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四川省自贡市普高2013届高三第二次诊断性考试理科数学试卷


自贡市高 2013 届第二次诊断考试数学试题 参考答案及评分意见
11.选择题(每小题 5 分 共 50 分) (理科)ABCBC DDACB (文科)ABCCA DCBBD 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) (理)11.2; (文)11. ? 12. 1 或-3; 13.

1 ; 12. 5? ; 2



5 ; 14.56 4 3? 13.-1; 14. 32

15. ①③④ 15. ②③

三、解答题:共 6 个题,共 75 分。 16、 (理科) (文科 18)解:(Ⅰ)由 a ? b ? ? ∴ ∴

? ?

4 ? 2sin ? cos ? ? 0 5

………(1 分) ………(2 分)

sin ? ?

4 5 3 5
2

而 ? 在第二象限 ………(4 分) tan ? ? ?

cos ? ? ?
2 2

4 3

………(6 分)

(Ⅱ) 由 b ? c ? a ?

2bc



cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2 ………(8 分) ? 2bc 2

0? A??

A?

?
4

………(10 分)



4 ? ?1 tan ? ? tan A 1 tan(? ? A) ? ? 3 ?? 1 ? tan ? tan A 1 ? 4 7 3

………(12 分)

16、(文科)解:(Ⅰ)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 率, 所以, 甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为

5 ? 20 1 ? ,用频率估计概 100 4
……… (6 分)

1 , 4

(Ⅱ) 根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75+70=145 个, ………(8 分) 其中甲品牌产品是 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是

15 75 15 ? ,用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 . 29 145 29
…… (12 分) 17、 (理科)解:(Ⅰ)由 an ? 2an?1 ? 1 ( n ? 2 )得 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ………(1 分) ………(2 分)

a1 ? 1 ∴

a1 ? 1 ? 2 ? 0

∴ ∴

an ? 1 ? 2 (常数)∴ {an ? 1} 为等比数列 ………(4 分) an?1 ? 1

an ? 1 ? (a1 ? 1)2n?1 ? 2n

………(6 分)

(Ⅱ) bn ? log 2 ( an ?1) ? n ……(7 分)∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ……(8 分) bnbn? 2 n(n ? 2) 2 n n ? 2



Sn ?

1 1 1 1 ? ? ?? b1b3 b2b4 b3b5 bnbn?2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ] ………(10 分) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2
1 1 1 1 3n 2 ? 5n (1 ? ? ? )= 2 2 2 n ?1 n ? 2 4n ? 12n ? 8
……… (12 分)

= [ ?



17、(文)解:(Ⅰ)由 Sn ? 2n ? c ∴ n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1

…(2 分)

n ?1时


S1 ? a1 ? 2 ? c ∵ {an } 为等比数列
………(4 分) ∴

a a2 2 ? ? 3 ?2 a1 2 ? c a2

c ? ?1

………(5 分)



an ? 2n?1 ………(6 分)
………(8 分) ………(9 分)

(Ⅱ) bn ? 2n ?1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 2n = (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2(1 ? 2 ? ?? n)
2 n

=2

n?1

? 2 ? n(n ? 1) ……(11 分)= 2n?1 ? n2 ? n -2 ………(12 分)
n n ?1 ? n?m n?m?2
………(4 分)

18、 (理)解:(Ⅰ) P ( x ? n ? 2) ? (Ⅱ) x 可取 n, n ? 1, n ? 2

… (5 分) m ? n 知每次取到 A 类题概率 P= 由 ………(7 分) ………(8 分) ………(9 分)
n ?1

1 … (6 分) 2

1 1 1 P ( x ? n) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 2 4 1 1 1 P( x ? n ? 2) ? ? ? 2 2 4 1 1 1 P( x ? n ? 1) ? 1 ? ( ? ) ? 4 4 2

n?2



x 的分布列

P

1 4

1 2

1 4

Ex ?

n n ?1 n ? 2 ? ? ? n ?1 4 2 4

………(12 分)

18、 (文同理 16)



AE ? BD ,且


(Ⅱ)

AE ? AD ? A , AE, AD ? 平面AED BD ? 平面AED ……(4 分)

∴ BD⊥AD ……(2 分)

∴ 平面 BDE⊥平面 AED

……(5 分)

……(6 分)

?? ?? → ?? → 设平面 BDF 的一个法向量为 m =(x,y,z),则 m ·BD=0, m ·BF=0, ?? 所以 x= 3y= 3z,取 z=1,则 m =( 3,1,1). ……(9 分)
→ 由于CF=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量,

……(7 分)

?? ??? ? ?? → 1 5 m ? CF ? 则 cos〈 m ,CF〉= ?? ??? = = , 5 5 m ? CF
所以二面角 F-BD-C 的余弦值为 19(文科)(Ⅰ)∵ AB ? BC ? 1 ∴ BD2 ? B1D2 ? BB12 而 AB ? BC , ∴ B1D ? AB 5 . 5

[来源:学科网]

……(11 分)

……(12 分) ∴

CC1 ? 2

BD ? B1D ? 2
……(2 分)

∴ B1D ? BD

∴ AB ? 平面 BB1C1C

B1 D? B D C C 1 1
……(6 分)

……(4 分) B1D ? 平面ABD

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BD ? B1 D , AD ? B1 D, 平面 AB1 D ? 平面 BB1C1C=B1D

? ?A D B 就是平面 AB1D 与侧面 BB1C1C 的成角的平面角…………(9 分)

在 Rt?ABD , ?ABD ? 90? , AB ? 1, BD ? 中 即平面 AB1D 与侧面 BB1C1C 所成角的正切为 20、(理)解:(Ⅰ) e ?
2

2
2 ,. 2

? tan?ADB ?

