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07-13文科山东数学高考试题答案


2007 年山东高考文 1. 【答案】:B【分析】 :将原式

(4 ? 3i)(1 ? 2i) ? 2 ? 5i ,所以复数的实部为 2。 (1 ? 2i)(1 ? 2i)

2. 【答案】:C【分析】 :求 N ? ? x

? 1 ? ? 2x?1 ? 4, x ? Z ? ? ??1,0? 。 ? 2 ?

/>
3. D【分析】 正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为 D。 : 4. 【答案】A【分析】 本题看似简单,必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数不同名,而 :

? ? ? ?? ? ?? ? y ? cos ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? sin[ ? ( ? x)] ? sin( x ? ) ,故应选 A。 2 ? ? ?? ? ?? ?
5. 【答案】:C【分析】 2a ? b = (3, n) ,由 2a ? b 与 b 垂直可得: :

(3, n) ? (?1, n) ? ?3 ? n2 ? 0 ? n ? ? 3 ,

a ? 2。

6. 【答案】:B【分析】 :依据指、对数函数的性质可以发现 A 满足 f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) , C 满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,而 D 满足 f ( x ? y ) ?

f ( x ) ? f ( y) , 1 ? f ( x) f ( y )

B 不满足其中任何一个等式. 7. 【答案】C【分析】注意两点: (1)全称命题变为特称命题; (2)只对结论进行否定。 8. 【 答 案 】 A 【 分 析 】: 从 频 率 分 布 直 方 图 上 可 以 看 出 x ? 1 ? (0.06 ? 0.04) ? 0.9 ,

y ? 50 ? (0.36 ? 0.34) ? 35 .
9. 【答案】B【分析】(利用圆锥曲线的第二定义)过 A 作 AD ? x 轴于 D,令 FD ? m ,则 FA ? 2m , :

p 21 p ? m ? 2m , m ? p 。?OA ? ( ? p)2 ? ( 3 p)2 ? p. 2 2
10. 【答案】A.【试题分析】 :依据框图可得 S ? 100 ? 98 ? 96 ? ... ? 2 ? 2550 , T ? 99 ? 97 ? 95 ? ... ? 1 ? 2500 。 11. 【答案】 【试题分析】 g ( x) ? x3 ? 22? x , B. 令 可求得:g (0) ? 0, g (1) ? 0, g (2) ? 0, g (3) ? 0, g (4) ? 0 。

, 易知函数 g ( x) 的零点所在区间为 (1 2) 。
12. 【答案】D【试题分析】事件 Cn 的总事件数为 6。只要求出当 n=2,3,4,5 时的基本事件个数即可。当 n=2 时,落在直线 x ? y ? 2 上的点为(1,1) ; 当 n=3 时,落在直线 x ? y ? 3 上的点为(1,2)(2,1) 、 ; 当 n=4 时,落在直线 x ? y ? 4 上的点为(1,3)(2,2) 、 ;
-1-

当 n=5 时,落在直线 x ? y ? 5 上的点为(2,3) ; 显然当 n=3,4 时,事件 Cn 的概率最大为 13. 答案】 【

1 。 3

1 1 ?1 【分析】 f1 ( f 2 ( f3 (2007))) ? f1 ( f 2 (20072 )) ? f1 ((2007 2 ) ?1 ) ? ((2007 2 ) ?1 ) 2 ? 2007 。 : 2007

14. 【答案】:4【分析】 :函数 y ? a1? x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A(1,1) ,

1? m ? 1? n ? 1 ? 0 , m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,
(方法一) m ? n ? 2 mn ? :

1 1 1 1 1 ?2, ? ?2 ? ? 2? 2 ? 4 . mn m n m n

(方法二) :

1 1 1 1 n m n m ? ? ( ? ) ? (m ? n) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4. m n m n m n m n

, , 15. 【答案】 m ? ?5 【分析】 :构造函数: f ( x) ? x2 ? mx ? 4, x ? [1 2] 。由于当 x ? (1 2) 时,不等式 x2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立。则 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,
即 1 ? m ? 4 ? 0,????4 ? 2m ? 4 ? 0 。解得: m ? ?5 。 16. 【答案】:. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 【分析】 曲线化为 ( x ? 6)2 ? ( y ? 6)2 ? 18 , : 其圆心到直 线

x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

6?6?2 2

? 5 2. 所求的 最
2 ,圆心坐标为

小圆的圆心

在直线 y ? x 上,其到直线的距离为 方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 。
2 2

(2, 2). 标 准

???? 17. 解: (1)? tan C ? 3 7, ?
又? sin C ? cos C ? 1
2 2

sin C ?3 7 cos C

1 . 8 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角. 1 ? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? 5 (2)? CB ? CA ? ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 . 2 2 又? a ? b ? 9
解得 cos C ? ?
-2-

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 . ? a 2 ? b2 ? 41. ?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .
?c ? 6 .

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 18. 解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 解得 a2 ? 2 . 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

1 2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? 2,q2 ? . 2 q

, 由题意得 q ? 1 ? q ? 2 .?a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 .
(2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 由(1)得 a3n?1 ? 23n ?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 又 bn?1 ? bn ? 3ln 2

?{bn } 是等差数列.

n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n( n ? 1) ? ? ln 2. 2 2 2 19. 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

? x ? y ? 300, ? 由题意得 ?500 x ? 200 y ? 90000, ? x ? 0,y ? 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

y
500 400

? x ? y ? 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ? 900, ? x ? 0,y ? 0. ?

300 l 200 100 M

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 .

