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圆锥曲线之轨迹方程的求法


圆锥曲线之轨迹方程的求法(一) 【复习目标】

(制卷:周芳明)

□1. 了解曲线与方程的对应关系,掌握求曲线方程的一般步骤; □2. 会用直接法、定义法、相关点法(坐标代换法)求方程。

【基础练习】
1.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( A. y = x B. y =| x | C. y = x
2 2

) D. x 2 + y 2 = 0

2.已知点 P( x, y ) 的坐标满足 ( x ?1) 2 + ( y ?1) 2 = ( x + 3) 2 + ( y + 3) 2 ± 4 ,则动点 P 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对 设定点 F1 (0, ? 3) 、F2 (0, 3) , 动点 P 满足条件 PF1 + PF2 = a + 9 ( a > 0) , 则点 P 的轨迹( ) 3. a
A.椭圆 B.线段 C. 不存在 D.椭圆或线段 4 .动 点 P 与定点 A(?1, 0) 、 B(1, 0) 的连线的斜率之积为 ?1 ,则 P 点的轨迹方程 为 ______________.

【例题精选】
一、直接法求曲线方程 根据题目条件, 直译为关于动点的几何关系, 再利用解析几何有关公式 (两点距离公式、 点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就 得到曲线的轨迹方程了。 例 1.已知 ?ABC 中, BC = 2,
AB = m ,试求 A 点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形. AC

练习:已知两点 M(-1,0) N(1,0) 、 ,且点 P 使 MP ?MN , PM ?PN , NM ?NP 成公差 小于零的等差数列。点 P 的轨迹是什么曲线?

uuur uuuu r

uuuu uuur r

uuuu uuu r r

1

二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨 迹方程。 例 1.⊙C: ( x + 3) 2 + y 2 =16 内部一点 A( 3, 0) 与圆周上动点 Q 连线 AQ 的中垂线交 CQ 于
P,求点 P 的轨迹方程.

例 2.设动点 P( x , y )( x ≥ 0) 到定点 F ( 1 , 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1 。记点 P 的轨迹为 2 2 曲线 C 求点 P 的轨迹方程;

练习.若动圆与圆 C1 : ( x + 2) 2 + y 2 = 1 相外切,且与直线 x = 1 相切,则动圆圆心轨迹方 程是 三代入法 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关 点)而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析,这时我们可以用动点坐标 表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫 做相关点法。这种方法是一种极常用的方法,连续好几年高考都考查。 例 1、已知定点 A ( 3, 0 ),P 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点,∠AOP 的平分线交 AP 于 M, 求 M 点的轨迹。 .

2

例 2、 如图所示, 已知 P(4, 0)是圆 x2+y2=36 内的一点, B 是圆上两动点, A、 且满足∠APB=90°, 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. y
B Q

R A

o

P

x

针对练习

一、客观题
1.平面内到点 A(0, 1) 、 B(1, 0) 距离之和为 2 的点的轨迹为(
A.椭圆 B.一条射线 C.两条射线 ) D.一条线段

2 .平面上动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离比 P 到 y 轴的距离大 1 ,则动点 P 的轨迹方程为 ( ) y =0 y =0 A. y 2 = 2 x B. y 2 = 4 x C. y 2 = 2 x 或 D. y 2 = 4 x 或 x≤0 x≤0

{

{

3.已知抛物线的方程为 y 2 = 2 px( p > 0) , 且抛物线上各点与焦点距离的最小值为 2, 若点 M

在此抛物线上运动, 点 N 与点 M 关于点 A(1, 1)对称, 则点 N 的轨迹方程为(
A. x = 8 y
2



B. ( x ? 2) = 8( y ? 2)
2

C. ( y ? 2) = ?8( x ? 2)
2

D. ( y ? 2) 2 = 8( x ? 2)

4 .动点 P 在抛物线 y = 2 x 2 +1 上移动,则点 P 与点 A(0, ?1) 连线中点 M 轨迹方程是 _____________. 5. 一动点 P 到点 F(2, 的距离比它到 y 轴的距离大 2, 0) 则点 P 的轨迹方程是 .

二、解答题
6.动圆 M 过定点 P(-4,0) ,且与圆 C:x2 + y2-8x = 0 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。

、、 、

3

7.已知抛物线 y 2 = x+1,定点 A(3,1)、B 为抛物线上任意一点,点 P 在线段 AB 上,且有 BP∶PA =1∶2,当 B 点在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程.

