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2009年新知杯上海市高中数学竞赛


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中 等 数 学

2009年新知杯上海市高中数学竞赛
中图分类号 : G 424 . 79 文献标识码 : A 文章编号: 1005 - 6416( 2010) 07 - 0028- 03

=说明 >解答本试卷不得使用计算器. 一、 填空 题 ( 第 1~ 4 小题每小题 7 分, 5~ 8 小

题每小题 8 分, 共 60 分 ) 1 . 设 a 1, a2, ,, a 10 ( 1 , + ] ). 则 loga1 2 009+ lo ga 2 2 009+ , + loga10 2 009 loga1 a2 , a10 2 009 的最小值是 2 . 已知 x、 y . N+ , 且
2 x-1

[0 , 1 ], 满足 f ( 0 ) = 0 , f ( 1) = 1 , 且对任意 x、 y [0 , 1 ] ( x [ y ), 都有 x+ y 2 2 = ( 1- a ) f (x ) + a f ( y ), 2 其中, 常数 a 满足 0< a < 1. 求 a 的值 . f 10 . ( 14 分 )如图 1 , A 是双曲 线 x 2 - y = 1 4
2

1+ 2+ , + y = 1+ 9+ 9 + , 9 . 则将 y 表 示成 x 的函 数, 其 解 析式 是 y= . 3 . 已知函数 f ( x ) = | x - 2 |. 若 f ( a ) = f ( b ), 且 0 < a < b, 则 ab 的 取 值 范 围 是 . 4 . 满足方程 log2 2cos (xy ) +
2 2

的右顶点 , 过 A 的两条 互相 垂 直的 直 线分 别 与双 曲 线的 右 支交 于
图 1

点 M、 N. 问 : 直 线 MN 是否一定过 x 轴上一定点? 如果不存在这样 的定点 , 请说明理 由; 如 果存在这 样的定点 P, 试求出这个定点 P 的坐标 . 11 . ( 16 分 ) 设 A、 B 是 集合 { a1, a2, a3, a4, a5 } 的两个不同子集, 使得 A 不是 B 的子 集 , B 也不是 A 的子集. 求不同的有序集合对 (A, B ) 的组数. 12 . ( 16 分 ) 设 正整数 构成的 数列 { an } 使得 a10k - 9 + a 10k - 8 + , + a10k [ 19 对一切 k
j

1 2 = - y + y+ 3 2 2cos (xy ) 4 .

的所有实数对 (x, y ) =

5 . 若 [ a ] 表示不 超过 实数 a 的最 大整 2 . 数 , 则方程 [ tan x ] = 2sin x 的解是 6 . 不等式 2 [ 3 @ 2
2x x+ x

+ 4 @ 2 的解集
2 x



.

7 . 设 A 是由不超过 2 009的所有正整数 构成的集合 , 即 A = { 1 , 2 , ,, 2 009 }, 集合 L A A, 且 L 中任意两个不同元素之差都不等 于 4. 则 集合 L 元素 个 数的 最大 可 能值 是 . 8 . 平面内给出一个凸十边形及其所有对 角线, 在这样的图中至少有两个顶点是该凸 十边形顶点的三角形有 答 ). 二、 解答题 ( 共 60 分 ) 9 . ( 14 分 ) 设 函数 f ( x ) 定义 于闭 区间 个 (用数字作

N + 恒成立. 记该数列若干连续项 ap 为 S ( i, j) , 其中, i、 j N+ , 且

的和
p = i+ 1

i< j. 求证 : 所有 S ( i , j) 构成的集合等于 N + .

参考答案
一、 11100 .
10 10

原式 =
i= 1 10

lg 2 009 lg ai
10 i= 1

lg

i= 1

ai

lg 2 009

=
i= 1

1 lg ai

lg ai

2010 年第 7 期

29

\ 10 ,
2

当且仅当 a1 = a2 = , = a 10时, 上式等号成立. 故原式的最小值是 100 . x 3 - 1 21 . 2 由已知等式得 x y ( y + 1) 9 - 1 = . 2 9- 1 故 y ( y + 1) = ] y = 3 - 1. 2 31 ( 0 , 2). 如图 2 , 由 y= f (x ) 的 图 像 可 知, 使 得 f ( a ) = f ( b ), 且 0< a < b 的只 能 是 0< a < 2 < b< 2 , 2 2 f ( a ) = 2- a , f ( b) = b - 2 .
2 2 2 2 x

] cos x = 0] x = k + 51x = k 或 l + 4 ( k、 l

2

(k Z ).

Z ).