0

100

200 300

x

平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.
-3-

200) ? 点 M 的坐标为 (100, . ? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大, 最大收益是 70 万元. 20. (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 连结 C1D , ? DC ? DD1 ,

D1

C1 B1

A1

? 四边形 DCC1D1 是正方形.? DC1 ⊥ D1C .
又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 ? D ,

? AD ⊥ 平面 DCC1D1 , D1C ? 平面 DCC1D1 ,
D

C B

? AD ⊥ D1C . ? AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,
且 AD ⊥ DC ? D ,? D1C ⊥平面 ADC1 , 又 AC1 ? 平面 ADC1 ,? D1C ⊥ AC1 . (2)连结 AD1 ,连结 AE , 设 AD1 ? A1D ? M , BD ? AE ? N ,连结 MN ,

A

D1

C1 B1

A1

? 平面 AD1E ? 平面 A1BD ? MN ,
要使 D1E ∥平面 A BD ,须使 MN ∥ D1E , 1

M

D 又 M 是 AD1 的中点.? N 是 AE 的中点. 又易知 △ ABN ≌△EDN ,? AB ? DE . 即 E 是 DC 的中点. 综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E ∥平面 A BD . 1 A B

E

C

2 ? 21. 证明:因为 f ( x) ? ax ? b ln x,ab ? 0 ,所以 f ( x ) 的定义域为 (0, ?) .

f ?( x ) ? 2ax ?

b 2ax 2 ? b ? . x x

? 当 ab ? 0 时,如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ?) 上单调递增; ? 如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ?) 上单调递减.

-4-

所以当 ab ? 0 ,函数 f ( x ) 没有极值点.

当 ab ? 0 时,

? b ?? b ? 2a ? x ? ? ?? x ? ? ? 2a ?? 2a ? f ?( x) ? ? x
得 x1 ? ? ?

令 f ?( x) ? 0 ,

b b , ? (0, ?) (舍去) x2 ? ? ?? (0, ?) , ? ? 2a 2a

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

? b ? ? 0,? ? ? 2a ? ? ? ?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极小值

?
?
? ? b ? b? ? b ?? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . ? 2a ? 2? ? 2a ? ?

f ( x)
从上表可看出,

?

函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 f ? ? ?

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

? b ? ? 0,? ? ? 2a ? ? ? ?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极大值

?
?
? ? b ? b? ? b ?? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . ? 2a ? 2? ? 2a ? ?

f ( x)
从上表可看出,

?

函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 f ? ? ? 综上所述, 当 ab ? 0 时,函数 f ( x ) 没有极值点; 当 ab ? 0 时,

若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极小值点,极小值为 ?

b? ? b ?? ?1 ? ln ? ? 2a ?? . 2? ? ?? b? ? b ?? ?1 ? ln ? ? 2a ?? 2? ? ??

若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x ) 有且只有一个极大值点,极大值为 ?

22. 解: (I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知得: a ? c ? 3 , a ? c ? 1 ,? a ? 2 , c ? 1 ,
-5-

?b ? a ? c ? 3
2 2 2

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·2007·

x2 y 2 ?1 ? 椭圆的标准方程为 ? 4 3

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(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? 1. ? ? 3 ?4
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0,则 ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) . ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) , 3 ? 4k 2

0) 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 D(2, ,

? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
? 3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0 ,?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 , 7

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解得: m1 ? ?2k , m2 ? ?

0) 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, ,与已知矛盾;
当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? ,? 0 7 7? ? ?7 ?

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所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,? 0

?2 ?7

? ?

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-6-

2008 年普通高等学校招生全国统一考试答案
1.B 则 解析:本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合 M 中必含有 或

a1 , a2 ,

M ? ?a1 , a2 ?

M ? ?a1, a2 , a4 ?

.选 B.

2.D

解析:本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 z ? 2 ? bi ,由 z ? z ? 8
2

z z 2 ? 2 ? 2i ? ? ? ? ?i. 2 8 8 得 4 ? b ? 8, b ? ?2. z 选 D.
y ? ln cos x(?
3.A 解析:本小题主要考查复合函数的图像识别。

?
2

?x?

?

) 2 是偶函数,

可排除 B、D,由 cos x 的值域可以确定.选 A. 4.C 解析:本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题, 而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题 有一个。选 C. 5.A 解析:本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。

? 1 ? 1 1 15 ?f ? ? ? f ( ) ? 1? ? . 4 16 16 选 A. ? f (2) ? 4, ? f (2) ?
6.D 解析:本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个
2 2

圆柱组合而成的,其表面及为 S ? 4? ?1 ? ? ?1 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? . 选 D。 7.D 解析:本小题主要考查分式不等式的解法。易知 x ? 1 排除 B;由 x ? 0 符合可排除 C; 由 x ? 3 排除 A, 故选 D。也可用分式不等式的解法,将 2 移到左边直接求解。 8.C 解析:本小题主要考查解三角形问题。

? 3 cos A ? sin A ? 0

?A?

?
3

;

? sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2 C, sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C ,
?B ?
9.B

C?

? . 2

π 6 .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法.
解析:本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。

100 ? 40 ? 90 ? 60 ? 10 ?x ? ? 3, 100 1 ? S 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n
-7-

?
10.C

1 160 8 2 10 [20 ? 22 ? 10 ?12 ? 30 ?12 ? 10 ? 22 ] ? ? , ?S ? . 100 100 5 5 选 B.
解 析 主 要 考 查 三 角 函 数 变 换 与 求 值 。

? 3 3 4 cos(? ? ) ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? 3 6 2 2 5
sin(? ?
11.B

1 3 4 cos ? ? sin ? ? 2 2 5



? 3 ? 7? ? 1 4 ) ? ? sin(? ? ) ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? . ? 2 ? 6 6 2 5 ? ?
解析:本小题主要考查圆与直线相切问题。

选 C.

设圆心为 ( a,1), 由已知得 12.A

d?

| 4a ? 3 | 1 ? 1,? a ? 2(舍 ? ). 5 2 选 B.