8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 (n, S n ) 在直线 y = 1 x + 11 上,数列{bn}满足
n

2

2

bn+2 ?2bn+1 +bn = 0(n∈N*),b3=11,且{bn}的前 9 项和为 153.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 c n =
*

3 k ,记数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn > 对一切 (2a n ? 11)(2bn ? 1) 57

n∈N 都成立的最大正整数 k 的值.

4

19.(本题满分 14 分) 已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O: x +y =9 上任意两个不同的点,
2 2

且满足 AC ? BC = 0 ,设 P 为弦 AB 的中点。 (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点: 它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距离? 若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.

20、(本题满分 14 分) 过点 A(0, a ) 作直线交圆 M: ( x ? 2) 2 + y 2 = 1 于点 B、C,在 BC 上取一点 P,使 P 点 满足: AB = λ AC , BP = λ PC , (λ ∈ R ) (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若(1)的轨迹交圆 M 于点 R、S,求 ?MRS 面积的最大值。

5

一、知识概要: 1. 定义法: 若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨 迹方程。 2. 直接法: 根据题目条件, 直译为关于动点的几何关系, 再利用解析几何有关公式 (两点距离公式、 点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就 得到曲线的轨迹方程了。 二、基本训练: 1、已知 ? ABC 的一边 BC 的长为 6,周长为 16,则顶点 A 的轨迹是什么? 答: 2 、 若 .

A(?5, 0), B(5, 0)且 | MA | ? | MB |= 8 ,

则 点

M

的 轨 迹 方 程

6



. (注意区别轨迹与轨迹方程两概念)

三、例题: 例 1、两根杆分别绕着定点 A 和 B (AB = 2a) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直, 求两杆交点的轨迹方程.

7

例 3、 过点 M ( ?2, 0) , 作直线 l 交双曲线 x 2 ? y 2 = 1 于 A、 不同两点, B 已知 OP = OA + OB 。 (1) 、求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (2) 、是否存在这样的直线,使 | OP |=| AB | ? 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由。 解: 、设直线 l 的方程为 y = k ( x + 2) , (1) 代入 x ? y = 1 得 (1 ? k ) x ? 4k x ? 4k ? 1 = 0 ,
2 2 2 2 2 2

uuu r

uuu uuu r r

4k 2 4k 2 + 1 当 k ≠ ±1 时,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = , x1 x2 = 2 1? k 2 k ?1 2 k ?4k 4k y1 + y2 = k ( x1 + 2) + k ( x2 + 2) = + 4k = 2 1? k 2 uuu uuu uuu 1 ? k r r r 设 P ( x, y ) ,由 OP = OA + OB ,则 4k 2 4k ( x, y ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( , ) 2 1? k 1? k 2 ? 4k 2 x= ? ? 1 ? k ,解之得 x = k (k ≠ 0) ∴? y ? y = 4k 2 ? 1? k ? x 4k 再将 = k 代入 y = 得 ( x + 2) 2 ? y 2 = 4 ……………………(1) y 1? k 2 当 k = 0 时,满足(1)式;
当斜率不存在是,易知 P ( ?4, 0) 满足(1)式,故所求轨迹方程为 ( x + 2) 2 ? y 2 = 4 ,其轨 迹为双曲线; 当 k = ±1 时,l 与双曲线只有一个交点,不满足题意。 ( 2 ) Q | OP |=| AB | , 所 以 平 行 四 边 形 OAPB 为 矩 形 , OAPB 为 矩 形 的 充 要 条 件 是

uuu uuu r r OA? = 0 ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 。 OB

当 k 不存在时,A、B 坐标分别为 (?2, 3) , (?2, ? 3) ,不满足上式。 又 x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + k ( x1 + 2)( x2 + ) =
2

(k 2 + 1)(4k 2 + 1) 2k 2 ?4k 2 ? 2 + 4k 2 = 0 2 k ?1 k ?1

k 2 +1 化简得: 2 = 0 ,此方程无实数解,故不存直线 l 使 OAPB 为矩形。 k ?1
点评:平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点,也是近几年高考常考查的热点,解此 类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手, 还应该尽量联系向量与解析几何的 共同点,综合运用解析几何知识和技巧,使问题有效解决。

8

课外作业: 1. F P 是椭圆上的一个动点, 使得|PQ|=|PF2|, . 已知椭圆的焦点是 F1、 2, 是椭圆上的一个动点, 如果延长 F1P 到 Q, , 使得 , 的轨迹是( ) 那么动点 Q 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

2.如图,已知圆 B:(x+1)2+y2=16 及点 A(1,0),C 为圆 B 上任意一点,则线段 AC 的垂直平分 l 与线段 CB 的 交点 P 的轨迹方程是 .

