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山西省太原市2013届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


山西省太原市 2013 年高三年级模拟(一)

数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.回答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 3. 回答第 I 卷时, 选出每小题答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答

案标号,写在本试卷上无效。 4.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效。 5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符 合题目要求的. 1.复数

a ? 2i (i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i
B.-4 C.1 D.-1

A.4

2.设集合 A ? {y | y ? 1nx, x ? 1}, B ? { y | y ? 1 ? 2 x, x ? R} 则 A ? B = A.[0.1) B.[0,1] C. ? ??,1? D. ?0, ???

3.下列说法正确的是: A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1 B. “x=-1”是 x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的不要不充分条件
2

C.命题“ ?x0 ? R, 2x o ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2

D.命题“若 x=y 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 4.下列函数中,在[-1,0]上单调递减的是 A. y ? cos x B. y ? ? | x ? 1| C. y ? 1n

2? x 2? x

D. y ? e ? e
x

?x

5.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 A.1 B.2 C.3 D.4

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S= A.98 B.258 7.已知数列{an }的通项公式为 an ?

C.642

D.780

9 1 (n ? N * ) ,其前 n 项和 S n ? ,则双曲线 10 n(n ? 1)

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 n ?1 n
A. y ? ?

2 2 x 3

B. y ? ?

3 2 x 4

C. y ? ?

3 10 x 10

D. y ? ?

10 x 3

8.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位,若所得的曲线关于 y 轴对称,则实数 m 的最小值是 A.

? 8

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

? x ? y ? 1, ? 9.已知实数 x.y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, ,若函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? 2 x ? y ? 2, ?
7,则 A.7 C.

3 4 ? 的最小值为 a b
B.

24 7

37 7

D.18

10.将 5 名同学分配到 A,B,C 三个宿舍中,每个宿舍至少安排 1 名学生,其中甲同学不 能分配到 A 宿舍,则不同的分配方案种数是 A.76 B.100 C.132 D.150 11.已知 f '( x) 是定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数,且 f ( x) ? f (5 ? x), ( ? x) f '( x) ? 0 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 C .

5 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

12.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1, x ? 0, ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,

若数列 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序

排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A. an ?

n(n ? 1) 2

B. an ? n(n ? 1)

C. an ? n ?1 共 90 分)

D. an ? 2n ? 2

第Ⅱ卷(非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知向量 a, 满足 | a |? 2,| b |? 2,(a ? b) ⊥a, b 则向量 a 与 b 的夹角为 14.函数 f ( x) ? x2 ? 3xf '(1), 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 15. 设抛物线 M : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 是双曲线 N : 。 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) 的右焦 a 2 b2


点,若 M 与 N 的公共弦 AB 恰好过点 F,则双曲线 N 的离心率 e=

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 16.在平行四边形 ABCD 中, AB · BC ? 0, 2 | AB |2 ? | BD |2 ? 6 ,若将△ABD 沿 BD 折成
直二面 A—BD—C,则三棱锥 A—BCD 外接球的表面积为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 。

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (2c ? a) cos B ? b cos A ? 0 。 (I)若 b=2,求△ABC 的面积; (Ⅱ)求 3 sin A ? sin( C ?

?
6

) 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位:千克)情况,将从该市某学校 抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图. 已知图中从左至右前 3 个小组的频率 之比为 1:2:3,其中第 2 小组的频数为 12. (I)求该校报考体育专业学生的总人数 n; (Ⅱ) 若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况, 现从该市报考体育专业的学生中任 选 3 人,设 ? 表示体重超过 60 千克的学生人数,求 ? 的分布列和数学期望。

19. (本题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点 D 为 AC 的中点,A1D⊥平面 ABC,A1B ⊥ACl (I)求证:AC1⊥ AlC; (Ⅱ)求二面角 A—A1B—C 的余弦值。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 F1,F2 分别是椭圆 C 的左,右焦 2 2 a b

点,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M,N 两点,求△Fl MN 内切圆面积最大的 值和此时直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ?1) ? 21nx, g ( x) ? xe
1? x

。 (a ? R, e 为自然对数的底数)

(I)若不等式 f ( x) ? 0 对于一切 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的最小值;

1 2

e ( Ⅱ ) 若 对 任 意 的 x0 ? (0, e] , 在 ( 0 , ]上 总 存 在 两 个 不 同 的 xi (i ? 1, 2) , 使

f ( x ) ? g ( 0 成立,求 a 的取值范围。 x) i
请考生在第 22、23、24 量题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲

? ?? , 如图, 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P. 为⊙O 上一点, ⊙O E AC AE
DE 交 AB 于点 F. (I)证明:DF·EF=OF·FP; (II)当 AB=2BP 时,证明:OF=BF.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : p sin ? ? 2a cos? (a ? 0) 过点 P(-2,-4)的直线 l : ? ? y ? ?4 ? ? ?
与曲线 C 相交于点 M,N 两点. (I)求曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|l,| MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3| . (I)求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

2 t, 2 (t 为参数) 2 t 2

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1| 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。

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