解析:本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
?1

由图易得 a ? 1, ?0 ? a

? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ?1 ? y ? loga b ? 0,

? ?1 ? log a
二、填空题

1 ? log a b ? log a 1 ? 0, ? 0 ? a ?1 ? b ? 1 .选 A. a

x2 y 2 ? ?1 2 2 13. 4 12 解析:本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆 C : x ? y ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0
0), 0), y ? 0 ? x2 ? 6x ? 8 ? 0, 得圆 C 与坐标轴的交点分别为 (2, (4,

x2 y 2 ? ?1 2 则 a ? 2, c ? 4, b ? 12, 所以双曲线的标准方程为 4 12
14. 4 解析:本小题主要考查程序框图。

1 1 1 ? ? ? 0.8 2 4 8 ,因此输出 n ? 4.
15.2008 解析:本小题主要考查对数函数问题。

? f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ? 4log2 3x ? 233,
? f ( x) ? 4log2 x ? 233, ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (28 ) ? 8 ? 233 ? 4(log2 2 ? 2log2 2 ? 3log2 2 ? ?? 8log2 2) ? 1864 ? 144 ? 2008.
16.11 解析:本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点

0), 5), 5) 分别为 (0,0), (0,2), (2, (3, 验证知在点 (3, 时取得最大值 11.

-8-

三、解答题 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )

? 3 ? 1 ? 2 ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

π? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? . 6? ?
因为 f ( x ) 为偶函数, 所以对 x ? R , f (? x) ? f ( x) 恒成立, 因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6?

即 ? sin ? x cos ? ? ?

? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? , 6? 6? 6? 6? ? ? ? π? ? ? 0. 6?

整理得 sin ? x cos ? ? ?

? ?

因为 ? ? 0 ,且 x ? R , 所以 cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 0. 6?

又因为 0 ? ? ? π , 故? ?

π π ? . 6 2

所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ? 由题意得

? ?

π? ? ? 2cos ? x . 2?



π ? 2? ,所以 ? ? 2 . ? 2

故 f ( x) ? 2cos 2 x .

因此 f ?

π ?π? ? ? 2cos ? 2 . 4 ?8?
π 个单位后,得到 6

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

π? ? f ? x ? ? 的图象, 6? ?

所以 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ? π ?? π? ? ? ? 2cos ?2 ? x ? ?? ? 2cos ? 2 x ? ? . 6? 6 ?? 3? ? ? ?
-9-

π ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ) , 3 π 2π 即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 6 3
当 2kπ ≤ 2 x ? 因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

? ?

π 2π ? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 6 3?

18.解: (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件空间

? ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , (A (A (A

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“ A 恰被选中”这一事件,则 1

M ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , (A (A

( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ), 1,B3,C2 ) } (A (A
事件 M 由 6 个基本事件组成, 因而 P ( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(Ⅱ)用 N 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 N ? { ( A,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组成, (A (A 1

3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? . 18 6 6 6 19. (Ⅰ)证明:在 △ ABD 中,
所以 P ( N ) ? 由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD ? BD ? AB .
2 2 2

P M A D O C B

故 AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD , 故平面 MBD ? 平面 PAD . (Ⅱ)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD .
- 10 -

因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高, 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形. 因此 PO ?

3 ?4 ? 2 3. 2

在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为 此即为梯形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

4?8 8 5 , ? 5 4 5

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

20. (Ⅰ)证明:由已知,当 n ≥ 2 时, 又 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 所以

2bn ?1, 2 bn Sn ? Sn

2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, 2 ( Sn ? Sn ?1 ) Sn ? Sn



2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, ? Sn ?1Sn 1 1 1 ? ? , Sn Sn ?1 2

所以

又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 . 所以数列 ?

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ?

由上可知

1 1 n ?1 , ? 1 ? (n ? 1) ? Sn 2 2

即 Sn ?

2 . n ?1

所以当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ?

2 2 2 ? ?? . n ?1 n n(n ? 1)

?1,    n ? 1, ? 因此 bn ? ? 2 ? ? n(n ? 1) ,n ≥ 2. ?
- 11 -

(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ? 0 . 因为 1 ? 2 ? ? ? 12 ?

12 ?13 ? 78 , 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 ?an ? 的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第三列,

q 因此 a81 ? b13 ? ? ?
2

4 . 91

又 b13 ? ?

2 , 13 ? 14

所以 q ? 2 . 记表中第 k (k ≥3) 行所有项的和为 S , 则S ?

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ?? ? ? (1 ? 2k )(k ≥ 3) . 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

21.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ex?1 (2 x ? x2 ) ? 3ax2 ? 2bx

? xex?1 ( x ? 2) ? x(3ax ? 2b) ,
又 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ?(?2) ? f ?(1) ? 0 ,

因此 ?

??6a ? 2b ? 0, ?3 ? 3a ? 2b ? 0,

1 3 1 (Ⅱ)因为 a ? ? , b ? ?1 , 3
解方程组得 a ? ? , b ? ?1 . 所以 f ?( x) ? x( x ? 2)(e x?1 ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2 , x2 ? 0 , x3 ? 1 .

? 1) 因为当 x ? (??, 2) ?(0, 时, f ?( x) ? 0 ; 0) , 当 x ? (?2, ? (1 ? ?) 时, f ?( x) ? 0 . 0) , 所以 f ( x ) 在 (?2, 和 (1 ? ?) 上是单调递增的; ? 1) 在 (??, 2) 和 (0, 上是单调递减的.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x e
2 x ?1

1 ? x3 ? x 2 , 3
- 12 -

故 f ( x) ? g ( x) ? x2e x?1 ? x3 ? x2 (e x?1 ? x) , 令 h( x) ? e x?1 ? x , 则 h?( x) ? e x?1 ? 1 . 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 因为 x ? ? ??, 时, h?( x) ≤ 0 , 1? 所以 h( x) 在 x ? ? ??, 上单调递减. 1? 故 x ? ? ??, 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 ; 1? 因为 x??1 ? ?? 时, h?( x) ≥ 0 , , 所以 h( x) 在 x??1 ? ?? 上单调递增. , 故 x??1 ? ?? 时, h( x) ≥ h(1) ? 0 . ,

? 所以对任意 x ? (??, ?) ,恒有 h( x) ≥ 0 ,又 x
因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,

2

≥0,

? 故对任意 x ? (??, ?) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) .