3.已知 ?ABC ,A(3,0),B(-3,0),且三边长 . 且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列,则顶点 C 的 依次成等差数列, 且三边长 、 、 依次成等差数列 轨迹方程是 .

6*. ABC 中, 为动点, C 为定点, △ A B、 B(- 则动点 A 的轨迹方程为

a a 1 ,0),C( ,0), 且满足条件 sinC-sinB= sinA, 2 2 2
.

9

8. (06 全国Ⅰ)在平面直角坐标系 xoy 中,有一个以 F1 0, ? 3 和 F2 0, 3 为焦点、离心 Ⅰ

(

)

(

)

3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线 2 uuuu uuu uuu r r r 与 x, y 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM = OA + OB 。求点 M 的轨迹方程.
率为

2 9.如图, 过 A(-1,0),斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C: y = 4 x 交于 P、Q 两点,若曲线 C 的焦

点 F 与 P、Q、R 三点按图中顺序构成平行四边形,求点 R 的轨迹方程。

10

一、知识概要: 代入法(相关点法) 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关 点)而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析,这时我们可以用动点坐标 表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫 做相关点法。这种方法是一种极常用的方法,连续好几年高考都考查。 二、基本训练: 1、双曲线 、 程。

x2 ? y 2 = 1 有动点 P,F1, F2 是曲线的两个焦点,求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方 是曲线的两个焦点, , 9

例 2、已知定点 A ( 3, 0 ),P 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点,∠AOP 的平分线交 AP 于 M, ∠ 求 M 点的轨迹。 解:如图,设 M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。 由于 OM 平分∠AOP, ∠

11

故 M 分 AP 的比为:

λ=

| AM | | OA | = =3 | MP | | OP |
3 + 3 x1 0 + 3 y1 , y= , 1+ 3 1+ 3

由定比分点公式,得 x =

4 3 ? ? x1 = 3 ( x ? 4 ) ? 即? ,由于 x 1 2 + y 1 2 = 1, ?y = 4 y ? 1 3 ?
故 [ ( x ? )] + (
2

4 2 3 9 y ) = 1 ,即 ( x ? ) 2 + y 2 = 。 3 4 16 3 3 故所求轨迹是以 ( , 0) 为圆心,以 为半径的圆。 4 4

4 3

3 4

如图所示, 0)是圆 内的一点, B 是圆上两动点, A、 且满足∠ 例 3、 、 如图所示, 已知 P(4, 是圆 x2+y2=36 内的一点, 、 是圆上两动点, , 且满足∠APB=90°, , y 的轨迹方程. 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 Q B 错解分析: 欲求 Q 的轨迹方程,应先求 R 的轨迹方程, 错解分析 的轨迹方程, 的轨迹方程, 若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题。 若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题。 R 技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题, 技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可 A o x P 先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点, 先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点, 所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程。 所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程。 解: 设 AB 的中点为 R,坐标为 ,坐标为(x,y), , 则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| △ 的中点, 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36- △ - 2 2 (x +y )
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又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 + y 2 所以有(x- 所以有 -4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 - 即 - 在一个圆上, 在此圆上运动时, 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动 的中点, , 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= , 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得 - 得

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x+4 y+0 , y1 = , 2 2

(

x+4 2 y x+4 ) + ( )2 ? 4 ? -10=0 2 2 2
源 源 源

整理得

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x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程。

12

课外作业:

1.( 01 上海 设 P 为双曲线 . 上海) 则点 M 的轨迹方程是

x2 2 上一动点, 为坐标原点, 的中点, ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点, 4


2.若动点 P 在 y =2x2+1 上移动 则点 P 与点 Q( 0,-1)连线中点的轨迹方程 . 上移动,则点 连线中点的轨迹方程 是 。

3.P 在以 F1、F2 为焦点的双曲线 是 一、知识概要:

x2 y 2 ? = 1 上运动,则△F1F2P 的重心 G 的轨迹方程 △ 16 9


在求动点轨迹时, 有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题, 这类问题常常通过解方程 组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求出所求轨迹方程,该法经常与参数法并用。 二、基本训练: 1、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足

uuur uuu r uuu r OC = α OA + β OB , 其 中 α , β ∈ R , 且 α + β = 1 , 则 点 C 的 轨 迹 方 程
为 .

