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2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷


2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题, 每题均给出 A、 B、 C、 D 四个结论, 其中有且仅有一个是正确的. 请 将正确答案的代表字母填在题的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的字母 超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 2 1. 已知数列{an}的通项

公式 an= 2 , 则{an}的最大项是 n -4n+5 A.a1 2. 函数 y=3 y B.a2 |log x| 3 的图象是 y y y C.a3 D.a4 ( ) ( )

O A.

x O B.

xO C.

x O D.

x

3.已知抛物线 y2=2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是 直角三角形,则这样的 P 点共有 A.0 个 B.2 个 C.4 个 ( )

D.6 个 )

4. 设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数, 若 x1+x2>0, x2+x3>0, x3+x1>0, 则 ( A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3)

5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线所成等角 的直线共有 A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数多条 ( ) ( )

1 3 10 6.在△ABC 中,tanA= ,cosB= .若的最长边为 1,则最短边的长为 2 10 4 5 A. 5 3 5 B. 5 C. 2 5 5 D. 5 5

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

本小题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.集合 A={x|x=3n,n∈N,0<n<10} ,B={y|y=5m,m∈N,0?n?6}则集合 A ∪B 的所有元素之和为__________________. 8.设 cos2θ= 2 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是__________________. 3

9.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为__________________.

? ?y?0, 10.已知?3x-y?0, 则 x2+y2 的最大值是__________________. ?x+3y-3?0, ?
1 11.等比数列{an}的首项为 a1=2020,公比 q=- ,设 f(n)表示这个数列的前 n 项的积, 2 则当 n=_________________时,f(n)有最大值. 12. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 AB1=4, AD1=3, 则对角线 AC1 的取值范围是___.

三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题,第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)
2a 13.设集合 A={x|log1(3-x)?-2} ,B={x| ?1} ,若 A∩B=?,求实数 a 的取值 x-a 2 范围.

x2 y2 14.椭圆 + =1 的有焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上 9 4 的点,其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1, 若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S 的值.

15.△ABC 中,AB<AC,AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证 明是直角. A

B

D

E

C

16.设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p.

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题, 每题均给出 A、 B、 C、 D 四个结论, 其中有且仅有一个是正确的. 请 将正确答案的代表字母填在题的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的字母 超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 2 1. 已知数列{an}的通项公式 an= 2 , 则{an}的最大项是 n -4n+5 A.a1 B.a2 C.a3 D.a4 ( )

1 解:an= ,当 n=2 时,an 取最大值,故选 B. (n-2)2+1 |log x| 2.函数 y=3 3 的图象是 y y y y ( )

O

x O

xO

x O

x

A.

B.

C.

D.

解:由于|log3x|?0,故 y?1,只有 A 满足此条件,故选 A. 3.已知抛物线 y2=2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是 直 ( 角 ) B.2 个 C.4 个 D.6 个 三 角 形 , 则 这 样 的 P 点 共 有

A.0 个

解:作垂直于 x 轴的焦点弦交抛物线于点 P1、P2,则△P1OF、△P2OF 是直角三角形.对 于抛物线上异于 O、P1、P2 的点 Q,显然∠QFO≠90?,∠QOF≠90?,从而若△QOF y2 为直角三角形,则只能是∠FQO=90?.设点 Q 坐标为( ,y)(y≠0,±p),则有 2p

y2 y2 p ( - )+y2=0, 2p 2p 2 y2 3p 由 y≠0 得, + =0,此方程无实解,从而这样的点 P 只能 2 个,选 B. 2p 2 4. 设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数, 若 x1+x2>0, x2+x3>0, x3+x1>0, 则 ( A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) )

解:则 x1>-x2,知 f(x1)<f(-x2)=-f(x2)?f(x1)+f(x2)<0; 同理,f(x2)+f(x3)<0,f(x3)+f(x1)<0; 所以,f(x1)+f(x2)+f(x3)<0.选 B. 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线所成等角 的 ( ) B.1 条 C.4 条 D.无数多条 直 线 共 有

A.0 条

解:首先,过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平 分线.故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系,则方程|x| =|y|=|z|共有 8 解,此 8 解共组成 4 条直线,故选 C. 1 3 10 6.在△ABC 中,tanA= ,cosB= .若的最长边为 1,则最短边的长为 2 10 4 5 A. 5 3 5 B. 5 C. 2 5 5 D. 5 5
A 2a C a D 3a B





解: 作辅助图如右: 取高 CD=a, 则 AD=2a, BD=3a, 1 最短边 AC= 5a;由 5a=1,得 a= ,故选 D. 5

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本小题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.集合 A={x|x=3n,n∈N,0<n<10} ,B={y|y=5m,m∈N,0?n?6}则集合 A ∪B 的所有元素之和为__________________. 解:A∩B={15};故所求和=(3+6+…+27)+(0+5+…+30)-15=225. 8.设 cos2θ= 2 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是__________________. 3