?2ab ? 4 5, ? 22.解: (Ⅰ)由题意得 ? ab 2 5 ? . ? 2 3 a ? b2 ? 又a ? b ? 0,
解得 a ? 5 , b ? 4 .
2 2

因此所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 5 4

(Ⅱ) (1)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) ,

A( xA,y A ) .
? x2 y 2 20 20k 2 ? 1, 2 ? ? 2 解方程组 ? 5 得 xA ? , yA ? , 4 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 ? y ? kx, ?

- 13 -

20 20k 2 20(1 ? k 2 ) 所以 OA ? x ? y ? . ? ? 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2
2 2 A 2 A

设 M ( x,y) ,由题意知 MO ? ? OA (? ? 0) ,
2 2 2 2 所以 MO ? ? OA ,即 x ? y ? ? 2 2

20(1 ? k 2 ) , 4 ? 5k 2

因为 l 是 AB 的垂直平分线, 所以直线 l 的方程为 y ? ? 即k ? ?

1 x, k

x , y

? x2 ? 20 ?1 ? 2 ? 2 2 ? y ? ? ? 2 20( x ? y ) , 2 2 2 因此 x ? y ? ? x2 4 y 2 ? 5x2 4 ? 5? 2 y
又 x2 ? y 2 ? 0 , 所以 5x2 ? 4 y 2 ? 20? 2 ,



x2 y 2 ? ? ?2 . 4 5

又当 k ? 0 或不存在时,上式仍然成立. 综上所述, M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? ? 2 (? ? 0) . 4 5
2 A

20 20k 2 2 (2)当 k 存在且 k ? 0 时,由(1)得 x ? , yA ? , 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

? x2 y 2 ? 5 ? 4 ? 1, 20 20k 2 ? 2 2 由? 解得 xM ? , yM ? , 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k ? y ? ? 1 x, ? k ?
所以 OA ? xA ? y A ?
2 2 2

20(1 ? k 2 ) 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 2 2 2 , AB ? 4 OA ? , OM ? . 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2
1 2 AB ?OM 4
2

解法一:由于 S△ AMB ?
2

1 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) ? ? ? 4 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2
- 14 -

?

400(1 ? k 2 )2 (4 ? 5k 2 )(5 ? 4k 2 )
400(1 ? k 2 ) 2 ? 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4 k 2 ? ? ? 2 ? ?
2



1600(1 ? k 2 )2 ? 40 ? ? ?? ? , 81(1 ? k 2 )2 ? 9 ?
2
2 2 当 且 仅 当 4 ? 5k ? 5 ? 4k 时 等 号 成 立 , 即 k ? ?1 时 等 号 成 立 , 此 时 △ A M B 面 积 的 最 小 值 是

S△ AMB ?

40 . 9

1 40 ?2 5?2 ? 2 5 ? . 2 9 1 40 当 k 不存在时, S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 . 9
当 k ? 0 , S△ AMB ? 解法二:因为

1 OA
2

?

1 OM
2

1 1 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4k 2 9 ? ? , ? ? 20(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 20 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2



1 OA
2

?

1 OM
2



40 2 , OA ?OM ≥ , 9 OA ?OM

2 2 当且仅当 4 ? 5k ? 5 ? 4k 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立,

40 . 9 1 40 当 k ? 0 , S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? . 2 9 1 40 当 k 不存在时, S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 . 9
此时 △ AMB 面积的最小值是 S△ AMB ?

- 15 -

2009 年山东高考数学文科试题答案
2 1.【解析】:∵ A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a , A ? B ? ?0,1,2,4,16? ∴ ?

?

?

? a 2 ? 16 ? a?4

∴ a ? 4 ,故选 D.

【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 2. 【解析】:

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 3 ? 2i ? i 2 4 ? 2i ? ? ? ? 2 ? i ,故选 C. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 1? i2 2

【命题立意】:本题考查复数的除法运算,分子、分母需要同乘以分母的共轭复数,把分母变为实数,将除 法转变为乘法进行运算. 3. 【 解 析 】 : 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

?

? ? x( ) 个单位 ,得到函数 y?s in 2? 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
【命题立意】 :本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和 基本技能,学会公式的变形. 4. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆 柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面 边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 ?

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3

所以该几何体的体积为 2? ?

2 3 .答案:C 3

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 5. 【解析】:根据定义 x ⊙ ( x ? 2) ? x( x ? 2) ? 2 x ? ( x ? 2) ? x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? x ? 1 ,所以所求的 实数 x 的取值范围为(-2,1),故选 B. 【命题立意】:本题为定义新运算型,正确理解新定义是解决问题的关键,译出条件再解一元二次不等式. 6. 【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ? e
x ?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

e x ? e? x e2 x ? 1 2 y ? x ?x ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A e ?e e ?1 e ?1
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函
- 16 -

数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7. 【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 5 , f (0) ? log2 4 ? 2 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? 2 ? log2 5 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? log 2 5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? log2 5 ? (2 ? log2 5) ? ?2 ,故选 B.
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.. 8. 【解析】:因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 C。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答。 9. 【解析】 :由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线, m ? ? ,则 ? ? ? ,反过来则不 一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件 【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 10. 【解析】: 抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,它与 y 轴 的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为

??? ??? ? ?

??? ?

a 4

a 4

a 2

1 a a | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线方程为 y 2 ? ? 8x ,故选 B 2 4 2

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查 数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定 以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一. 11. 【解析】:在区间 [ ?

? ?

1 ? ? , ] 上随机取一个数 x,即 x ? [ ? , ] 时,要使 cos x 的值介于 0 到 之间,需使 2 2 2 2 2

?

?
2

?x??

?
3



?
3

?x?

?
2

,区间长度为

1 ? 1 ,由几何概型知 cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 3 ? . 2 3 ? 3

?

