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2009年全国高中数学联合竞赛一试试题


2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题

考试时间:10 月 11 日上午 8:00-9:20

一、 填空题:本大题共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分。把答案填在横线上。 1、 若 函 数 f ? x ? ?
f ?1 ? ? 1 2
?2?

x 1? x
2

/>,且 f

?n?

?x?
, f

? f ? f ?? f ? ?
?3?

? x ?? ? ,则 f ??

?99 ?

?1 ?

? _______ .
1 10

, f

?1 ? ?

f ? f ?1 ? ? ? ? ?

1 3

?1 ? ?
2

f ? f ? f ?1 ? ? ? ? ?? ? ?

1 4

,? f

?99 ?

?1 ? ?

已 知 直 线 L: x+y-9=0和 圆 M : 2x +2y -8x-8y-1=0, 点 A 在 直 线 L上 ,

2

2、

B、 C 为 圆 M 上 两 点 , 在 ?ABC 中 , ? BAC =45 , AB过 圆 心 M ,
0

则 点 A横 坐 标 范 围 为 _ _ _ _ 。

数 形 结 合 可 知 AM ?

2r ?

? x ? 2?

2

+ ? y ? 2? ? 2?
2

17 2

? 3? x? 6

3、

?y ? 0 ? 在 坐 标 平 面 上 有 两 个 区 域 M和 N, M为 : y ? x , N 是 随 t变 化 的 区 域 , 它 由 ? ?y ? 2? x ? 不 等 式 t ? x ? t ? 1所 确 定 , t的 取 值 范 围 是 0 ? t ? 1, 设 M 和 N 的 公 共 面 积 是 函 数 f

? t ?, 则 f ? t ?= _ _ _ _ _ _ 。
? 1? 1 2
1 n ?1 ?

f

?t ?

t

2

?

1 2

?1 ? t ?
1

2

?

1 2
1

? t

2

? t .0 ? t ? 1

4、 使 不 等 式

n ? 2

?? ?

2n ? 1

? a ? 2007

1 3

对 一 切 正 整 数 n都 成 立 的

最 小 正 整 数 a的 值 是 _ _ _ _ 。
1 k ?1 1 k ?1 1 n ?1 1 k ? 2 1 2k ? 2 1 n ? 2 1 2k ? 1 1 2k ? 3 ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? k ? 3 2k ? 3 ? ? k ? 2 1 2k ? 2 ?? ? 1 2 1 2k ? 3 ? 1 3 ? 0 1 3 ? a ? 2009.

? ? ?

? ?

?? ? ?

?

?? ?

? a ? 2007

5、 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 上 任 意 两 点 P, Q, 若 OP ? OQ ,则 乘 积 OP ? OQ

的最小值为_______。
分析: 设P

? a c o s ? , b s in ? ?
a
2 2

? Q
2

? ? a s in ? , b c o s ? ?
a
2

? OP ? OQ ? ? ? ?

cos ? ? b
2 2 2

2

s in ? ?
2

s in ? ? b
2 4

2

cos ?
2

?a
2

4

? b
2

4

? s in
4

? cos ? ? a b
4

? s in

4

? ? cos ?
2 2

?
2

a b a b
2

? ?

?a
1 4

? b
2

? s in
2

2

? c o s ? ? 2 a b s in ? c o s ?
2 2 2

2

?a

?b

?

2

s in

2? ? a b

6、 若 方 程 lgkx=2lg ? x ? 1 ? 仅 有 一 个 实 根 , 那 么 k 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ 。
? kx ? 0 ? 分 析 : x ? ?1 ? ? 2 ?x ? ?2 ? k
2

数形结合法由二次方程根的分布可知

?x

?1 ? 0

?1 ? ?

??= k ? 4k ? 0 ? ? = k 2 ? 4 k ? 0 ? k ? 0, 或 k ? 4 ? ? ? k ? 4, ? 2 ? ? k ? 2 ? ?1 ?? f ? 0 ? ? 1 ? 0 ,? f ? ? 1 ? ? k ? 0 ?x ? ? ? 2

综合知k ?