13

三、例题: 例 1、 (2006 年深圳一模)过抛物线 y2 = 4 px 求 AB 中点 P 的轨迹方程。 ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦 OA 和 OB。

14

例 2、过点 M( -2, 0)作直线 L 交双曲线 x -y
2

2

= 1 于 A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作

平行四边形 OAPB。求动点 P 的轨迹方程。

例 3、已知常数 a > 0 ,经过定点 A(0, ? a ) 以 m = (λ , a ) 为方向向量的直线与经过定点

ur

r B (0, a ) ,且以 n = (1, 2λ a ) 为方向向量的直线相交于点P,其中 λ ∈ R .
⑴ 求点P的轨迹C的方程,它是什么曲线; ⑵ 若直线 l : x + y = 1 与曲线C相交于两个不同的点A、B,求曲线C的离心率的范围. 解: (1) (用交轨法) 过A以 m 为方向向量的直线方程为: y + a =

ur r

a

λ

... x ....①

...② 过B以 n 为方向向量的直线方程为: y ? a = 2λ ax ... 由①②消去 λ 得:

y 2 x2 ? = 1 .P的轨迹为双曲线.... ....6分 a2 1 2

? y2 2 ? ? 2x = 1 (2)联立方程 ? a 2 ? x + y =1 ?
15

消去 y 得 (1 ? 2a ) x ? 2 x + 1 ? a = 0 ..........8分 .........
2 2 2

依题意有 ?

?1 ? 2a 2 ≠ 0 ? 1 ? 2a 2 ≠ 0 6 2 ,即 ? ∴0 < a < 且a ≠ 2 2 2 2 ? ?>0 ?4 ? 4(1 ? 2a )(1 ? a ) > 0
a2 + 1 2 = 1 + 1 > 2 3 且e ≠ 2 .......12分 ...... 2 a 2a 2 3

又e =

c c = = a a2

2

16

课外作业: 1.设 A1、A2 是椭圆 .

x2 y2 + =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点, 的长轴两个端点, 的弦的端点, 9 4 交点的轨迹方程为( ) 则直线 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为 x2 y2 + =1 9 4 x2 y2 ? =1 C. 9 4
B.

A.

y2 x2 + =1 9 4 y2 x2 D. ? =1 9 4

2.已知椭圆

x2 y2 + = 1(a>b>0)和定点 A(0, b), B(0, -b), C 是椭圆上的动点, 求 ?ABC 的 a 2 b2

垂心 H 的轨迹方程。

17

3*. 过抛物线 y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的 两弦 OA、OB,求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射 影 M 的轨迹。

18

19

5*.已知椭圆 .

x2 y2 + =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外 为椭圆的焦点, > > 点 为其上一点, a 2 b2
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角平分线为 l,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R , , (1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; 当 点在椭圆上运动时, 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l 设点 ,
源 源 源

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y=k(x+ 2 a)与 与
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的面积取得最大值时, 曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值 、 两点,

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20

21

8.如图 11-5-1,已知圆 O : x 2 + y 2 = 25, 点 A ( ? 3, 0 ), B (3, 0 ) , C 为圆 O 上任意一点, 直线 CD 与 BC 垂直,并交圆 O 于另一点 D .
uuur uuu r (1)求证: AD = λ BC ;

y C D P O B x

(2)若点 P 在线段 CD 上,且 ∠PAD = ∠PBC ,求点 P 的轨迹方程. A

图 11-5-1

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轨迹方程的求法(有关圆锥曲线的各种求法,经典!) 隐藏>> 轨迹方程的求法圆锥曲线方程的常用方法定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键...

圆锥曲线轨迹方程经典例题

程.(圆锥曲线第二定义) 16 5 的距离之比为 ,求点 M 的轨迹方 5 4 四、抛物线类型:10、定义法: (选修 2-1)点 M( x , y )与定点 F(2,0)的距离...

2015高考专题训练:圆锥曲线轨迹及方程求法大全

2015高考专题训练:圆锥曲线轨迹及方程求法大全_数学_高中教育_教育专区。2015高考专题训练:圆锥曲线轨迹及方程求法大全圆锥曲线专题 内部资料 请勿外传 轨迹方程的若干...

圆锥曲线轨迹及方程求法大全 精品

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圆锥曲线之动点轨迹方程

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(文)圆锥曲线中探求轨迹方程的求法

(文)圆锥曲线中探求轨迹方程的求法_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线中探求轨迹方程的求法 一、学习说明: 第一种类型是几何关系已知,轨迹未知; 第二种类型是曲...
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