解:已知即 cos2θ-sin2θ=

2 2 ?cos4θ+sin4θ-2cos2θsin2θ= ; 3 9

① ②

又,cos2θ+sin2θ=1? cos4θ+sin4θ+2cos2θsin2θ=1. (①+②)÷2: 11 cos4θ+sin4θ= . 18

9.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为__________________. 解:(x-3x2)3=x3-3x2×3x2+3x×9x4-27x6.?x5 的系数=27. 10. 已知?3x-y?0,

?y?0,

?x+3y-3?0,

则 x2+y2 的最大值是__________________.

y

解:满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界.其中 点(3,0)与原点距离最大,故(x2+y2)max=9. 1 11.等比数列{an}的首项为 a1=2020,公比 q=- ,设 f(n)表示这 2 个数列的前 n 项的积,则当 n=_________________时,f(n) 有最大值. 解:由于 f(4k)>0,f(4k+1)>0,(k∈N*). f(4k)=a1 q2k(4k
4k
-1)

1 O

x
1 2 3

;f(4k+1)=a 1

4k+1 2k(4k+1)

q



f(4k+1) f(12) 3 30 故 =a1q4k.于是 f(12)>f(13),且当 k?3 时,f(4k+1)<f(4k);又 =a1q ,有 f(4k) f(9) f(9)<f(12); f(4k+4) 4 2(8k+3) =a1q , 故 f(8)<f(12),且 k?3 时,f(4k+4)<f(4k), f(4k) 从而 f(12)最大. 12. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知 AB1=4, AD1=3, 则对角线 AC1 的取值范围是_____ _________________________. 解:设长方体的三度分别为 x,y,z,对角线 AC=d.则可得 x2+z2=16,y2+z2=9. d2=x2+y2+z2=25-z2, 但 0<z<3,从而 16<d2<25?4<d<5?所求取值范围为(4,5).

三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题,第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)

2a 13.设集合 A={x|log1(3-x)?-2} ,B={x| ?1} ,若 A∩B=?,求实数 a 的取值 x-a 2 范围. 解:由 log 1(3-x)?-2?0<3-x?4?-1?x<3.
2

2a 由 ?1?(x-a)(x-3a)?0. x-a ① 当 a>0 时,解为 a<x<3a; ② 当 a=0 时,解为?; ③ 当 a<0 时,解为 3a<x<a. 若 A∩B≠?,则当 a<0 时,有 a>-1?-1<a<0;当 a>0 时,有 3a<3?0<a<1. 所以,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,1).

x2 y2 14.椭圆 + =1 的有焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上 9 4 的点,其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1, 若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S 的值. 解法一:已知椭圆的 a=3,b=2,c= 5,e= 5 b2 4 ,p= = . 3 c 5
y P r O d F p H x

对于椭圆上任一点 P,|FP|=r,P 到准线的距离|PH|=d, FP 与 Ox 正向夹角为 θ,则有 r rcosθ+d=p, =e. d 于是, 1 1 d(1+ecosθ)=p,? = (1+ecosθ). d p 1 1 24 e 24 S= ∑ = ∑ (1+ecosθ)= + ∑ cosθ= . d p p p p i i=1 i=1 i=1 242 S2= 2 =180. p 解法二:设过焦点且斜率为 k 的直线交椭圆于 A、B 两点.则有
? y=k(x-c), ? 2 2 ?4x +9y =36.
24 24 24

?

所以,



① ②

①代入②:

4x2+9k2(x- 5)2-36=0.

即, 所以,

(4+9 k2)x2-18 5xk2+45k2-36=0. 45k2-36 18 5k2 x1+x2= ,x1x2= . 4+9k2 4+9k2

9- 5x 1 a2 5 而点 P 到准线距离 d= -x= ? = , c d 9- 5x 5 故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为 5[18- 5(x1+x2)] 5 5 + = 9- 5x1 9- 5x2 81-9 5(x1+x2)+5x1x2 18 5k2 5[18- 5· ] 4+9k2 = 2 18 5k2 45k -36 81-9 5· 2 +5 4+9k 4+9k2 18 5(4+9k2)-90 5k2 = 81(4+9k2)-810k2+225k2-180 72 5+72 5k2 5 = . 2 = 2 144+144k a2 4 而过焦点且倾斜角 θ=90?时,两交点到准线的距离= -c= ,故 θ=90?及 270? c 5 的两个点到准线距离倒数和也= 所以,S=12× 5 . 2

5 =6 5;S2=180. 2

?x= 5+tcosθ, 解法三:令? 代入椭圆方程得,t2(4cos2θ+9sin2θ)+8 5tcosθ-16=0. ?y=tsinθ.

同上.

