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第三章:3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式


课题引入:
请同学们思考:某城市的电视发
射塔建在市郊的一座小山上.如
图所示,小山高BC约为30米,在 地平面上有一点A,测得A、C两 点间距离约为67米,从A观测电 A 视发射塔的视角(∠CAD)约为 45°.求这座电视发射塔的高度.
67 45° α C 30 B D

一、 新课引入
问题1:

/>
sin75°=sin( 45° +30°) =sin45°- ? sin75°= sin30°?

cos15°=?

cos15°=cos(45°- 30°) = cos45°- cos30° ?
问题2:

cos(α-β) =

?

思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能判断 如何用任意 cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成立吗?

探究:
cos(? ? ? )

角α,β的正 弦、余弦值 例:cos(30°-30°)≠cos30°-cos30° 表 因此,对角α,β 示
cos(α-β)=cosα-cosβ ? 一般不成立.

〖探究1〗 cos(α-β)公式的结构形式应该与哪些量有关系 ?

令??

?
2

2 令 ? ? ? , 则 cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? ?
令??

, 则 cos( ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? sin ? ?

, 则 cos( ? ? ) ? cos( ? ) ? sin ? ? ? 2 2 ? ? 令 ? ? ? , 则 cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? cos?
发现: cos(α-β)公式的结构形式

?

?

应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系

思考2:我们知道cos(α -β )的值与α ,β 的三角函数值有一定关系,观察下表中的数 据,你有什么发现?
cos(60° cos60° cos30° sin60° sin30° - 30°)

1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 cos(120° cos120° cos60° sin120° sin60° - 60°) 1 2
1 ? 2

1 2

3 2

3 2

从表中,可以发现:
cos(60° - 30°)=cos60°cos30°+sin 60°sin30° cos(120° - 60°) =cos120°cos60°+sin 120°sin60°

现在,我们猜想,对任意角α

,β 有:

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

〖探究2〗 借助三角函数线来推导cos(α -β )公式

1

y A

P1

?

sin

?

OM= cos(α-β) OB=cosαcosβ BM=sinαsinβ
P 又 OM=OB+BM

cos ?

C

?

?

cos ?? ? ? ? ? ? ? sin ? sin ?
M 1

O

B

x

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos ? cos ?

+

〖探究3〗 两角差的余弦公式有哪些结构特征?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
上述公式称为差角的余弦公式,记作

C(? ? ? )

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α-β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的和。

简记“C C S S,符号相反”

2.公式中的α ,β 是任意角。

〖公式应用〗

引例:求cos15°的值.
分析:将150可以看成450-300而450和300均为特殊角,

借助它们即可求出150的余弦.

cos150 =cos(450- 300)
=cos450cos300 + sin450sin300 你会求sin75°的值了吗? = × + × =

应用

? 4 例2, 已知sinα= ,α∈( ,?),cosβ= 2 5 第三象限角,求cos(α-β)的值。

5 , β是 13

小结:要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦, 4 ? 解:由sinα= 5 α∈( ,?),得 , 2
3 ?4? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2 2

分析:由Cα-β和本题的条件,要计算cos(α-β),还应求什么?

所以cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα

12 ? 5 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ? ? ?? ? 13 ? 13 ?

- 5 ,β是第三象限的角,得 又由cosβ= 13

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ?? ???? ? ??? ?? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

应用

公式的逆用

cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) β cos( -β ) ? cosα cosβ + sinα sin α
1 练习:. cos175 0 cos550 ? sin175 0 sin 550 ? ? 2 1

2. cos( ? 210 ) cos( ? 24 0 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 24 0 ) ? ? ?

2 2

探究:
cos(? ? ? )

Y

如何用任意 (1)、结合图形,明确应选 择哪几个向量,它们怎么 角α,β的正 A 表示? α 弦、余弦值 (2)、怎样利用向量数量 表 积的概念和计算公式得 示
到探索结果?
O

B β
X



??? ? OA ? ? cosα ,sinα ?
? cos( ? ? ) ?


??? ? OB ? ? cosβ ,sinβ ?
y

OA ? OB ? OA OB cos( ? ? ) A ?

α
o

B

β
1 x

OA ? OB

? cos? cos ? ? sin? sin ?


-1

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 思考:此公式对任意角α,β都成立吗?

cos ? ? ?) cos ? cos ? ? sin ? sin ? ( ?

C(? ? ? )
C(? ?? )

思考:

cos ? ? ?) cos ? cos ? ? sin ? sin ? ( ?

口诀:余余正正符号反

(一)给角求值
例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 ? cos 45 ? 30
? ?
? ?

?

? ? cos15 ? cos ? 60 ? 45 ?
?
?

练习: sin 75? , cos 75?
分析: 75? ? cos(45? ? 30 ? ) cos

练习:

1 ? 1. cos175 0 cos550 ? sin175 0 sin 550 ? 2

2. cos( ? 210 ) cos( ? 24 0 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 24 0 ) ? ? ?