? ? ? , 0 ? ? ? 4? .

7、一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和,最后一行仅有一个数,第一 行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是____。 1

分析: 1

2              ?         100 3  4  5  6  7  ? 99  

              11          197    199 3  5  7  9    ?               12  16              2      6 8      20 ? 39 39                     8 20 28 36 ? 78 ?1 n ? 1 a an? 第 n行 的 第 一 个 数 的 是 a n ? ? ? n n 2 ? n ?1 ? 1 ? n ? 2 ? ? 3 n?2 2 2 ? 2 a n ?1 ? 2 ? an 2
n?2

? 3 ? ?n ? 2??1 ?

? n ? 1? ?

an ? 2

n?2

? n ? 1?

?n

? 2 ? ? a1 0 0 ? 1 0 1 ? 2 .
98

8、某车站每天 8 : 00 ? 9 : 00, 9 : 00 ? 10 : 00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独 立的,其规律为 到站的时刻 8:10 9:10 概率
1 6

8:30 9:30
1 2

8:50 9:50
1 3

一旅客 8:20 到站,则它候车时间的数学期望为_______。 (精确到分) 分析: 1 0 ?
1 2 ? 30 ? 1 3 ? 50 ? 1 36 ? 70 ? 1 12 ? 90 ? 1 18 ? 27.

二、 解答题:本大题共 3 小题,共 44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1、 (本小题满分 14 分)
设 直 线 l : y ? kx ? m 其 中 k , m为 整 数 ) 与 椭 圆 ( 与双曲线 x
2

x

2

?

y

2

? 1交 于 不 同 的 两 点 A 、 B ,

16 ? y
2

12

? 1交 于 不 同 的 两 点 C 、 D , 问 是 否 存 在 直 线 l, 使 得 向 量 4 12 ???? ??? ? ? A C ? B D ? 0, 若 存 在 , 指 出 这 样 的 直 线 有 多 少 条 ? 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 。

???? ??? ? ? 分 析 : C ? B D ? 0的 充 要 条 件 是 A B 与 C D 的 中 点 重 合 。 A ? ? ? x0 , y0 ?, 则 ? ? ? ? x1
2

?
2

y1

2

?1
2

设A

? x1 ,

y1 ? , B

? x2 ,

y2

? , AB的 中 点 为 ?

16 x2 ?

12 y2 ?1

?

x0 4

?

ky0 3

? 0

16

12

同 理 由 双 曲 线 的 点 差 法 知 x0 ?

ky0 3

? 0 ,? x 0 ? 0 , k ? 0 , 或 y 0 ? 0 ,

?1 ? 当 k

? 0时 , ? m ? 0 , ? 1, ? 2 , ? 3, ? 0时 , 由 直 线 l 与 双 曲 线 交 于 不 同 的 两 点 ? ? 3 ? k ? 3 ? k ? ?1

? 2 ?当 y0

综 合 知 适 合 题 意 的 直 线 有 9条 。

2、 (本大题满分 15 分)
已 知 p , q ? q ? 0 ? 是 实 数 , 方 程 x - p x + q = 0 有 两 个 实 根 ? , ? , 数 列 ? a n ? 满 足 a1 ? p , a 2 ? p ? q ,
2 2

a n ? p a n ? 1 ? q a n ? 2 ? n ? 3, 4, ? ? , ? 1 ? 求 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 ? 用 ? , ? 表 示 ? ,

?2?若p

? 1, q ?

1 4

, 求 ? a n ? 的 前 n项 和 。

2

分 析 :1 ? a 1 ? p ? ? ? ? , a 2 ? p ? q ? ? ? ? ? ?
2

?
2

2

? ?? ? ?

2

? ?? ? ?

2

设 ? a n ? x a n ?1 ? ?

? p ? x ? ? a n ?1 ?

xan?2

??

x -px+q=0 ? x=? 或 ?
2

? a n ? ? a n ?1 ? ? a n ? ? a n ?1 ? ? ? ?? ? ?

