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2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(6)二次函数


课时作业(六) [第 6 讲 二次函数]

[时间:35 分钟

分值:80 分]

基础热身 1.已知函数 f(x)=ax2+(a3-a)x+1 在(-∞,-1]上递增,则 a 的取值范围是( ) A.a≤ 3 B.- 3≤a≤ 3 C.0<a≤ 3 D.- 3≤a<0 2.已知二次函数 f(x)=ax2+

(a2+b)x+c 的图像开口向上,且 f(0)=1,f(1)=0,则实数 b 的取值范围是( ) 3 ? ? 3 ? A.? ?-∞,-4? B.?-4,0? C.[0,+∞) D.(-∞,-1) 3.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.[-2,2] C.(-2,2] D.(-∞,-2) 4.设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.不确定 能力提升 5.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时,f(x)是奇函数;②b=0, c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③f(x)的图像关于点(0,c)对称;④方程 f(x)=0 至多有 两个实根.其中正确的命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.[2011· 长沙二模] 若函数 f(x)=x2+ax+b 有两个零点 x1,x2,且 1<x1<x2<3,那么在 f(1),f(3)两个函数值中( ) A.只有一个小于 1 B.至少有一个小于 1 C.都小于 1 D.可能都大于 1 7.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图像为下列之一,则 a 的值为( )



② 图 K6-1





A.1 B.-1 -1- 5 -1+ 5 C. D. 2 2 8.已知函数 f(x)=-x2+ax-b+1(a,b∈R)对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立, 若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则实数 b 的取值范围是( ) A.-1<b<0 B.b<-2 C.b<-1 或 b>2 D.不能确定 9.下列四个命题:(1)函数 f(x)在 x>0 时是增函数,x<0 时也是增函数,所以 f(x)是增函 数;(2)若函数 f(x)=ax2+bx+2 与 x 轴没有交点,则 b2-8a<0 且 a>0;(3)y=x2-2|x|-3 的 递增区间为[1,+∞);(4)y=1+x 和 y= ?1+x?2表示相同的函数.其中正确命题的个数是 ________. 10.[2011· 上海十三校联考] 已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞), 则 f(1)的最小值为________. 1 1? 3 1 1 11. 已知函数 f(x)=ax- x2 的最大值不大于 , 又当 x∈? f(x)≥ , 则 a=________. ?4,2?时, 2 6 8

12.(13 分)已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图像过点(1,3),且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意 实数 x 都成立. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 F(x)=λx2+8x-f(x)在[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围.

难点突破 13.(12 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0),且 f(x+1)为偶函数,定义:满足 f(x)=x 的实数 x 称为函数 f(x)的“不动点”,若函数 f(x)有且仅有一个不动点. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)+kx2 在(0,4)上是增函数,求实数 k 的取值范围; (3)是否存在区间[m,n](m<n),使得 f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在,请 求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由.

课时作业(六) 【基础热身】 a3-a [解析] f(x)=ax2+(a3-a)x+1 在(-∞, -1]上单调递增, 有- ≥-1 且 a<0, 2a 得- 3≤a<0. 2.D [解析] 由 f(0)=1,f(1)=0 得 c=1,a+a2+b+1=0,b=-a2-a-1(a>0),得 b<-1. 3.C [解析] 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0 恒成立,∴a=2 满足题意;当 ?a-2<0, ? a-2≠0 时,则 a 满足? 解得-2<a<2.所以 a 的范围是-2<a≤2. ? ?Δ<0, 1 4.A [解析] ∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为直线 x= ,且 f(1)>0,f(0)>0,而 f(m)<0, 2 ∴m∈(0,1), ∴m-1<0,∴f(m-1)>0. 【能力提升】 5.C [解析] 对于①,c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x) 是奇函数; 对于②,b=0,c>0 时,f(x)=x|x|+c, ∴当 x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x)=-x2+c=0,∴x=- c,有一个实数根; 对于③,f(-x)+f(x)=[-x|-x|+b(-x)+c]+(x|x|+bx+c)=-x|x|-bx+c+x|x|+bx+c =2c, ∴f(x)的图像关于点(0,c)对称; 对于④,当 c=0 时,f(x)=x(|x|+b),若 b<0,则方程有三根 0,b,-b,故选 C. 6.B [解析] 当函数图像关于直线 x=2 对称时,Δ=16-4b>0,b<4,f(1),f(3)都小于 1;当函数图像对称轴不是直线 x=2 时,f(1),f(3)中至少有一个小于 1. 7.B [解析] 由 b>0 可知,①、②图像不正确;由③、④图像均过点(0,0),则 a2-1 b =0?a=± 1.当 a=1 时,b>0,f(x)的对称轴为 x=- <0,此时不合题意;当 a=-1 时,f(x) 2 b 的对称轴 x= >0,③图像满足,故选 B. 2 8. B [解析] 由 f(1-x)=f(1+x)得对称轴为直线 x=1, 所以 a=2.当 x∈[-1,1]时, f(x)>0 恒成立,得 f(x)min=f(-1)>0,即-1-2-b+1>0?b<-2. 1 9.0 [解析] (1)反例 f(x)=- ;(2)不一定 a>0,a=b=0 也可;(3)画出图像(图略)可知, x 递增区间为[-1,0]和[1,+∞);(4)值域不同. ?a>0, ? 10.4 [解析] 由题意知? f(1)=a+c+2≥2+2 ac=4. ?4-4ac=0, ? a 3 1 x- ?2+ a2, 11.1 [解析] f(x)=- ? 2? 3? 6 1 1 a f(x)max= a2≤ ,得-1≤a≤1,对称轴为 x= . 6 6 3 1 1 3 ? 当-1≤a< 时,? ?4,2?是 f(x)的递减区间, 4 1 而 f(x)≥ , 8 1? a 3 1 即 f(x)min=f? ?2?=2-8≥8?a≥1, 3 与-1≤a< 矛盾; 4 1. D