2 2

解后回顾:角的整体性
3.已知 cos 25? cos 35? ? cos 65? cos 55?的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 ? 2

原式=cos25 °cos35 °-sin25°sin35° =cos(25°+35°) =cos60°

解后回顾:用诱导公式变函数名称、变角

二、给值求值 思考:运用公式求解需要做哪些准备? 4 ? 5 例2:已知sin? = , ? ,?),cos? = , ? (
5 2 13

β是第四象限角,求cos(α-β)的值. 思考:若 将例2中 的条件 练习:课本127页2、3、4 去掉, 练习:已知? , ? 均为锐角, 且? ? ?, 对结果和 3 3 10 求解过程 ?的值. cos ? ? , cos(? ? ? ) ? , 求 cos 5 10 会有什么
? ? ?( ,?) 2

2 10

1 9

3 5 例4、在?ABC中, A= , B= , cos cos 5 13 则cosC的值等于( )
提示: (1)C=180°-(A+B),

(2)正、余弦值的符号。
所以cosC= -cos(A+B)

解后回顾: 三角形中的给值求值,内角和180度
练习:课本137页8题

33 = -cosAcosB+sinAsinB ? 65

三.给值求角

?

?
4

?
3

小结:
1、两角和与差的余弦公式: cos( ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos( ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
2、运用公式时注意角的范围、三角 函数值的正负及与特殊角的关系等.

作业

P137习题3,4,5
《世纪金榜》知能提升作业二十五

当? ? ? 是任意角时,由诱导公式一,总可以找到 一个角? ?[0,2?),使cos? =cos(? -?). ?? ??? ? ? 若? ? [0,?),则OA ? OB ? cos ? ? cos(? -?)
若? ? [? , ),则2? ? ? ? 0,? ],且 2? ( ?? ??? ? ? OA ? OB ? cos 2? ? ?) cos ? ? cos(? -?) ( ?
于是,对于任意角α、β都有

cos ? ? ?) cos ? cos ? ? sin ? sin ? ( ?
C(? ? ? )

当? ? ? 是任意角时,由诱导公式一,总可以找到 一个角? ?[0,2?),使cos? =cos(? -?). ?? ??? ? ? 若? ? [0,?),则OA ? OB ? cos ? ? cos(? -?)
若? ? [? , ),则2? ? ? ? 0,? ],且 2? ( ?? ??? ? ? OA ? OB ? cos 2? ? ?) cos ? ? cos(? -?) ( ?
于是,对于任意角α、β都有

cos ? ? ?) cos ? cos ? ? sin ? sin ? ( ?
C(? ? ? )

例1.求值:cos15 .
变式训练
求 sin 75 , 15 . sin
? 6? 4 2 ? 6? 4 2

?

6? 2 ? 4

?

?

练习.求值:
(2) 1 cos15? ? 2

3 sin 15? 2

(1) (3) cos80°cos20°+sin80°sin cos80°cos35°+cos10°cos5 20° 5°

4 ? 5 例2:已知sin? = , ? ,?),cos? =- , ? ( 5 2 13

β是第三象限角,求cos(α-β)的值.

变式训练
已知sin? =

33 ? 65

4 5 , ? 0,?),cos? =? ( , ? 是第三象限角, 5 13 求cos(? -?). ? 63 当? ? (0, )时,cos(? ? ?)=- ; 2 65 ? 33 当? ? ,?)时,cos(? ? ?)=( 2 65

3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式

复习

cos (? –? ) =cos? cos? + sin?sin?

cos(? ? ? ) ? ? cos? cos? – sin? sin?

sin(? ? ? ) ? ?

sin(? ? ? ) ? ?

二、公式的推导

sin?? ? ? ?
?? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ?

sin(? ? ? ) ? ?
用 ? ? 代?

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?

?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos ? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? -

两角和与差的正弦公式

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? )

sin(? ? ? ) ? ?

用 ? ? 代?

sin(? ? ? ) ? sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? cos ? sin(?? )

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? )

两角和的正切公式:

sin(α+β) tan(? ? ? ) ? cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ ? cosαcosβ- sinαsinβ

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ

记:T(? + ? )

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
上式中以??代?得
tan ? ? tan(? ? ) tanα- tanβ tan[? ? (? ? )] ? = 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tanαtanβ

tanα- tanβ ∴tan(α-β)= 1+ tanαtanβ 记T(? - ? )

两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。
即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 ? tan( ? ? ) 不 导公式来解。如:已知tan ? =2,求 2 能用 T
(? ? ? )

2?注意公式的结构,尤其是符号。

三 、公式应用
例1:不查表求sin105 、sin15 、tan15 .
解: (1) 105? ? sin sin (60? ? 45?)
= sin 60? cos 45? ? cos 60? sin 45? 3 2 1 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4
? ? ?

6? 2 (2) 15 ? sin 4
?

解: tan15?=

tan(45??30?)=
o o

tan45 - tan30 ? o o 1+ tan45 tan30
3 1? 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 ? 6 3 3? 3 1? 3

三 、公式应用
3 ? 例2:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4

?

?

3 解:由sin? =- ,? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有 sin(

?
4

? ? ) ? sin

?

4 4 2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos ? ? cos

?

sin ?

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10
4 ? tan ? ? 1 tan(? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan 4 3 ? ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4

?

tan ? ? tan

?