故选 A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值 cos x 的范 围,再由长度型几何概型求得. 12. 【解析】:因为 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) , 又 因 为 f (x) 在 R 上 是 奇 函 数 ,

f (0) ? 0 , 得 ? f得 (x )

f (80) ? f (0) ? 0

,

f (?25) ? f (?1) ? ? f (1)

,





f( ? x 4 ? )

f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) ,又因为 f (x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,
所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D. y 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的 思想解答问题.
- 17 -

f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

13. 【 解 析 】 : 设 等 差 数 列 {an } 的 公 差 为 d , 则 由 已 知 得 ?

a1 ? 2d ? 7 ? ?a1 ? 3 解得 ? ,所以 ?d ? 2 ?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

a6 ? a1 ? 5d ? 13 答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
x 14. 【解析】: 设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零

点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当 0 ? a ? 1 时两函数只有一 个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一 定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数 的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 15. 【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出 T=30 【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况. 16. 【 解 析 】 : 设 甲 种 设 备 需 要 生 产 x 天 , 乙 种 设 备 需 要 生 产 y 天 , 该 公 司 所 需 租 赁 费 为 z 元 , 则

z ? 200 x ? 300 y ,甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品 (件)(≥50) 5 6 B 类产品 (件)(≥140) 10 20 租赁费 (元) 200 300

? 6 ? 5 x ? 6 y ? 50 ? x ? 5 y ? 10 ? ? 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? , x ? 2 y ? 14 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0 ?
? 6 ? x ? y ? 10 作出不等式表示的平面区域,当 z ? 200 x ? 300 y 对应的直线过两直线 ? 的交点(4,5)时, 目标函 5 ? x ? 2 y ? 14 ?
- 18 -

数 z ? 200 x ? 300 y 取得最低为 2300 元. 【命题立意】 :本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表 格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 17. 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? (2)由(1)知 f ( x) ? sin( x ? 因为 f ( A) ? cos A ? 又因为 a ? 1, b ? 也就是 sin B ?

?
2

.

?
2

) ? cos x

? 3 ,且 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? . 6 2
a b ? , sin A sin B

2, 所以由正弦定理,得

b sin A 1 2 , ? 2? ? a 2 2

3? . 4 4 ? ? ? 7? 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ; 4 6 4 12 3? ? 3? ? ? . 当B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 7? ? 综上所述, C ? 或C ? 12 12
因为 b ? a ,所以 B ?

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用 正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 18. (Ⅰ )证明: 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD=A1F1 ,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D,
- 19 -

D1 A1 F1 E1 E A F D

C1 B1

C B

所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (Ⅱ )连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥ 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥ AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形, A1 D1 C1 B1 D E F B

?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?

E1

C

所以 AC⊥ BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, A 所以 AC⊥ 平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥ 平面 BB1C1C.

【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的 判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 19. 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以

50 10 ? , 所 以 n=2000. n 100 ? 300

400 m ? ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 1000 5
2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 (3)样本的平均数为 x ?

7 . 10

1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 , 8
9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为

6 ? 0.75 . 8

【命题立意】 :本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意, 分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答. 20. 解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.所以
x
?

得 Sn ? b ? r ,
n

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,
- 20 -

当 n=2 时, a2 ? (b ? 1)b 又因为{ an }为等比数列, 所以
?

b(b ? 1) a2 ? b 解得 r ? ?1 ? b ,即 b?r a1

(2)由(1)知, n ? N , an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 所以

bn ?
Tn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2
两式相减,得

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 2 1 1 1 1 n ?1 1 n ?1 2 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ? n?2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 ? ? n ?1 ? n ? 2 4 2 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运用错位相减法 求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 21. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f (x) 要取得极值,方程 ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , x1 ? ? ? 2a a 2a a
所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

f '( x) f ( x)

- 21 -

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

f '( x) f ( x)

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值
2

(2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2x 2 2x 2 x2
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a
当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1] 上单调递增, 2 2x a

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2
当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单 调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的 思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
- 22 -

22. 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,

?

? ?

?

? ?

即 mx 2 ? y 2 ? 1 .

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线.

1 x2 ? y 2 ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解方程组 (2).当 m ? 时, 轨迹 E 的方程为 4 4

? y ? kx ? t ? 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 , ?x ? y2 ? 1 ? ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
要使 OA ? OB ,

??? ?

??? ?

需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 , 即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1 , 即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 ? k 2 ) 4 t2 4 所以圆的半径为 r ? , r2 ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k 2
t
2 2 2 2 2 x2 5 ,与 ? y 2 ? 1交于点 ( 5 ,? 5 ) 或 (? 5 ,? 5 ) 也满 当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ? 5 5 5 5 5 4
足 OA ? OB . 综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?
2 2

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 5
- 23 -

??? ??? ? ? OA ? OB .
(3) 当 m ?

1 x2 ? y 2 ? 1 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? t , 因 为 直 线 l 与 圆 时,轨迹 E 的方程为 4 4

C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ? 因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

t 1? k
2

, 即 t 2 ? R2 (1 ? k 2 )



? y ? kx ? t ? 由(2)知 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 有唯一解 则△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 , 即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由① 得 ? ② , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 ? 由? 中 x1 ? x 2 ,所以, x1 ? , 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2
2

4 1 2 4 ? R2 2 2 2 x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
2 2

在直角三角形 OA1B1 中, | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ? 当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 1 当 R ? 2 ? (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

4 4 4 ? R 2 ? 5 ? ( 2 ? R 2 ) 因为 2 ? R 2 ? 4 当且仅 2 R R R

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组 法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

- 24 -

2010 文
2 1【解析】因为 M ? x x ? 4 ? 0 ? x ?2 ? x ? 2 ,全集 U ? R ,

?

? ?

?

所以 CU M ? x x ? ?2或x ? 2 ,故选 C。 【命题意图】本题考查集合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识,属基础题。 2. 【解析】由

?

?

a+2i =b+i 得 a+2i=bi-1 ,所以由复数相等的意义知: a=-1,b=2 ,所以 a+b= 1,故选 B. i

【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,属保分题。
x x 3. 【解析】因为 3 ? 1 ? 1 ,所以 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 ? log 2 1 ? 0 ,故选 A。

?

?