若 [ tan x ] = 0 ,则 sin x = 0 ] x = k ( k 若 [ tan x ] = 1 ,则

Z );

3+ 1 3- 1 # 2 2

x

x

2] x= l + ( l 2 4 若 [ tan x ] = 2 ,则 sin x = ? sin x = ? 1 , 原方程无解 . 综上, 原方程的解为 x= k 或 l + 61 [ 0 , 4] . 4@2
2 x

Z );

4

( k、 l \2
2x

Z).

+ 3@2

x+ x

图 2

Z 4+ 3 @ 2x - x \ 22x - 2 x Z ( 2x - x ) 2 - 3 @ 2x - x - 4[ 0 Z - 1 [ 2x - x [ 4Z x - x [ 2 Z ( x ) 2 - x - 2[ 0 Z - 1[ x [ 2Z 0 [ x [ 4. 71 1 005 . 将集合 A 划分成如下 1 005 个子集: A 4k + i = { 8k + i, 8k + i + 4 } ( i= 1 , 2 , 3 , 4; k= 0 , 1 , ,, 250), A 1 005 = { 2 009}. 若 L 的 元素个数大于 1 005 , 则上述前 1 004 个子集中至少有一个是 L 的子集 , 即 L 中存在两个元素之差等于 4. 另外, 在前边 1 005 个子 集中各取一个 元素构成的集合 L 满足条件. 因此, 集合 L 元素个数的最大可能值为 1 005. 81 960 . 三个顶点都是凸十边形顶点的三角形有 C10个. 仅有两 个顶点 是凸十边 形顶点 的三角 形 , 另一个顶点必是两条对角线的交点. 两条
3



故 2- a = b - 2 ,即a +b = 4 . 因此, a、 b 可表示成 . 4 于是, ab = 4cos H # sin H = 2sin 2H . 由于 0< 2H < (0 , 2 ). 1 41 k + , ( k Z ). 2 2 2 由 2cos ( xy ) > 0 ,得 左边 \ log2 2= 1 . 而右边 = - y 1 2
2

b = 2cos H , a = 2sin H 0< H<

2

, 故 ab 的取值范围为

+ 1[ 1 .

因此, 只能左边 = 右边 = 1 . 1 2 1 故 y = , 2cos ( xy ) = = 1 2 2 2cos ( xy ) ] cos2 x = 1+ cos x = 1 2 2 2

30

中 等 数 学

对角线确定凸十边形的四个顶点, 而四个顶 点及对应的两条对角线的交点可得四个仅有 两个顶点是凸十边形顶点的三角形. 因此 , 仅 有两个顶点是 该凸十边形顶 点的三 角形有 4C10个. 综上, 所求三角形的个数为 C10 + 4C10 = 960 . 二、 91 易知 f 1 =f 2
2 3 4 4

代入式 ? 得 M 进而, N

4 4 , . 3 3

4 4 , . 3 3 4 , 0. 3

所以, MN 与 x 轴的交点 P 若 MN 不垂直 x 轴, 设 l y = kx c+ t( tX 0 ). MN B 则
2 2

0+ 1 2 1 0+ 2 2
2

y - kx c = 1 . t y - kx c = 0 , t

于是, 式 ? 可改写成 4y - x c - 4x c #
2 2 2

= ( 1- a )f ( 0) + a f ( 1 ) = a , 1 =f 4
2

f

即 1 4 =a, 2

4t

y y - 4 + 4k - t= 0 . xc xc y 为未知数的一元二次方程的两 xc AN, 所以 ,

= ( 1- a )f ( 0) + a f 1 + 1 2 2

上面以

个根 k1、 k2 即是 AM 、 AN 的斜率. 因为 AM k 1 k2 = 4k - t = - 1 . 4t 4 k. 3 4 k, 它也过点 P 3 4 , 0. 3

f

3 =f 4
2

= ( 1- a )f

1 2 2 4 + a f ( 1 ) = 2a - a . 2 1 3 + 4 4 2 1 2 + af 4
4 6 4

解得 t = -

故f

1 =f 2
2

故 l M N : y = kx 3 4

综上, 在新坐标系中, 直线 MN 过 x 轴上 一定点 P 4 , 0 , 即在原坐标系中 , 直线 MN 3 10 , 0. 3
5 5 5

= ( 1- a )f = - 2a + 3a .
6

由此得 a = - 2a + 3a . 而 0< a < 1 ,故 a =
2

2

过 x 轴上的定点 P

1, 得 2 a= . 2 2

111 集合 { a1, a2, a3, a 4, a 5 } 有 2 个子 集 , 不同的有序集合对 ( A, B ) 有 2 ( 2 - 1 ) 组. 若 A < B, 并设 B 含有 k ( 1 [ k [ 5 ) 个元 素 . 则满足 A < B 的 有序集合对 (A, B ) 的组 数为
5 k=1 5