? a n ?1 ? ? a n ? 2 ? , a 2

? ? a1 ? ?
2

? 0 ? a n ? ? a n ?1 ? ?
2

2

??
n?2

n?2

? ?
n

n

? a n ?1 ? ? a n ? 2 ? , a 2
n ?1

? ? a1 ? ?

? 0 ? a n ? ? a n ?1 ? ?

??

??

? an

??

? ?

n ?1

, 1 当 ? ? ? 时 ? an ?
n

?

n ?1

? ?

n ?1

? ??
n ?1

, ? 2? an ? 2 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? 1

2 当 ? ? ? 时 , ? a n ? ? a n ?1 ? ?

? 0, ?

an

?

n

?

a n ?1

?

? 1,

a1

?

?

n

? an ?

? n ? 1 ? ? n ,? a n
1 4 1 2 1 2 1 2
2

?? n ? 1? ? n ? ? ? ? ? ? ? n ?1 ? ? n ?1 , ? ? ? ? ? ?? ?

? 2 ?当 p
Sn ? 2 ? ? 1 2

? 1, q ? ? 3?

时 , ? an ? ? 4? 1 2
3

? n ? 1? ?

?1 ? ? , ?2? 1 2
n

n

1 2
2

1 2
3

? ? ? ? n ? 1? 1 2
4

1 1 2
n ?1

Sn ? 2 ?

? 3?

? 4? ? 1 2
3

? ? ? ? n ? 1? 1 2
4

2 1 2
n ?1

1 ? 2 ? ? 3 2 ? 1 2
n

Sn ? 1 ? ?

1 2
2

? 1

?? ? n ?1 2
n

1 2
n

? ? n ? 1?

?

n ?1 2
n ?1

Sn ? 3 ?

2

n ?1

?

.

3、 (本大题满分 15 分) 求 函 数 y =
分 析 : y= 1 2 当 1 3 39 ? 3 x : 2x ? 1: 1 3 ?设u ? x? 13 ? x + : 1 2 x ? 27 + 13 ? x + x ? 1?

x ? 27 +
1 3 ?

13 ? x +
1 2 ? 2x

x的 最 大 和 最 小 值 。

x ? 27 +

39 ? 3 x +

?

1?

?

?

x ? 2 7 ? 3 9 ? 3 x ? 2 x ? 1 1,由 柯 西 不 等 式 得 ? x ? 9时 , y 取 得 最 大 值 1 1 。

x ? 27 :

? 13 ? 2 2 2 x ? 0, u ? 1 3 ? 2 ? x ? 1 3 x , 当 x ? 0, 时 , u ?, ? 2 ? ? ? ? 13 ? 0, , y ?, y ? 3 3 ? ? 2 ? ? ? x ? 27 + 13 ? x + 13 ,

?13 ? 2 ,1 3 , u ? ? x ? ? 2 ? ? ?

当x?

?13 ? ,1 3 时 , 易 知 y = ? 2 ? ? ?

x ?3 3?

13 13

综 合 知 x ? ? 0,1 3 ? , y ? 3 3 ?

1 3, 即 当 x = 0 时 , y 取 最 小 值 , 且 最 小 值 为 3 3 ?

2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.方程 lo g ? x ? sin x ? 2 在区间 ( 0 ,
2

?
2

] 上的实根个数为_________________.

1 2.设数列 ? 8 ? ( ? ) n ? 1 ? 的前 n 项和为 S n ,则满足不等式 | S n ? 6 |? 1 的最小整数 n 是_____. ? ? ? 3 ?
125
? ?

3.已知 n ( n ? N , n ? 2 )是常数,且 x 1 , x 2 , ? , x n 是区间 ? 0, ? ? 内任意实数,则函数
2? ?

f ( x1 , x 2 , ? , x n ) ? sin x1 cos x 2 ? sin x 2 cos x 3 ? ? ? sin x n cos x1 的最大值等于_________.
4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在圆内一共有_________________ 个交点. 3

5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在 n 次爬行后恰好回到起始点的 概率为 .
???? ??? ?