【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。 4. 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案 D。 【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质,属基础题。 5. 【解析】因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20 +2 ? 0+b=0 ,解得 b=-1 ,所以
1 =-3 当 x ? 0 时, f(x)=2x +2x-1 ,即 f(-1)=-f(1)= -(2 +2 ?1-1) ,故选 D.

【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键. 6. 【解析】由题意知,所剩数据为 90,90,93,94,93,所以其平均值为 90+ (3 ? 4 ? 3) =92;方差为 (2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ) ? 2.8,故选 B。
2 2 2

1 5

1 5

【命题意图】本题考查平均数与方差的求法,属基础题。 7. 【答案】C【解析】若已知 a1 <a 2 ,则设数列 ?a n ? 的公比为 q ,因为 a1 <a 2 ,所以有 a1 <a1q ,解得 q>1, 又 a1 >0 ,所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列,则公比 q>1且 a1 >0 ,所以 a1 <a1q , 即 a1 <a 2 ,所以 a1 <a 2 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,属保分题。 8. 【解析】令导数 y' ? ? x2 ? 81 ? 0 ,解得 0 ? x ? 9 ;令导数 y' ? ? x2 ? 81 ? 0 ,解得 x ? 9 ,所以函数

1 y ? ? x3 ? 81x ? 234 在区间 (0,9) 上是增函数,在区间 (9, ??) 上是减函数,所以在 x ? 9 处取极大值, 3
也是最大值,故选 C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用,属基础题。 9. B【解析】设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ), 则有 y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,两式相减得:
2 2

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) ,又因为直线的斜率为 1,所以

y1 ? y2 ? 1 ,所以有 x1 ? x2

y1 ? y2 ? 2 p ,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2,即 y1 ? y2 ? 4 ,所以 p ? 2 ,所以抛物线的准线方程为

- 25 -

x??

p ? ?1 。 2

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识, 10. 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数 f ( x ) 是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定 义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x) ,即函数 f ( x ) 是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有

g (? x) = ? g ( x) ,故选 D。
【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识,考查同学们类比归纳的能力。 11. 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - x =
2 2

1 ? 4<0 ,故排除 D, 4

所以选 A。 【命题意图】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思 维能力。 12. 【解析】若 a 与 b 共线,则有 a ? b=mq-np=0 ,故 A 正确;因为 b ? a ? pn-qm ,而

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b=mq-np ,所以有 a ? b ? b ? a ,故选项 B 错误,故选 B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、 解决问题的能力。

1 1 1 3 ? 4-1=1 ,此时|y-x|=3;当 x=1 时,y= ?1-1=- ,此时|y-x|= ; 2 2 2 2 1 1 1 5 3 5 ( -1=- ,此时|y-x|= <1 ,故输出 y 的值为 ? 。 当 x= ? 时,y= ? ? ) 2 2 2 4 4 4
13. 【解析】当 x=4 时,y= 【命题意图】本题考查程序框图的基础知识,考查了同学们的试图能力。 14. 【答案】3 15. 【解析】由 sin B ? cos B ? 2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 ,即 sin 2B ? 1 ,因为 0<B<? ,所以 B=45 ,
?

又因为 a ?

2 , b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得:
? ?

1 2 2 ,解得 sin A ? ,又 a <b , = ? 2 sin A sin 45

所以 A<B=45 ,所以 A=30 。 【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问 题的能力,属于中档题。 16. 【解析】由题意,设圆心坐标为 (a,0) ,则由直线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得

的弦长为 2 2 得, (

| a-1| 2 ) +2=(a-1)2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆 2

心坐标为 (3, , 0) 又已知圆 C 过点 (1,0) 所以所求圆的半径为 2, , 故圆 C 的标准方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直线与圆问 题的能力。 17.【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质,进行运算、变形、转换和求解 的能力。
- 26 -

f ( x) ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2,

g ( x) ? f ( 2 x) ?
所以

2 ? 1 sin(4 x ? ) ? 2 4 2。

0? x?


?

?

6 时, 4

? 4x ?

?
4

?

?
2

2 ? ? sin(4 x ? ) ? 1 4 所以 2
因此 1 ? g ( x) ?

1? 2 , 2 ?

故 g ( x) 在区间 ? 0, ? 内的最小值为 1. ? 16 ? 18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的 基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】 )设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有 (Ⅰ

??

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 an ? 2n+1 ,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2 1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

- 27 -

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

19. 【命题意图】本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算,考察学生分析问题 、解决问题的能力。 【解析】 (I)从袋子中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个。 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个。 因此所求事件的概率为 1/3。 (II)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,在从袋中随机取一个球,记下编号为 n,其一 切可能的结果(m, n)有: (1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2), (3,3) (3,4),(4,1) (4,2)(4,3) , (4,4) ,共 16 个 有满足条件 n≥ m+2 的事件为(1,3) (1,4) (2,4) ,共 3 个 所以满足条件 n ≥ m+2 的事件的概率为 P=3/16 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 20. 【命题意图】本小题主要考查空间中的线面关系,考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计 算,考查试图能力和逻辑思维能力。 【解析】 (I)证明:由已知 MA ? 平面ABCD,PD∥MA, 所以 又 所以 因为 所以 又 因此

P D?平面 A B C D BC ? 平面ABCD ,
P D? D C 四边形 ABCD 为正方形, B C? D C , PD ? DC=D ,

B C? 平面 P D C

在 ? PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点, GF PC ∥ 所以 因此 又

G F? 平面 P D C GF ? 平面EFG ,

所以 平面EFG ? 平面PDC . (Ⅱ)解:因为 PD ? 平面ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1 , 则

PD=AD=2 , 1 8 所以 VP-ABCD = S正方形ABCD · PD= 3 3
- 28 -

由于 DA ? 面MAB 的距离,且 PD∥MA 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离,

1 1 2 VP-MAB ? ? ?1? 2 ? 2 ? 3 2 3 三棱锥
所以

VP-MAB: P-ABCD ? 1: 4 V

21. 【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力,考查分 类讨论思想、数形 结合思想和等价变换思想。 【解析】解: (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

2 ? 1, x ? (0,?? ), x

所以

f ' ( x) ?