例3:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) cos 20。cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15
解:(1)由公式得: sin72。 cos 42。? cos 72。 sin 42。 ? sin(72。? 42。 ? sin 30。? ) 1 ; 2

(2) cos 20。 cos 70。? sin 20。 sin 70。 ? cos(20。? 70。 ? cos 90。? 0 )
1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 练习课本 (3) ? 。 1- tan15 1- tan 45。 tan15。 P131 2、3、 ? tan(45。? 15。 ? tan 60。? ) 3

4、5

补充 练 习
1、化简: (1)tan(α+β)(1 - tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1 - tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ

(2)tanα
2、求值: (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
o o

1+ tan71o tan26o
(2) -1

1 - 3tan75 o (2) o 3 + tan75

求下列各式的值:
1 ? tan 75? (1) 1 ? tan 75?

(2) tan17?+tan28?+tan17?tan28?

tan 45? ? tan 75? 解:1?原式= ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 1 ? tan 45? tan 75? tan17? ? tan 28? 2? ∵ tan( ? ? 28? ) ? 17 1 ? tan17? tan 28?

∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17? tan28?) =1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1

例3′、△ABC中, 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

证明: ∵tanA、tanB、tanC 都有意义, ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角,

tan A ? tan B , ∵ tan(A+B)= 1 ? tan A tan B

∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

引例

把下列各式化为一个角的三角函数形式

3 1 (1) sin ? ? cos ? 2 2

(2)sin ? ? cos ?
(3)a sin x ? b cos x

化 a sin x ? b cos x 为一个角的三角函数形式

a sin x ? b cos x

? ? a b ? a ?b ? sin x ? cos x ? 2 2 a 2 ? b2 ? a ?b ? a cos ? ? a 2 ? b2 令 b sin ? ? a 2 ? b2
2 2

? ? ?

? a 2 ? b2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b2 sin ? x ? ? ? ? a 2 ? b2 cos ? x ? ? ?

统一函数名:

a sin x ? b cos x ? a ? b sin( x ? ? )
2 2

其中

a a 2 ? b2

? cos ? ,

b a 2 ? b2

? sin? .

练习

把下列各式化为一个角的三角函数形式

(1) 2 ? sin ? ? cos ? ?
3 1 (2) sin ? ? cos ? 2 2

练习课本 P132 6、7

2 6 ?? ? ?? ? (3) sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? 4 ?4 ? 4 ?4 ?

练习

4 ? 1 练 2、已知 tan( ? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 5 4 4 求 tan( ? ?

?
4

)的值.

练习
? 5? ? ?? 5、已知x ? ?0, ? ,求函数y ? cos( ? x) ? cos( ? x)的值域. 12 12 ? 2?
? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?? 解: y ? cos( ? x) ? cos( ? ( ? x)) ? x ? ?0, ? ? x ? ? ? , ? 6 ?6 3 ? 12 2 12 ? 2? ? ? ? ? ?1 ? ? ? cos( ? x) ? sin( ? x) ? sin ? x ? ? ? ? ,1? x 12 12 6 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?sin cos( ? x) ? cos sin( ? x) ? 4 12 4 12 ? ? ? ?? ? ? 2 ? sin ? ? ( ? x) ? ? 4 12 ?
? 2 ? sin( ? x) 6
? ?? ? 2 ? ? y ? 2 sin ? x ? ? ? ? , 2? 6? ? 2 ? ?

?

五.小结

作业:
5—10

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 课本P137
sin(? ? ? ) ? sin ? costanβ ? sin ? tanα+ ? ? cos

P146 1、2、4、 7

tan(α+β)=

1 - tanαtanβ

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

变形:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )

例题剖析
3 ? 例3:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 cos(

?

3 解:由sin? =- ,? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4 ? ? ? 于是有sin( ? ? ) ? sin cos ? ? cos sin ? 4 4 4
2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

4

? ? ), tan(? ?

?

4

)的值。

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

4 ? tan ? ? 1 tan(? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan 4 3 ? ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4

?

tan ? ? tan

?

例题剖析
例4:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) sin 70? cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15

解:(1)由公式得:
1 sin72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ? sin(72 ? 42 ) ? sin 30 ? ; 2
。 。 。 。
。 。 。

(2)sin 70。cos 70。? sin 20。sin 70。

? cos 20。cos 70。? sin 20。 70。 cos(20。? 70。 ? cos90。? 0; sin ? )
1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 (3) ? ? tan(45。? 15。 ? tan 60。? 3 ) 。 。 。 1- tan15 1- tan 45 tan15

求下列各式的值: (1)cos75°; (2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°;
例5

1 + t an 15 (3) o ; 1 - t an 15

o

(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28°
sin(2a + b ) sin b 求证: sin a - 2 cos(a + b ) = sin a

例3

.

课堂练习与提升 例6
1 3 已知函数f(x)= cos x ? sin x, 2 2 (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)求f(x)的单调递增区间。 ? ?
3 cos x ? sin sin x ? cos( x ? ), 3 3

解:(1)、由已知 f(x)=cos

?

