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【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮题组训练:7-4基本不等式及其应用


第 4 讲 基本不等式及其应用 基础巩固题组(建议用时:40 分钟) 一、填空题 1 1 2 1.(2014· 泰安一模)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式①a+b≥2 ab;②a+b> ; ab b a ③a+b≥2;④a2+b2>2ab 中,恒成立的是________. 1 1 2.(2014· 杭州一模)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则 + 的最小值是____

__. a b 1 1 3.(2013· 金华十校模拟)已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+a,n=a+b, 则 m+n 的最小值是________. 4. (2012· 陕西卷改骗)小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b), 其全程的平均时速为 v, 则 a、v、 ab的大小关系为________. 9 5.(2014· 兰州模拟)已知函数 y=x-4+ (x>-1),当 x=a 时,y 取得最小值 b,则 a x+1 +b=________. 6.(2014· 广州模拟)若正实数 a,b 满足 ab=2,则(1+2a)· (1+b)的最小值为______. x y 7.已知 x,y∈R+,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为______. 8.函数 y=a
1-x

1 1 (1)求 u=lg x+lg y 的最大值;(2)求 x +y 的最小值.

能力提升题组(建议用时:25 分钟) 一、填空题 1 1.(2014· 郑州模拟)已知正实数 a,b 满足 a+2b=1,则 a2+4b2+ab的最小值为______. 2 1 2. 已知 x>0, y>0, 且 x+ y=1, 若 x+2y>m2+2m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是________. 3.(2014· 南昌模拟)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________. 二、解答题 4.(2013· 泰安期末考试)小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需 支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收 入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出 售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格为(25-x)万元(国家规定大货车的报废年限 为 10 年). (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售, 能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+ 销售收入-总支出)

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上,

1 1 则m+n的最小值为________. 二、解答题 1 1 1 9.已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:a+b+ab≥8.

10.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20.

第 4 讲 基本不等式及其应用参考答案 基础巩固题组(建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.解析 2.解析 b a b a 因为 ab>0,即a>0,b>0,所以a+b≥2 1 1 a+b a+b b a 由题意a+b= a + b =2+a+b≥2+2 4 b a a×b=2.答案 ③

二、解答题 9.证明 1 1 1 1 1 a+b ?1 1? ?a+b?, + + = + + = 2 a b ab a b ab ? ?

∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴a+b= a + b =2+b+a≥2+2=4, 1 1 1 1 ? ? ∴a+b+ab≥8?当且仅当a=b=2时等号成立?. ? ? 10.解 (1)∵x>0,y>0,

b a b a × = 4 ,当且仅当 a b a=b,即 a=b

1 = 时,取等号,所以最小值为 4.答案 2 3.解析 4. 答案 4.解析 4

1 1 由题意知:ab=1,∴m=b+a=2b,n=a+b=2a,∴m+n=2(a+b)≥4 ab=

∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy. ∵ 2x + 5y = 20 ,∴ 2 10xy ≤20 , xy≤10 ,当且仅当 2x = 5y 时,等号成立.因此有 ?2x+5y=20, ?x=5, ? 解得? ?2x=5y, ?y=2, 此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. 5y 2x? 1 1 ?1 1? 2x+5y 1 ? 1 ? (2) ∵ x>0 , y>0 , ∴ x + y = ? x+ y? · 20 = 20 ?7+ x + y ? ≥ 20 ?7+2 ? ? ? ? ? 7+2 10 5y 2x ,当且仅当 20 x = y 时,等号成立. 2x+5y=20, ? ? 由?5y 2x = , ? ?x y 10 10-20 ? ?x= 3 , 解得? 20-4 10 ? ?y= 3 . 5y 2x? ?= x· y?

设甲、乙两地之间的距离为 s.∵a<b,∴v= s

2s

a+b

s=

2sab 2ab 2ab = < = ab. ?a+b?s a+b 2 ab

ab-a2 a2-a2 2ab 又 v-a= -a= > =0,∴v>a.答案 a+b a+b a+b 5.解析 y=x-4+

a<v< ab

9 9 9 =x+1+ -5,由 x>-1,得 x+1>0, >0,所以由基 x+1 x+1 x+1 9 -5≥2 x+1 ?x+1?× 9 9 -5=1,当且仅当 x+1= ,即(x x+1 x+1 3

本不等式得 y=x+1+

+1)2=9,所以 x+1=3,即 x=2 时取等号,所以 a=2,b=1,a+b=3.答案 6.解析 等号. 答案 7.解析 8.解析 9 x y ∵x>0,y>0 且 1=3+4≥2

(1+2a)(1+b)=5+2a+b≥5+2 2ab=9.当且仅当 2a=b,即 a=1,b=2 时取

xy x y 12,∴xy≤3.当且仅当3=4时取等号.答案

3

7+2 10 1 1 ∴x+ y的最小值为 20 . 能力提升题组(建议用时:25 分钟) 一、填空题 1.解析 1 1 因为 1=a+2b≥2 2ab,所以 ab≤8,当且仅当 a=2b=2时取等号.又因为 a2

∵y=a1-x 恒过点 A(1,1),又∵A 在直线上,

1 1 m+n m+n n m 1 ∴m+n=1.而m+ n= m + n =2+m+ n ≥2+2= 4,当且仅当 m=n =2 时,取 1 1 “=”,∴m+n的最小值为 4.答案 4

1? 1 1 1 1 ? +4b2+ab≥2 a2· 4b2+ab=4ab+ab.令 t=ab,所以 f(t)=4t+ t 在?0,8?单调递减,所 ? ? 1 ?1? 17 以 f(t)min=f?8?= 2 .此时 a=2b=2.答案 ? ? 2.解析 2 1 ∵x>0,y>0 且x+y=1, 17 2

4y x ?2 1? ∴x+2y=(x+2y)? x+ y?=4+ x +y ? ? ≥4+2 4y x 4y x x· y=8,当且仅当 x =y,

即 x=4,y=2 时取等号, ∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立, 即 8>m2+2m,解得-4<m<2. 答案 3.解析 (-4,2) ?x+3y?2 ? ,令 x+3y=t,则 由已知,得 xy=9-(x+3y),即 3xy=27-3(x+3y)≤? ? 2 ? 6

t2+12t-108≥0,解得 t≥6,即 x+3y≥6.答案 二、解答题 4.解

(1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元,

则 y=25x-[6x+x(x-1)]-50(0<x≤10,x∈N), 即 y=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N), 由-x2+20x-50>0,解得 10-5 2<x<10+5 2. 而 2<10-5 2<3,故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出. (2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利 润为 1 1 ? 25? ? 25? y =x[y+(25-x)]= x(-x2+19x-25)=19-?x+ x ?, 而 19-?x+ x ?≤19-2 ? ? ? ? 25 x· x=

9,当且仅当 x=5 时等号成立,即小王应当在第 5 年将大货车出售,才能使年平均利 润最大.


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