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数列求和的八种重要方法与例题


数列求和方法总结

数列求和的常见方法
1.公式法

常用的公式有:
(1)等差数列{an}的前n项和n(n ? 1) n(a1 ? an ) na1+ d S n= ① =② 2 2 (2)等比数列{ n 项和 n an}的前 a ?a q
a1 (1 ? q ) S n= ③ 1 ? q =④
1 n

.

(q≠1). 1? q 1 n(n+1)(2n+1) 2 2 2 2 (3)1 +2 +3 +…+n =⑤ 6 1 2 2 n ( n +1) (4)13+23+33+…+n3=⑥ 4 .

.

倒序相加法:

1 2 n ?1 求:f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ? ? n n n

1 例2:若x1 ? x2 ? 1则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2

【解析 】

n ?1 2 1 S n ? f (1) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? f (o ) n n n

1 2 n ?1 设S n ? f (o) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n

n ?1 答案: 4

得, 2Sn ? (n ? 1)?

1 2

练习 已知
n

lg(xy) ? 2 2.倒序相加法
n-1 1 n-1 n

S =lgx +lg(x ·y)+ ...+lg(x·y )+lgy , (x > 0,y > 0) 求S .

? S =lgx +lg(x ·y)+ ...+lgy
S =lgy +lg(y ·x)+ ...+lgx
n n

n

n-1

n

n

n-1

n

?2S =lg(xy) +lg(xy) +...+lg(xy)
= 2n(n + 1)

n

? S = n(n + 1)

2.错位相减 当{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求 数列{anbn}的前n项和适用错位相减

典例3:

通项

1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=?

错位相减法: 如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成,此时求和可采 用错位相减法.

既{anbn}型
等差 等比

[活学活用]

n 2.已知 an= n,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3 n- 1 n 1 n- 1 1 2 3 1 2 n 解:Sn= + 2+ 3+…+ n-1 + n, Sn= 2+ 3+…+ n + n+1, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn= + 2+ 3+…+ n- n+1 3 3 3 3 3 3 1? 1? ?1- n? 3? 3 ? n 1 1 n = - n+1= - n- n+1, 1 2 3 2×3 3 1- 3 3 1 n 3 2n+3 ∴Sn= - - = - . 4 4×3n-1 2×3n 4 4×3n

典例4: 4、裂项相消 1 1 1 1+ + + …+ =? 1×2 2×3 n(n + 1) 1 变式1:通项改为 n( n + 2) 1 1 1
= 2 n ( n+2 )

2n 变式2:通项改为 2 4n - 1
1 1 1 1 = + ( ) 2 4 2n -1 2n + 1

2

例1:求数列: 1 1 1 ? 1+ + + ??? + (n ? N )的和。 1+2 1 ? 2+3 1+2+ ??? + n

【解析 】

分组求和: 典例5:

数列{an}的通项an=2n+2n-1,
求该数列的前n项和.
同类性质的数列归于一组,目的 是为便于运用常见数列的求和公式.

分组求和法: 把数列的每一项分成两项,或把数 列的项“集”在一块重新组合,或把整 个数列分成两部分,使其转化为等差或 等比数列,这一求和方法称为分组求和 法.

{an+bn+cn}

等差

等比

错位相减 或裂项相消

并项求和
典型6:
2 2 2 2 2 1-2 +3 -4 +…+(2n-1) -(2n) =?

局部重组转化为常见数列

练习10:

已知Sn
2)求Sn

n =-1+3-5+7+…+(-1) (2n-1),

1)求S20,S21
S20=-1+3+(-5)+7+……+(-37)+39

=20

S21=-1+3+(-5)+7+(-9)+……+39+(-41)

=-21


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