AB 1 2 ? ? ,. BD 2 2

………(12 分)

y2 c2 b2 1 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? …(2 分)∴ m ? 4 ∴椭圆 ? x 2 ? 1…(4 分) 4 a2 a m 4

(Ⅱ) 当⊥ x 轴时 | PA ? PB |?| AB |? 4 ? 3 不合条件 当不垂直 x 轴时 设其方程为 y ? kx ? 3

??? ??? ? ?

??? ?

………(5 分)

A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,P ( x0 , y0 )

联立

? y ? kx ? 3 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? ? 4

消y得

(4 ? k 2 ) x2 ? 6kx ? 5 ? 0

? ? 16k 2 ? 80 ? 0
x1 ? x2 ? ?
??? ??? ? ?

k2 ? 5



………(6 分) ………(7 分)

6k 4 ? k2
??? ?

x1 x2 ?
2

5 4 ? k2

而 | PA ? PB |?| AB |? 1 ? k ∴

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =

4 (1 ? k 2 )(k 2 ? 5) ? 3 4 ? k2

16 ? k 2 ? 8 ② ………(8 分)由①、②知 5 ? k 2 ? 8 13 ??? ??? ? ? ??? ? 又 ∵ OA ? OB ? ? OP ∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? ( x0 , y0 )



6k ? ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? 4 ? k2 ? ?? y ? y ? y ? k ( x ? x ) ? 6 ? 24 1 2 1 2 ? 0 4 ? k2 ?

当? ? 0时

6k ? ? x0 ? ? ? (4 ? k 2 ) ? ? 24 ? y ? 0 ? ? (4 ? k 2 ) ?

…… 分) 当 ? ? 0 时 不合条件…… (9 (10 分)

而 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上 ∴ ∴? ?
2

1 24 6k ( ) 2 ? (? )2 ? 0 2 2 4 ? (4 ? k ) ? (4 ? k )

……(11 分)

36 5 ? k 2 ? 8 ∴ 3 ? ? 2 ? 4 …(12 分)∴ ? ? (?2, 3) ? ( 3, 2) …(13 分) 2 4?k

20、 (文科)解: (Ⅰ)直线 AB 的方程是 y ? 2 2( x ? 与 y2=2px 联立,

p ) 2

………(2 分) ………(4 分)

5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以:x1+x2= . 4 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4,………(5 分) 从而抛物线方程是 y2=8x.………(6 分) (Ⅱ)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,

从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2).………(8 分) → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2), ………(10 分) 又 y3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1), 即(2λ-1) =4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2. 21、 (理)解:(Ⅰ) f ?( x ) ? ∴ x ? (0, )
2 2 2

………(11 分) ………(13 分) (x ?0

a 1 ax ? 1 ? ? 2 x x2 x

a ? 0)

……(1 分)

1 x ? ( , ? ?) f ?( x) ? 0 f ( x) 单增 …(2 分) a 1 1 ∴ f ( x ) 极小值= f ( ) ? a ln ? a ? a (1 ? ln a ) ……(3 分) a a

1 a

f ?( x) ? 0 f ( x) 单减

(Ⅱ) 设 g ( x) ? ax(2 ? ln x) ? 1

……(5 分)

1 g ?( x) ? 2n ? a ln ? ax( ) = a(1 ? ln x) ? 0 x


x?e
g ?( x) ? 0

……(6 分)

x ? (0, e)

g ?( x) ? 0

g ( x) 单增

x ? (e, ? ?)

g ( x) 单减

1 ? g ( x)m a= g (e) ? ae(2 ? ln e) ?1 ? 0 ……(7 分)∴ 0 ? a ? ……(8 分) x e

(Ⅲ)

f

21、(文)解:(Ⅰ) f ( x) ? x ? ax ? b ln x
2

( x ? 0)


f ?( x) ? 1 ? 2ax ?

b x

……(1 分)

由题知 ?

?

f (1) ? a ? 1 ? 0

? f ?( x) ? 2a ? 1 ? b ? 0

?a ? ?1 ? ? b?3

……(3 分)

(Ⅱ) f ?( x) ? 1 ? 2 x ?

3 x?( 0 , 2

) f ?( x) ? 0

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ? ( x ? 0 ) ……(4 分) x x 3 f ( x) 单增 x ? ( , ? ?) f ?( x) ? 0 f ( x) 单减…(5 分) 2



3 3 3 f ( x)最小值=f ( ) ? ? ? 3ln 2 4 2
f ( x) 无最小值

……(7 分)

(Ⅲ)设

g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 2)
= ? x ? x ? 3ln x ? 2
2

x?0

x?0

……(9 分) ……(10 分)

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) g ?( n) ? 1 ? 2 ? ? ? x = x x

x ? (0,1)

g ?( x) ? 0

g ( x) 单增

x ? (1, ? ?)


g ?( x) ? 0 g ( x) 单减 …… (11 分)
……(13 分)

g ( x)max ? g (1) ? ?1 ?1 ? 0 ? 2 ? 0


g ( x) ? g ( x)max ? 0

f ( x) ? 2 x ? 2

……(14 分)


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