??? ? ??? ? AC AB 6.设 O 是平面上一个定点, A , B , C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 O P ? ? ???? ? O A ? ? ??? ,其中 ? | AC | | AB |

? ? [ 0 , ? ? ) ,则点 P 的轨迹为_________________.
7. 对 给 定 的 整 数 m , 符 号 ? ( m ) 表 示

?1

, 2 ?, 3 使 m ? ? ( m ) 能 被 3 整 除 的 唯 一 值 , 那 么 中

? (2

2010

? 1) ? ? (2

2010

? 2) ? ? (2

2010

? 3) ? _________ _____.

8.分别以直角三角形的两条直角边 a , b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体的体积依次为 V a , V b , V c , 则 V a ? V b 与 ( 2V c ) 的大小关系是_________________.
2 2 2

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(满分 16 分)是否存在实数 a ,使直线 y ? a x ? 1 和双曲线 3 x ? y
2 2

? 1 相交于两点 A 、 B ,且以 A B 为直径的圆

恰好过坐标系的原点? 2.(满分 20 分)求证:不存在这样的函数 f : Z ? ?1, 2 , 3? ,满足对任意的整数 x , y ,若 | x ? y |? ? 2 , 3, 5 ,则 ?

f ( x) ? f ( y) .
3.(本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证: 9 a b c ? a b ? b c ? ca ?
1 4 (1 ? 9 a b c )

2010 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 一、填空题 1.设 f ( x ) ? lo g ? x ? sin x ? 2 , 则
2

f ?( x ? )

1 x ln

?
2

? cs o

x

, 0? x? ∵

?
2

o , 0 ?cs ∴

1? x

, 0 ?n 又 l

?
2

1?

) 0 , f ?( x ? ∴



即在区间 ( 0 ,

?
2

] 上单调递增,故方程 lo g ? x ? sin x ? 2 在区间 ( 0 , ? ] 上有且只有一个实根.
2

2
1 3 1 3

2. 易 知 数 列 ? 8 ? ( ? ) n ? 1 ? 是 首 项 是 8 , 公 比 是 ? ? ?
1 ? 3 ?

1 3

的等比数列,∴

8[1 ? ( ? Sn ? 1 ? (?

) ] ? 6 ? 6(? )

n

1 3

)

n

,于是

| S n ? 6 ?|

1 125

?
3

2
n ?1

?

1 125

? 3

n ?1

? 2 5 0 ,∵ 3 ? 2 4 3 ? 2 5 0
5

, 3 ? 7 2 9 ? 2 5 0 ,故最小整数 n 是 7.
6

2 2 3.∵ a b ? a ? b ,∴ f ( x1 , x 2 , ? , x n ) ? sin x1 cos x 2 ? sin x 2 cos x 3 ? ? ? sin x n cos x1

2

?

sin x1 ? co s x 2
2 2

?

sin x 2 ? co s x 3
2 2

?? ?
2

sin x n ? co s x1
2 2

2
2 2 2

2

2
2 2

?

(sin x1 ? co s x1 ) ? (sin x 2 ? co s x 2 ) ? ? ? (sin x n ? co s x n ) 2
10 ? 9 ? 8 ? 7 1? 2 ? 3 ? 4

?

n 2

,故函数的最大值等于

n 2

.

4. 圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等, 故有 C 140 ?
? 2 1 0 个交点.

n n 5. 2 ? 2 ( ? 1)

3?2

n

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC AB AC AC AB 6. ∵ O P ? ? ???? ? O A ? ? ??? ,∴ O P ? O A ? ? ? ( ??? ? ???? ) ,即 A P ? ? ( ??? ? ???? ) , ? ? ?
| AC | | AB |

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

| AB |

| AC |

| AB |

| AC |

4

AB AC 又 ??? , ???? 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则,知点 P 的轨迹为 ? B A C 的平分线. ? | AB |

??? ?