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? ) , x2

? , 因此, f(2) 1
即 曲线 y ? f ( x)在点( ,f (2))处的切线斜率为, 2 1. 又

f (2) ? ln 2 ? 2,

所以曲线

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为 ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2, y

即x ? y ? ln 2 ? 0.
(Ⅱ)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x

所以

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x2

x ? (0,??) ,



g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0时, h( x) ? ? x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递 (2)当 a ? 0时,由f?(x)=0
2 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 a

①当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立, 2
- 29 -

此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递增;

1 时,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 2 1 函数 f ( x ) 在 (1, ? 1) 上单调递增; a 1 函数 f ( x)在( ? 1, ??) 上单调递减, a
当a ? 22. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的基本概念和性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查数形结合思 想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。 【解析】 (Ⅰ)解:因为椭圆过点(1,

2 2 ) ,e= , 2 2

所以

1 1 c 2 ? 2 ? 1, ? . 2 a 2b a 2
2 2

又a ?b ?c ,
2

, 所以 a ? 2,b ? 1 c ? 1


x2 ? y 2 ? 1. 所求椭圆方程为 2

(II) (1)证明:

- 30 -

方法二:

设P(x0 , y0) k1 ? ,则

y0 y , k2 ? 0 x0 ? 1 x0 ? 1

因为点 P 不在 x 轴上,所以 又

y0 ? 0

x0 ? y0 ? 2

3 ) 1 3 x0 ? 1 (x0 ? 1 4 ? 2 x0 2 y0 ? ? ? ? ? ?2 k1 k2 y0 y0 y0 y0 所以
因此结论成立 (ⅱ)解:设 A( xA , yA ) , B( xB , yB ) , C ( xC , yC ) , D( xD , yD ) .

- 31 -

2 xc ? 0, xD ? 0, k2 ? 0,1, kOC ? kOD ? ?

2k2 2 k2 ? 1

故 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? (
2 k1k2 ? k1 ? k12 k2 ? k2 2 (k12 ? 1)(k2 ? 1)

k1 k ? 22 ) k ? 1 k2 ? 1
2 1

? ?2

??

2(k1k2 ? 1)(k1 ? k2 ) 2 (k12 ? 1)(k2 ? 1)

若 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ,须有 k1 ? k2 =0 或 k1k2 =1. ① 当 k1 ? k2 =0 时,结合(ⅰ)的结论,可得 k2 =-2,所以解得点 P 的坐标为(0,2) ; ② 当 k1k2 =1 时,结合(ⅰ)的结论,可得 k2 =3 或 k2 =-1(此时 k1 =-1,不满足 k1 ≠ k2 ,舍去 ) , 此时直线 CD 的方程为 y ? 3( x ? 1) ,联立方程 x ? y ? 2 得 x ? 因此

5 3 ,y? 4 4 5 3 5 3 P ( , ) .综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为 (0, 2) , , ) ( 。 4 4 4 4
- 32 -

2011 年山东高考数学(文) 一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. 1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}, N ={x|1≤x≤3},则 M ? N = (A)[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【解析】因为 M ? ?x | ?3 ? x ? 2? ,所以 M ? N ? ?x |1 ? x ? 2? ,故选 A. 考查集合的概念和运算,容 易题。 2.复数 z=

2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 2?i
(C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限 (B)第二象限 【解析】因为 z ? 容易题。

2 ? i (2 ? i) 2 3 ? 4i ? ? ,故复数 z 对应点在第四象限,选 D.考查复数的运算及几何意义, 2?i 5 5
a? 的值为 6

3.若点(a,9)在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan=

(A)0

(B)

3 3

(C) 1
a

(D)

3
a? 2? ? ? tan ? tan ? 3 ,故选 D.考查函数的概念,三角函 6 6 3

【解析】由题意知:9= 3 ,解得 a =2,所以 tan 数的计算,容易题。

4.曲线 y ? x 3 ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15

【解析】因为 y ? ? 3x 2 ,切点为 P(1,2),所以切线的斜率为 3,故切线的方程为 3x ? y ? 9 ? 0 ,令 x ? 0 得

y ? 9 ,故选 C。考查函数的导数的几何意义,切线的求法,容易题。

2 2 2 5.已知 a,b,c∈ R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a ? b ? c ≥3”,的否命题是 2 2 2 (A)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (B)若 a+b+c=3,则 a ? b ? c <3 2 2 2 (C)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c ≥3 2 2 2 (D)若 a ? b ? c ≥3,则 a+b+c=3

【解析】命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 ? p ,则 ? q ”,故选 A.考查四种命题的结构关系,容易题。
- 33 -

6.若函数 f ( x) ? sin ? x (ω>0)在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则 ω= ? 3? ?3 2? (A)

? ??

?? ? ?

2 3 (B) 3 2

(C) 2

(D)3

【解析】由题意知,函数在 x ?

?
3

处取得最大值 1,所以 1=sin

??
3

,故选 B.考查三角函数的性质,容易题。

? x ? 2y ?5 ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 ? x?0 ?
z ? 2 x ? 3 y ? 1的最大值为
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线 平移至点 A(3,1)时, 目标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 1取 z ? 2 x ? 3 y ?1 大值为 10,故选 B.考查线性规划的相关概念及计算,容易题。 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 得 最

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为
(A)63.6 万元 (B)65.5 万元 (C)67.7 万元 (D)72.0 万元 【解析】由表可计算 x ?

7 4? 2?3?5 7 49 ? 26 ? 39 ? 54 ? , y? ? 42 , 因 为 点 ( , 42) 在 回 归 直 线 2 4 2 4 7 ? ? ? ? ? ? ? y ? bx ? a 上,且 b 为 9.4,所以 42 ? 9.4 ? ? a , 解得 a ? 9.1 ,故回归方程为 y ? 9.4 x ? 9.1 , 令 x=6 得 2
? y ? 65.5,选 B.考查线性回归的概念和回归直线的计算等,容易题。

9.设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和
2

抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 (A)(0,2) (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)

【解析】设圆的半径为 r,则 r ? FM ? y0 ? 2 ,因为 F(0,2)是圆心, 抛物线 C 的准线方程为 y ? ?2 ,F 到 准线的距离为 4, 所以 y0 ? 2 ? 4 , y0 ? 2 , 选 C.考查抛物线的概念和性质,中档题。 10.函数 y ? y O

x ? 2 sin x 的图象大致是 2
y O y
- 34 -

y O

2?

x

2?

