - 3m + 2)i 对应

点(1)在虚轴上;(2)实轴负半轴上.分别求复数z.
解析: (1)若复数z对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,

∴m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.
(2)若复数 z 对应点在实轴负半轴上,
2 ? m ? -m-2<0 则? 2 ? ?m -3m+2=0



解得 m=1,∴z=-2.

1 3 已知复数 z1=3+i,z2= + i,求|z1|,|z2|的值并比较 2 2 大小.

由题目可获取以下主要信息: ①z1,z2 均已知; ②求|z1|、|z2|,并比较模的大小. 解答本题可先确定复数的实、虚部,再代入公式即可.

[解题过程] |z1|=|3+i|= =
?1?2 ? ? ? +? ?2? ?

?1 10,|z2|=? + ?2

3? i? 2 ?

3 ?2 ? =1. 2?

∵ 10>1,∴|z1|>|z2|.

3.求复数z=1+cos α+isin α(π<α<2π)的模的取值范围.

解析:

|z|= ?1+cos α?2+sin2α= 2+2cos α,

∵π<α<2π,∴-1<cos α<1, ∴0<2+2cos α<4,∴|z|∈(0,2).


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