15.△ABC 中,AB<AC,AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证 明是直角. 证明一:延长 AE 到 F,使 EF=AE,延长 AD 到 K,使 DK= AD.连 FK,FB. 因 FB∥AC?∠AFB=∠EAC.
K B D E C A

又 BD 垂直平分 AK,故∠AKB=∠BAD, 因∠BAD=∠EAC,所以∠AKB=∠AFB.所以 A、F、K、B 四点共圆. FK∥BC?∠FKA=90?.故 AF 为该圆直径.E 为此圆圆心.

F

故 EA=EB=EC,即点 C 在此圆上.此圆为△ABC 的外接圆,BC 为圆的直径.

所以∠BAC 为直角. 证明二:取△ABC 的外接圆,延长 AE 交圆于点 F,连 FB,则∠CBF=∠CAF=∠ BAD, 但∠BAD+∠ABD=90?,从而∠FBC+∠ABC=90?,即∠ABF=90?. 从而 AF 为圆的直径.若 E 不是圆心,则 AF⊥BC,?AB=AC.与 已知矛盾.
B A

故 E 为外心.从而∠BAC=90?. 证明三:作△ABC 的外接圆,作 EF⊥BC,交外接圆于点 F,连 AF.

D

E

C

F

⌒ 则 EF 是 BC 的垂直平分线,故 F 为 BC 的中点,于是 AF 是∠BAC 的平分线. 由∠BAD=∠EAC,得∠DAF=∠EAF. 又,EF∥AD,故∠DAF=∠EFA?∠EAF=∠EFA.?EA=EF.故 AF 的垂直平分 线经过点 E. 由于△ABC 的外接圆圆心应是弦 AF、BC 的垂直平分线的交点,故 E 为△ABC 的外 心.从而△ABC 为直角三角形,得,∠BAC 为直角. 证明四:取 AC 中点 F,连 DF、EF, 由 EF∥AB?∠AEF=∠EAB=∠BAD+∠DAE=∠EAC+ ∠DAE=∠DAC, 由 AD 为高,故∠DAC=∠ADF, 所以,∠ADF=∠AEF?A、D、E、F 四点共圆. 于是有∠EFA=90?,从而∠BAC=90?,故证. 证明五:以 D 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立坐标系.设点 A、B、C 的坐标分别 为 A(0,a),B(b,0),C(0,c). b 设 AB 到 AD 的角为 α,则 tanα=- . a a 2a kAC=- ,kAE=- ,? c b+c
B(b,0) D E C(c,0)

A F

B

D

E

C

y
A(0, a)

x

a 2a - + c b+c a(c-b) tan∠EAC= = 2 . 2a2 2a +bc+c2 1+ c(b+c) a(c-b) b 由 tan∠EAC=tanα?- = 2 . a 2a +bc+c2 化简得 a2=-bc.即|AD|2=|DB|· |DC|.故△ABC 为直角三角形. h 证明六:设 BC=a,BD=p,AD=h,则 tanB= , p h 2h tan∠AEB= = . 1 a-2p a-p 2 a-p ∠BAE=∠DAC?tan∠BAE=tan∠DAC= . h a-p h 2h a-p 2h(a-p) h 2h 在△ABE 中,有 + + = · · = . p a-2p h p a-2p h p(a-2p) 即 h2(a - 2p) + 2ph2 + p(a - p)(a - 2p) = 2h2(a - 2p) . ?h2 = p(a - p) .从而 |AD|2 = |DB|· |DC|.故△ABC 为直角三角形.得证. 证明七:设∠BAD=∠EAC=α,则 AD=ABcosα=ACsinC, ①
A

p
B

h
D E

a

C

∠BAE=∠DAC=90?-C. 而 S△BAE=S△CAE?AB· AEsin(90?-C)=AC· AEsinα?ABcosC =ACsinα.② ①×②:sin2α=sin2C?α+C=90?或 α=C. 若 α+C=90?,则 D、E 重合,与 AC>AB 矛盾,?α=C.则有∠BAC=90?,得证.

16.设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p. 解 p=2 时,p2+71=75=3×52,d(75)=2×3=6<10,故 p=2 是本题的解; p=3 时,p2+71=80=24×5,d(80)=5×2=10?10,故 p=3 是本题的解; 若质数 p>3,则 p2≡1(mod 8)?p2+71≡0(mod 8),故 23|p2+71; p2≡1(mod 3)? p2+71≡0(mod 3),故 3|p2+71. 所以,p2+71=2 ×3β×t.其中α 、β ∈N*,且α ?3.
α

当α =3,β =1,t 若有大于 3 的质因子,则 d(p2+71)?4×2×2,故 t=1.此时无 质数 p 满足题意;

当α =4,β =1,必有 t=1,此时有 d(p2+71)?5×2=10.此时无质数 p 满足题意; 当α ?4,β ?1,且等号不同时成立时,d(p2+71)>10. 综上可知,解为 p=2,3.


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