则f ( x)的最小正周期为T ? 2? ; 最大值为1.
? (2)、令z=x ? ,由f ( x) ? cos z的单调递增区间为[2k? ? ? , 2k? ], 3 ? 4 ? 由2k? ? ? ? x+ ? 2k? , 解得2k? ? ? ? x ? 2k? ? ;因此,f(x) 3 3 3 4 ? 的单调递增区间为[2k? ? ? , 2k? ? ]. 3 3

课外作业
1、化简:① 3 15 sin x ? 3 5 cos x ②
3 s in x x ? cos 2 2

2、已知函数f (? ) ? sin? ? cos? ,

(1)求f (? )的单调区间; ? (2)当? ?[0, ]时,求f (? )的最小值.
2

课题:两角和与差的正弦、 余弦、正切公式2

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
思考

cos(α+β)=?

将 ? ? 看为为? (?? )

cos( ? ? ) ?cos[ ? (? ? )] ? ?
? cos? cos(?? ) ? sin ? sin(?? )

? cos? cos ? ? sin ? sin ?

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β 的余弦积与正弦积的差.

和角的余弦公式

C 简记: (? ? ? )

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

二、公式的推导

sin?? ? ? ?
?? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ?

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?

?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos ? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ?

二、公式的推导

sin?? ? ? ?
? sin[? ? (?? )]

? sin ? cos(?? ) ? cos? sin(?? )
? sin ? cos ? ? cos? sin ?

两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? ) 2、两角差的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记:S(? ? ? )

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

练习:课本131页 1(1)(2)

(1) sin15? ? sin(45? ? 30?)

? sin 45? cos30? ? cos 45? sin 30?
2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4

练习:课本131页 1(1)(2)

(2) cos 75? ? cos(45? ? 30?)
? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30?
2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4

练习:创新 基础测评 1

5 分析: ?为锐角, ? ? , ∵ sin 13
5 2 12 ? cos? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? , 13 13
2

? ? ? ? sin( ? ? ) ? sin cos? ? cos sin ? , 6 6 6

1 12 3 5 6 5 3 ? ? ? ? ? ? 2 13 2 13 13 26

练习:创新 基础测评 3

7? ? 7? ? sin cos ? cos sin 12 4 12 4

? 7 ? 3 ? sin( ? ? ) ? sin ? 12 4 2 3

练习:创新 基础测评 2
1 1 分析: cos(? ? ? ) ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? , ① ∵ 3 3
1 1 ∵ cos(? ? ? ) ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? , ② 4 4

7 2 ①+② 得:cos? cos ? ? , 12

7 ? cos? cos ? ? 24

练习:报纸 随堂练习 1

sin 255 ? ? sin(360 ? ?105 ?) ? ? sin105 ?
? ? sin(45? ? 60?)
? ?(sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60?)
2 1 2 3 ? ?( ? ? ? ) 2 2 2 2 2? 6 ?? 4

练习:报纸 随堂练习 5

? ? ? 3? 解: 0 ? ? ? , ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , ∵ 2 2 2 2
33 2 56 ? cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 1 ? ( ) ? ? , 65 65
2

5 2 12 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? , 13 13
2

练习:报纸 随堂练习 5

?sin? ? sin[(? ? ? ) ? ? ]
? sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ) sin ? ?

33 5 56 12 ? ? (? ) ? ? 65 13 65 13 3 ? 5

练习:报纸 随堂练习 6

解: sin(A ? B) ? sin(A ? B) ∵
? sin A cos B ? cos Asin B ? sin A cos B ? cos Asin B

6 6 ? 2 sin A cos B ? , ? sin A cos B ? , 2 4
2 同理: A ? B) ? cos(A ? B) ? 2 cos A cos B ? , cos( 2

2 ? cos A cos B ? , 4

练习:报纸 随堂练习 6
6 sin A cos B ? ? tan A ? 4 ? 3 , cos A cos B 2 4

6 ? A ? 60?,? sin 60? cos B ? , 4
6 4 ? 2 ,? B ? 45? ? cos B ? 2 3 2

两角和的正切公式:

sin(α+β) tan(? ? ? ) ? cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ ? cosαcosβ- sinαsinβ

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
记:T(? + ? )

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
上式中以??代?得
tanα- tanβ tan ? ? tan(? ? ) = tan[? ? (? ? )] ? 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tanαtanβ

tanα- tanβ ∴tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

记T(? - ? )

两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 记:T(? + ? ) 1- tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

记:T(? - ? )

注意:
必须在定义域范围内使用上述公式。 即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 导公式来解。如:已知tan ?? =2,求 T(? ? ? )不 tan( ? ? ) 2 能用

注 意

遇到 tan( 2 ? ? ) 这类计算时,怎么办?

?

? sin( ? ? ) ? 2 tan( ? ? ) ? ? 2 cos( ? ? ) 2

1 cos ? ?? ? tan? ? sin ?