????

| AC |
2010

7.由二项式定理知, 2 ∴? (2
2010

?4

1005

? (3 ? 1)

1005

? 3 p ? 1 ,即 2

2010

被 3 除余 1,

2010 2010 2010 ? 1) ? 3 , ? ( 2 2 0 1 0 ? 2 ) ? 1 ? (2 2 0 1 0 ? 3) ? 2 ,故 ? (2 ? 1) ? ? (2 ? 2) ? ? (2 ? 3) ? 6 . ,

8. ∵ V a 2 ? V b 2 ? (
( 2V c ) ? ( 2 ?
2

?
3

b a) ? (
2 2

?
3
4? 9

a b) ?
2 2
2

?

2

a b (a ? b ) ?
2 2 2 2

?

2 2 2 2 a b c ,

9
( ab c ) c ?
4 2

9
4? 9
2

?
3
2

2 2 h ( a ? ? b ? )) ?

?

a b c
2
2

4

4



∴作商,有

V a ? Vb ( 2V c )
2

2

?

c

4 2 2

?

(a ? b )
2 2

2

4a b

4a b

2

2

?

(2ab) 4a b
2

2

? 1 ,故 V a ? V b ? (2V c ) .
2 2 2

二、解答题 1.解:设交点 A 、 B 的坐标为 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? y ? a x ? 1 由韦达定理,得 x1 ? x 2 ?
2a 3?a
2

? 2 2 ?3 x ? y ? 1

消去 y ,得 (3 ? a 2 ) x 2 ? 2 a x ? 2 ? 0 ,





x1 x 2 ?

?2 3?a
2





∵以 A B 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ O A ? O B ,∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 , 即 x1 x 2 ? ( ax1 ? 1)( ax 2 ? 1) ? 0 ,整理,得 ( a ? 1) x1 x 2 ? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0
2

??? ?

??? ?



将①②代入③,并化简得

1? a 3?a

2 2

? 0 ,∴ a ? ? 1 ,经检验, a ? ? 1 确实满足题目条件

2.证明:假设存在这样的函数 f ,则对任意的整数 n ,设 f ( n ) ? a , f ( n ? 5) ? b ,其中 a , b ? ?1, 2, 3? ,由条件知

a ? b.
由于 | ( n ? 5) ? ( n ? 2) |? 3 ,| n ? ( n ? 2) |? 2 ,∴ f (n ? 2) ? a 且 f ( n ? 2 ) ? b ,即 f ( n ? 2) 是 ?1, 2, 3? 除 去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f ( n ? 2 ) ? c 又由于 | ( n ? 5) ? ( n ? 3) | ? 2 , | n ? ( n ? 3) |? 3 ,∴ f ( n ? 3) ? f ( n ? 2) . 以 n ? 1 代替 n ,得 f ( n ? 4) ? f ( n ? 3) ? f ( n ? 2) ,但这与 | ( n ? 4) ? ( n ? 2) |? 2 矛盾! 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 3.证明:先证左边的不等式. ∵a ? b ? c ? 1,
2 2 2 2 2 2

∴ ab ? bc ? ca ? ( ab ? bc ? ca )( a ? b ? c ) ? a b ? ab ? b c ? bc ? a c ? ac ? 3 abc

? 6 abc ? 3 abc ? 9 abc
再证右边的不等式. 不妨设 a ? b ? c ,注意到条件 a ? b ? c ? 1 ,得
3

1 ? 4( ab ? bc ? ca ) ? 9 abc ? ( a ? b ? c ) ? 4( a ? b ? c )( ab ? bc ? ca ) ? 9 abc

? a ( a ? b )( a ? c ) ? b ( b ? a )( b ? c ) ? c ( c ? a )( c ? b )
? ( a ? b )[ a ( a ? c ) ? b ( b ? c )] ? c ( c ? a )( c ? b ) ? 0 , 所以 a b ? b c ? c a ? 1 (1 ? 9 a b c ) ,
4

综上, 9 a b c ? a b ? b c ? ca ?

1 4

(1 ? 9 a b c ) .

5


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