101 显然, 右顶点 A ( 2 , 0 ). 将 y 轴向右平移 2 个单位, 使 A 成为新 直角坐标系的原点. 在新坐标系下, 双曲线的 方程为 ( x c+ 2 ) 2 -y = 1 , 4
2

C ( 2 - 1) =
5 5

k 5

k



4y - x c - 4x c= 0 .
2 2

?

k= 0 k

C5 ( 2 - 1 )
5 5

k

k

若 MN

x 轴, 则 AM 的斜率为 1, 即

=

k=0

C 2 -

k 5

k

k= 0

C5 = 3 - 2 . (下转第 38 页 )

lAM By = x c .

38

中 等 数 学

] b = a( a - b ) . ? A? 得
2

?



b a = . b b3 3 PA + PB PA 因此, = . PA - PB PB 3 三、 函数整理为 a -1 ( a - 1) y = ( a + 2) x + 1. a+ 2 a+ 2 则其对称轴为
2 2 2 2

a = 2 b a + a -

2

( a + b) b , (a - b)a
3

a - 1 达到最小值. 故函数的最小值只可能在 a+ 2 x 取 a- 2 、 a - 1 之一达到 . 当 x = a - 2 时, y1 = (a + 2) (a - 2) - 2(a - 1) (a - 2) + 1 ; 当 x = a - 1 时, y2 = (a + 2) (a - 1) - 2(a - 1) (a - 1) + 1 . 考虑 y 1 - y 2 = 4- a. ( 1) 当 4- a > 0, 即 a = 2 或 3 时, x 取 a - 1, 使 y 2 为最小值; ( 2) 当 4 - a = 0 , 即 a = 4 时 , 有 y 1 = y 2, 此时, x 取 2 或 3 ; ( 3) 当 4- a < 0 , 即 a > 4 且为 整数时, x 取 a- 2 , 使 y 1 为最小值 . 1 , 综上, x = a- 1 , 2或 3 , a= 1 ; a= 2或 3 ; a= 4 ; a > 4 且 a 为整数
2 2 2 2

2

a - 1 3 x= = ( a - 2) + . a+ 2 a+ 2 因为 a 为正整数 , 所以, 3 0< [ 1 a+ 2 2 ] a - 2< a - 1 [ a - 1 . a+ 2 因此, 当 a = 1 时, 函数的最小值在 x = 1 2 a - 1 取到. 当 a > 1 时 , a - 2< < a- 1 , 由于 a+ 2 x 是正整数 , 而 a - 1为 小数 , 故不 能在 x = a+ 2 ( 上接第 30页 ) 同理, 满足 B < A 的有序集合对 (A, B ) 也有 3 - 2 组 . 所以, 满足条件的有序集合对 ( A, B ) 的 组数为 2 ( 2 - 1 ) - 2 ( 3 - 2 ) = 570 . 121 显然, S ( i , j) S ( i, j) = n0. 用 S n 表 示数列 { an } 的前 n 项和 , 考虑 10n0 + 10个前 n 项和 S 1 < S 2 < , < S 10n 0 + 10. 由题设知
n0 10 5 5 5 5 5 5 2

2

a- 2 , 时 , 函数值最小 . (孙 黄全福 彦

安徽省安庆市教研室 , 246004

安徽省怀宁县江镇中学, 246142)

[ 19 ( n0 + 1 ). 另外, 再考虑如下 10n 0 + 10 个正整数 : S 1 + n0 < S 2 + n0 < , < S 10n 0 + 10 + n0. 显然, S10n0 + 10 + n0 [ 20n0 + 19 . 这样, 不等式 ? 、 ? 中出现 20n0 + 20 个 正整数 , 都不超过 20n 0 + 19 . N + , 存在 由抽屉原理知, 其中必有两个相等. 由于不等式 ? 中各数两两不等 , 不等式 ? 中各数也两两不等 , 故存在 i 、j 得 Sj = S i + n0, 即 j > i, 且 ? n0 = S j - S i = S ( i, j). 故所有 S ( i , j) 构成的集合等于 N + . ( 李大元 a10i + j 刘鸿坤 命题 ) 熊 斌 顾鸿达 叶声扬 N+ , 使 ?

N+ .

接下来证明 : 对于任意的 n 0

S 10n0 + 10 =

i= 1 j= 1


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