小结

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
变形: tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)

tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)

例 3

3 ? ? 已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,求sin( ? ? ), cos( ? ? ), 5 4 4 ? tan(? ? )的值。 4

3 解:由sin ? ? ? , ?是第四象限角,得: 5
3 2 4 cos? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? ) ? , 5 5
2

3 ? sin ? 5 ? ? 3. ? tan? ? ? 4 cos? 4 5

例 3

3 ? ? 已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,求sin( ? ? ), cos( ? ? ), 5 4 4 ? tan(? ? )的值。 4

? ? ? 于是有 sin( ? ? ) ? sin cos? ? cos sin ? 4 4 4
2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

例 3

3 ? ? 已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,求sin( ? ? ), cos( ? ? ), 5 4 4 ? tan(? ? )的值。 4

? ? ? cos( ? ? ) ? cos cos? ? sin sin ? 4 4 4

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

例 3

3 ? ? 已知 sin ? ? ? , ?是第四象限角,求sin( ? ? ), cos( ? ? ), 5 4 4 ? tan(? ? )的值。 4

? tan ? ? tan ? 4 ? tan ? ? 1 tan(? ? ) ? ? 1 ? tan ? 4 1 ? tan ? tan 4 3 ? ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4

练习:课本131页 4

? tan ? ? tan ? 4 解: ? ? ) ? tan( 4 ? 1 ? tan ? tan 4

3 ?1 ? ? ?2 1? 3
练习:创新 基础测评 4

例 4

利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) sin 72? cos 42? ? cos 72? sin 42?(2) cos 20? cos 70? ? sin 20? sin 70? 1 ? tan15? (3) 1 ? tan15?

解:() 72? cos 42? ? cos72? sin 42? 1 sin
? sin(72? ? 42?)
? sin 30?
1 ? ; 2

(2) cos 20? cos70? ? sin 20? sin 70?
? cos(20? ? 70?) ? cos90? ? 0
tan 45? ? tan15? 1 ? tan15? 1 ? tan15? ? ? (3) 1 ? tan15? 1 ? 1? tan15? 1 ? tan 45? tan15?

? tan(45? ? 15?)

? tan 60?
? 3;

练习:课本131页 5(1)(2)(3)
(1) sin 72? cos18? ? cos 72? sin18?
? sin(72? ? 18?) ? sin 90? ? 1;

(2) cos72? cos12? ? sin 72? sin12?
1 ? cos(72? ?12?) ? cos60? ? ; 2

tan12? ? tan 33? (3) 1 ? tan12? tan 33?

? tan(12? ? 33?) ? tan 45?

?1

练习:课本132页 5(4)(5)
(4) cos74? sin14? ? sin 74? cos14?

? sin14? cos74? ? cos14? sin 74?
? sin(14? ? 74?)
3 ? sin(?60?) ? ? ; 2

(5) sin 34? sin 26? ? cos34? cos 26?

? ? cos34? cos 26? ? sin 34? sin 26?
? ?(cos 34? cos 26? ? sin 34? sin 26?) ? ? cos(34? ? 26?)
1 ? ? cos 60? ? ? ; 2

练习:课本132页 5(6)

sin 20? cos110? ? cos160? sin 70?
? sin(180 ? ? 160 ?) cos( ? ? 70?) ? cos160 ? sin 70? 180
? sin160 ?(? cos70?) ? cos160 ? sin 70?
? ? sin160? cos70? ? cos160? sin 70?
? ?(sin160 ? cos70? ? cos160 ? sin 70?)

? ? sin(160 ? ? 70?)

? ? sin 90? ? ?1

练习:报纸 随堂练习 3
3 ? tan18 ? 1 ? 3 tan18 ?
tan 60? ? tan18? ? 1 ? tan 60? tan18?

? tan(60? ?18?)

? tan 42?

练习:报纸 随堂练习 2
分析: tan(? ? ? ) ? 3, ∵

? tan(2? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? (? ? ? )]
tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan(? ? ? ) tan(? ? ? )

3?3 3 ? ?? 1? 3? 3 4

练习:课本132页 6
1 3 (1) cos x ? sin x ? sin 30? cos x ? cos30? sin x 2 2

? sin(30? ? x);
(2) 3 sin x ? cos x

3 1 ? 2( sin x ? cos x) ? 2(cos30? sin x ? sin 30? cos x) 2 2

? 2 sin(x ? 30?)

练习:课本132页 6
(4) 2 cos x ? 6 sin x
1 3 ? 2 2 ( cos x ? sin x) 2 2

? 2 2 (sin 30? cos x ? cos30? sin x)
? 2 2 sin(30? ? x)

练习:课本132页 6

(3) 2 (sin x ? cos x)
2 2 ? 2( sin x ? cos x) 2 2

? 2(cos 45? sin x ? sin 45? cos x)

? 2 sin(x ? 45?)

练习:课本137页 4
1 11 解: ?,?都是锐角, ? ? , cos(? ? ? ) ? ? , ∵ cos 7 14
1 2 4 3 ? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ? , 7 7
2

11 2 5 3 sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ? 1 ? (? ) ? , 14 14
2

练习:课本137页 4

? cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ]
? cos( ? ? ) cos? ? sin(? ? ? ) sin ? ?
11 1 5 3 4 3 ?? ? ? ? 14 7 14 7 1 ? 2

练习:课本137页 10

解: tan? , tan ?是方程2 x 2 ? 3x ? 7 ? 0的两个实数根, ∵

3 ?7 ? tan? ? tan ? ? ? , tan? ? tan ? ? , 2 2

1 tan ? ? tan ? ? ?? ? tan(? ? ? ) ? 3 1 ? tan ? tan ? 1 ? (? 7 ) 2

3 ? 2

练习:课本137页 12

解 : 依题意,设?BAD ? ? , ?CAD ? ? ,
1 1 则, ? ? , tan ? ? tan 3 2
1 1 ? tan ? ? tan ? 3 2 ? 1, ? tan(? ? ? ) ? ? 1 1 1 ? tan ? tan ? 1? ? 3 2 ?? ? ? ? 45?,即:?BAC ? 45?