1 1 + 3 1 a 1 1 4 2 3 当 ≤a≤1 时, ≤ ≤ ,且 < = , 4 4 3 3 3 2 8 1 a 3 1 ? 所以 f(x)min=f? ?2?=2-8≥8?a≥1, 3 而 ≤a≤1,所以 a=1. 4 12.[解答] (1)∵f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数 x 都成立,∴f(x)的对称轴为直线 x=- m 1,∴- =-1, 2 ∴m=2. 又 f(1)=3,∴1+2+n=3,∴n=0. ∴f(x)=x2+2x. (2)由(1)得 F(x)=(λ-1)x2+6x. ①当 λ-1>0,即 λ>1 时,函数 F(x)为二次函数, -3 其对称轴为 x= , λ-1 ? -3 ,+∞?上为增函数. ∴函数 F(x)在? ? ?λ-1 ? ∵函数 F(x)在[-1,1]上是增函数, -3 ∴ ≤-1,解得 1<λ≤4. λ-1 ②当 λ-1=0,即 λ=1 时,函数 F(x)=6x,f(x)在 R 上为增函数,符合题意; -3 ③当 λ-1<0,即 λ<1 时,函数 F(x)为二次函数,其对称轴为 x= , λ-1 -3 ? ? ∴函数 F(x)在?-∞, 上为增函数, λ-1? ? ? ∵函数 F(x)在[-1,1]上是增函数, -3 ∴ ≥1,解得-2≤λ<1. λ-1 综上,λ 的取值范围是[-2,4]. 【难点突破】 13.[解答] (1)∵f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b 为偶函数, ∴2a+b=0,∴b=-2a, ∴f(x)=ax2-2ax. ∵函数 f(x)有且仅有一个不动点, ∴方程 f(x)=x 有且仅有一个解, 即 ax2-(2a+1)x=0 有且仅有一个解, 1 ∴2a+1=0,a=- , 2 1 2 ∴f(x)=- x +x. 2 1? 2 (2)g(x)=f(x)+kx2=? ?k-2?x +x, 1 其对称轴为 x= . 1-2k 由于函数 g(x)在(0,4)上是增函数, 1 1 3 1 ∴当 k< 时, ≥4,解得 ≤k< ; 2 8 2 1-2k 1 1 1 当 k= 时,符合题意;当 k> 时, <0 恒成立. 2 2 1-2k

3 ? 综上,k 的取值范围是? ?8,+∞?. 1 1 1 1 (3)f(x)=- x2+x=- (x-1)2+ ≤ , 2 2 2 2 ∵在区间[m,n]上的值域为[3m,3n], 1 1 ∴3n≤ ,∴n≤ , 2 6 1 故 m<n≤ ,∴f(x)在区间[m,n]上是增函数, 6 1 - m2+m=3m, ? 2 f ? m ? = 3 m , ? ∴? 即 1 ?f?n?=3n, ? - n2+n=3n, 2 1 2 ∴m,n 是方程- x +x=3x 的两根, 2 1 2 由- x +x=3x, 2 解得 x=0 或 x=-4, ∴m=-4,n=0.

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