练习:课本137页 11

tan 2? ? tan[(? ? ? ) ? (? ? ? )]
tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan( ? ? ? ) tan( ? ? ? )
3?5 4 ? ?? ; 1 ? 3? 5 7

1 同理 tan 2? ? tan[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? 8

练习:课本137页 13(1)(2)(3)

(1)3 15 sin x ? 3 5 cos x

3 1 ? 6 5 ( sin x ? sin x) 2 2

? 6 5 (cos 30? sin x ? sin 30? cos x)
? 6 5 sin(x ? 30?)

练习:课本137页 13(1)(2)(3)

3 3 (2) cos x ? sin x 2 2

3 1 ? 3 ( cos x ? sin x) 2 2
? 3 (sin 60? cos x ? cos 60? sin x)
? 3 sin(60? ? x)

练习:课本137页 13(1)(2)(3)

x x (3) 3 sin ? cos 2 2
3 x 1 x ? 2( sin ? cos ) 2 2 2 2

x x ? 2(cos 30? sin ? sin 30? cos ) 2 2
x ? 2 sin( ? 30?) 2

练习:课本137页 13(9)

? 5? 5? 5? tan ? tan tan ? tan 4 12 4 12 ? (9) ? 5? 5? 1 ? tan tan 1 ? tan 12 4 12
? 5? 2 ? tan( ? ) ? tan ? 4 12 3
? ? ? tan ? ? 3 3
练习:课本137页 13(5班)

练习:课本137页 13(4)
2 ? 6 ? (4) sin( ? x) ? cos( ? x) 4 4 4 4

2 1 ? 3 ? ? [ sin( ? x) ? cos( ? x)] 2 2 4 2 4

2 ? ? ? ? ? [cos sin( ? x) ? sin cos( ? x)] 2 3 4 3 4

2 ? ? 2 7? ? sin[( ? x) ? ] ? sin( ? x) 2 4 3 2 12

练习:课本137页 13(7)
sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? )

? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos( ? ? ) sin(? ? ? ) ?

? sin(? ? ? ? ? ? ? )

? sin(? ? ? )

探究(二):二倍角公式的变通

思考1:1+sin2α 可化为什么?
1+sin2α =(sinα +cosα )2

思考2:根据二倍角的余弦公式,sinα , cosα 与cos2α 的关系分别如何? 1 - cos 2a 2 sin a = 2 1 + cos 2a 2 cos a = 2

思考3:tanα 与sin2α ,cos2α 之间是 否存在某种关系?

1 - cos 2a t an a = 1 + cos 2a
2

sin 2? 1 ? cos 2? tan ? ? ? 1 ? cos 2? sin 2?

思考4:sin2α ,cos2α 能否分别用 tanα 表示?

1 - t an a cos 2a = 2 1 + t an a

2

2 t an a sin 2a = 2 1 + t an a

理论迁移

,4 ? ? ? 2 求 sin 4?, 4?, tan 4? 的值. cos 例1 已知
4 例2 在△ABC中,cos A = , t an B = 2, 5

5 sin 2? ? 13

?

?

求 t an 2C 的值.

44 117

例3 化简 (sin 2x + cos 2x - 1)(sin 2x - cos 2x + 1)
sin 4x

tanx
1 例4 已知 sin a + cos a = ,且α ∈(0, 3

π ),求cos2α 的值.

-

17 9

作业:
P135练习:2,3,4,5.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

当 ?=? 时

cos ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? ? sin cos ??+? ? ? cos ? cos ?-sin ? ? sin ?? tan ??? tan ? tan +tan ? tan ???+? ??? ??? ? 11 tan ? tan ?? ? tan ? tan -
cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ?

sin?? +? ? ? sin ? cos ?+cos ? ??sin ? ? cos? sin ? ??

二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin? cos ?

S2?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2

C 2?

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?
? k? ? ? ?? ? ,且? ? k? ? ,k ? Z ? 2 2 4

T2?

二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos?
cos2? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 1
2 2
2 2

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?
降 (升) 公式特点 幂 公式左端的角是右 公 式 端角的二倍

公式变形: 2

cos ? ? 1 ? sin ? 2 1 ? cos 2? ? 22 cos ? 2 cos2? ? cos ? ? sin ? 2 1 ? cos 2? ? 2 sin ? 2 2 ? (1 ? sin ?) ? sin ? 2
2

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) 2

? 1 ? 2 sin ?
2

灵活运用公式

sin 2? ? 2 sin ? cos?
cos2? ? cos2 ? ? sin2 ? 2 ? 1 ? 2sin ? 2 ? 2cos ? ? 1

sin4? ? 2sin 2? cos2?
sin ? ?2sin cos 2 2 sin

?

?

?

?2sin cos 2 4 4

?

?

x 2 x 2 x 2 x 2 x ? 1 ?2sin ? 2cos ?1 cos ? cos ? sin 4 4 2 4 4

理解公式的推导方法

S(α-β) 以-β代β C(α-β)
作 商
以-β代β

S(α+β) C(α+β)
作 商

β=α

S2α C2α
作 商

T(α-β)

T(α+β)

β=α

T2α

? 1 ? 2sin ? 2。 注意:1、符号法则;2、灵活运用公式 ? ? 1 ? 2cos

3 例1 已知 sin ? ? ? , ? 是第三象限角, 求 sin 2? , 5    2? , tan 2? . cos sin 2? ? 2 sin ? cos? 3 解: sin ? ? ? , ? 是第三象限角 ? 5 4 3 2 2 ? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ( ? ) ? ? 5 5 3 4 24 ? sin 2? ? 2sin? cos ? ? 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? 5 5 25 3 2 7 2 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ( ? ) ? 5 25 2 tan ? 24 2 2 tan 2? ? ? cos2? ? cos ? ? sin ? 2 7 1 ? tan ? 2

例2.不查表求值: (1)2 cos105 cos15 ;
? ?

5 5 2 ? (2) ? sin 15 ; 18 9
sin (4)

tan15? (3) 2 ? ; 1 ? tan 15
例3.求证:

?
24

cos

?
24

cos

?
12



?sin ? ? 1 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ? cos ? ? ? ? ?sin ? ? 1 ? sin ? ? ? cos ? ?1 ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? sin 2?

练习:
sin? ? sin 2? (1)化简 1 ? cos ? ? cos 2?
(2) 8 cos
tan ?

?
32

cos

?
16

cos

?
8

sin

?
32

?
2

2 2 _______

x 2 sin ? 1 8 2 ,则 f ? ? ? ? _______ f ? x ? ? 2 tan x ? ? ? (3)若 x x ? 12 ? sin cos 2 2

3.若

x 2 sin ? 1 2 ,则 f ? x ? ? 2 tan x ? x x sin cos 2 2
2
2

?? ? 8 f ? ? ? _______ ? 12 ?

x 1 ? 2 sin 2 ? 2 tan x ? 2 ? cos x f ( x ) ? 2 tan x ? 2 ? x x sin x 2 sin cos 2 2

sin 2 x ? cos 2 x 4 ? ? 2? sin 2 x sin x ? cos x

总结:注意“切割”化“弦”的思想

sin 2? ? 2 sin ? cos?
cos2? ? cos ? ? sin ? 2 ? 1 ? 2sin ? 2 ? 2cos ? ? 1
2 2

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

P110 习题3.2

1、2

3.1.3 两倍角的正弦、 余弦、正切公式

复习引入 基本公式:

复习引入 基本公式:

复习引入 基本公式:

复习引入 基本公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

复习引入 基本公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

复习引入 基本公式:

tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

复习引入 基本公式:

tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

练习: 1.在△ABC中,sinAsinB<cosAcosB, 则△ABC为 ( )

A.直角三角形
C.锐角三角形

B.钝角三角形
D.等腰三角形

练习:
2. 3 cos

?
12

? sin

?
12

的值为 (

)

A. 0

B. 2

C.

2

D. ? 2

讲授新课
3? 12 已知 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? , 2 4 13 3 sin(? ? ? ) ? ? , 求 sin 2? . 5

思考:

?

讲授新课
3? 12 已知 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? , 2 4 13 3 sin(? ? ? ) ? ? , 求 sin 2? . 5
由此我们能否得到sin2?,cos2?, tan2?的公式呢?

思考:

?

公式推导:

sin 2? ? sin(? ? ? )

公式推导:

sin 2? ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin?

公式推导:

sin 2? ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin? ? 2 sin? cos ?

公式推导:

sin 2? ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin? ? 2 sin? cos ? cos 2? ? cos(? ? ? )

公式推导:

sin 2? ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin? ? 2 sin? cos ? cos 2? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin?

公式推导:

sin 2? ? sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin? ? 2 sin? cos ? cos 2? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin? 2 2 ? cos ? ? sin ?

思考:

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

把上述关于cos2?的式子能否变成 只含有sin?或cos?形式的式子呢?

思考:

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

把上述关于cos2?的式子能否变成 只含有sin?或cos?形式的式子呢?

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

思考:

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

把上述关于cos2?的式子能否变成 只含有sin?或cos?形式的式子呢?

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

cos 2? ? 2 cos ? ? 1
2

公式推导:

tan 2? ? tan( ? ? ? )

公式推导:

tan 2? ? tan( ? ? ? )
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

公式推导:

tan 2? ? tan( ? ? ? )
2 tan ? tan ? ? tan ? ? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ?

公式推导:

tan 2? ? tan( ? ? ? )
2 tan ? tan ? ? tan ? ? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ?

注意:
2? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? ( k ? Z )

讲解范例:
5 ? ? 例1. 已知sin 2? ? , ?? ? , 13 4 2 求 sin 4? , cos 4? , tan 4?的值.

讲解范例:
4 例2. 在△ABC中, cos A ? , tan B ? 2, 5 求 tan( 2 A ? 2 B )的值.

讲解范例:

1 例3. 已知tan 2? ? , 求 tan ?的值. 3

讲解范例:
1 1 例4. 已知 tan ? ? , tan ? ? , 7 3 求 tan( ? ? 2? )的值.

讲解范例:
1 1 例4. 已知 tan ? ? , tan ? ? , 7 3 求 tan( ? ? 2? )的值.

练习. 教材P.135练习第1、2、3、4、5题.

?

二倍角公式

一 、公式回顾: 1:两角和与两角差的正弦: sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? 2:两角和与两角差的余弦:
cos?? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos?? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

3:两角和与两角差的正切:

tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ?

二、二倍角的正弦、余弦、正切
注意 要灵活理解 1: sin2α=2sinαcosα “二倍角”的 含义。二倍角 2: cos2α=cos2α-sin2α 1 ? cos 2? 公式不仅限于 2 =2cos2α-1 ? cos ? ? 2 2?是?的二倍 2α 1 ? cos 2 ? 形式,其它如 =1-2sin ? sin 2 ? ? 4?是2?的二 ? 2 2 tan ? 倍, ? 3 : tan 2? ? 2 3? 1 ? tan ? 是 2 的二倍, 2 3?是 的二 倍等

练一练:
(1)sin4α=2sin( 2α)cos( 2α );

1 1 (2)sinα=2sin( ? )cos( ?); 2 2
(3)cos 6α=cos2( 3α )-sin2( 3α) =2cos2( 3α )-1 =1-2sin2( 3α ); (4)cos25α-sin25α=cos( 10α );

2 tan 2? 4? ); (    5 )  ? tan(   2 1 ? tan 2?

3? 3? (6) sin(   ? 2 sin cos . 3α ) 2 2

例1、求值:

1、

2 ? cos 8

2? -sin 8

练一练:

2、
2

2 tan 22.5o 1 ? tan 2 22.5o

?1?sin15 o ? sin 75 o o o ?2?sin 75 ? cos 75
sin 110 o ? sin 20 o ?3? 2 o cos 155 ? sin 2 155 o ? ? ?4? tan ? cot 8 8

3、sin15?cos15?

4、1-2sin2

25? 6

例2、求cos20?cos40?cos80?值。
2sin 20 ? cos 20 ? cos 40 ?cos80 ? 解:原式 ? 2sin 20 ? 2sin 40 cos 40 ? cos80 ? ? 2 ? 2sin 20 ? 2sin 80 ? cos80 ? sin160 ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2sin 20 ? 8sin 20 ? 8

发散1、求sin10?sin30?sin50?sin70?的值。
发散2、求sin10?cos20sin30?cos40????sin90?的值。

例3、化简下列各式:

1、4 sin ? cos ? cos ? cos? 42 4 2
2、
4 cos ? cot

?

?

?

?

2

? tan

?
2

3: 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? , ? ? (0, ? ) 练习1:
1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? , ? ? (0, ) 4
1 1 1 1 ? ? ? cos , ? ? (0, 2? ) 2 2 2 2 2

?

2、

小结
?

1、灵活理解“二倍角”的含义。二倍角公式不 仅限于2?是?的二倍形式,其它如4?是2?的二倍, ? 是的 ?二倍,3 ?是 的二倍等。所有这些都可以 3? 2 4 2 应用二倍角公式 ? 2、牢固掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 注意公式的正用、逆用、变用。 ? 3、能熟练运用倍角公式进行三角函数的求值、 化简、证明。

作业

书第134页一3;第135页二2; 复习题八一6;第136页三5; 补充:化简: 3? ? ? ?1? : 2?1 ? cos 2? ?, ? ? ? ? ? ? 2 ? ?

?2?cos 20 o ? cos 40 o ? cos 60 o ? cos80 o ? ? ? ? ?3?8 sin ? cos ? cos ? cos ? cos?
8 8 4 2
1 1 1 1 ? (4)、 ? ? cos , ? ? (0, 2? ) 2 2 2 2 2

1 ? sin ? ? cos? 1 ? cos? ? sin ? ?5? ? 1 ? sin ? ? cos? 1 ? cos? ? sin ?

能力训练题

例4.已知一元二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0且a ? c) 的根是 tan ? , tan ? , 求 tan(? ? ? )的值.
b ? tan ? ? tan ? ? ? tan ? ? tan ? ? a 代入即可 分析 : tan( ? ? ? ) ? 而? . c 1 ? tan ? tan ? ?tan ? tan ? ? a ?

例5.△ABC中, 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

证明: ∵tanA、tanB、tanC 都有意义, ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角,

tan A ? tan B , ∵ tan(A+B)= 1 ? tan A tan B

∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

基础练习
tan17?+tan28?+tan17?tan28? 1.求值: 解: ∵

tan17? ? tan 28? tan( ? ? 28? ) ? 17 1 ? tan17? tan 28?

∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17? tan28?) =1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1

基础练习
2、化简: (1)tan(α+β)(1 - tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1 - tan(α-β)tanβ 答案:

(1)tanα+ tanβ

(2)tanα
3、求值: (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
o o

1+ tan71o tan26o
(2) -1

1 - 3tan75 o (2) o 3 + tan75

提高练习:
1、已知tanα、tanβ是方程3x2+5x-1=0的两根,

则tan(α+β)=

5 ? 4。

1 ? tan 75 0 2、化简 0=( 1 ? tan 75
3、已知tan(α+β)=


1,tanα=-2,则 tanβ= 3
? ), 2

3 ? ) 3

。 7

4、tan100tan200+ tan100tan600+tan200tan600= 5、已知tanα=3,tanβ=2,α、β∈(0, 求证:α+β=

1。

3? 4


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