O x

2? x

2?

x

【解析】因为 y ?
'

1 1 1 ? 2 c o s , 所 以 令 y ' ? ? 2 c o s ? 0 得 cos x ? , 此 时 原 函 数 是 增 函 数 ; 令 x x , 2 2 4 1 1 y ' ? ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选 C 正确.考查函数的导 2 4

数的性质,函数图象等,中档题。 11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:① 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的 个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

正(主)视图

俯视图 【解析】对于 ① ,可以是放倒的三棱柱,容易判断② 可以.考查三视图的概念和性质,中档题。 ③ 12. 设 A , A2 , A3 , A4 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 两 两 不 同 的 四 点 , 若 A A3 ? ? A A2 (λ∈ , R) 1 1 1

?????

?????

????? ????? 1 1 R),且 ? ? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知点 C(c,o),D(d,O) (c,d∈ R) A1 A4 ? ? A1 A2 (μ∈ ? ?
调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C,D 可能同时在线段 AB 上 (D) C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【解析】由 A A3 ? ? A A2 (λ∈ R), A A4 ? ? A A2 (μ∈ R)知: 1 1 1 1 四点 A1 , A2 , A3 , A4 在同一条直线上,
- 35 -

?????

?????

?????

?????

因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且 考查平面向量的有关概念和计算,难题。

1

?

?

1

?

? 2 , 故选 D.

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就业倾向,用分 层 抽 样 的 方 法 从 该 校 这 四 个 专 业 共 抽 取 40 名 学 生 进 行 调 查 , 应 在 丙 专 业 抽 取 的 学 生 人 数 为 . 【解析】由题意知,抽取比例为 3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为 40 ? 算,容易题。 14.执行右图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出的 y 的值是 开始 输入非负整数 l,m,n 。

8 =16.考查分层抽样的计 20



l 2 ? m2 ? n2 ? 0



y ? 105

y ? 70l ? 21m ? 15n y ? y ? 105 y ? 105
否 输出 y 结束 是

【解析】由输入 l=2,m=3,n=5,计算得出 y=278,第一次得新的 y=173;第二次得新的 y=68<105,输出 y. 考查算法中流程图的意义和计算,容易题。

x2 y 2 x 2 y2 ? =1 有相同的焦点, 15.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 和椭圆 且双曲线的离心率是椭圆离心 a b 16 9
率的两倍,则双曲线的方程为 .

- 36 -

【解析】由题意知双曲线的焦点为 (? 7 ,0) 、 ( 7 ,0) ,即 c ?

7 ,又因为双曲线的离心率为

c 2 7 , ? a 4

2 所以 a ? 2 ,故 b ? 3 ,双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,考查双曲线、椭圆的方程和性质,基本量的计算, 4 3

容易题。 16. 已 知 函 数 f(x) loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2 < a < 3 < b < 4 时 , 函 数 f(x)的 零 点 =
* x0 ? ( n, n? 1) ,n? N 则 n = ,

.

【解析】方程 loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1) =0 的根为 x0 ,即函数 y ? loga x (2? a ? 3)的图象与函数

y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的 交 点 横 坐 标 为 x0 , 且 x0 ? (n, n ?1), n ? N * , 结 合 图 象 , 因 为 当 x ? a(2 ? a ? 3)
时 , y ? 1 , 此 时 对 应 直 线 上 y ? 1 的 点 的 横 坐 标 x ? 1 ? b ? (4,5) ; 当 y ? 2 时 , 对 数 函 数

(3 y ? l o a x ( ? a ? 的 图 象 上 点 的 横 坐 标 x ? (4,9) , 直 线 y ? x ? b ? b ? 4)的 图 象 上 点 的 横 坐 标 g 2 3)
x ? (5, 6) ,故所求的 n ? 5 .考查函数的零点、方程的解和函数图象的综合,是难题。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.【解析】考查三角函数的概念计算,解三角形的相关内容,容易题。 解 : (1) 由 正 弦 定 理 得

a?2

Rs

i A? 2 , Rs b n

i B ? 2 , Rs c n

i C n 所

以,

2 2sin C ? sin A c o s C 2 c - a = , 即 sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B , 即 有 b sin B sin C =2. sin(A ? B )? 2 sin( ? C ,即 sin C ? 2sin A ,所以 B ) sin A c sin C (2)由(1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦定理得: a sin A 1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a) 2 ? (2a) 2 ? a 2 ? 4a 2 ? ,解得 a=1,所以 b=2. 4 c o c s o A = s B
18.【解析】考查概率的概念和计算,主要是古典概型的概率计算,列举,容易题 (1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名, 所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、 (甲男 2, 乙男)、 (甲男 1, 乙 女 1)、(甲男 1, 乙女 2)、(甲男 2, 乙女 1)、(甲男 2, 乙女 2)、(甲女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2) 、(甲女, 乙 男),共 9 种;选出的 2 名教师性别相同的结果有(甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲女 1, 乙女 1)、(甲女 1, 乙女 2),共 4 种,所以选出的 2 名教师性别相同的概率为

4 . 9

(2)从报名的 6 名教师中任选 2 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲男 1, 乙女 1)、 (甲男 1, 乙女 2)、(甲男 2, 乙女 1)、(甲男 2, 乙女 2)、(甲女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男) 、 (甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、(乙男, 乙女 1)、(乙男, 乙女 2)、(乙女 1, 乙女 2),共
- 37 -

15 种;选出的 2 名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲 女)、(乙男, 乙女 1)、(乙男, 乙女 2)、(乙女 1, 乙女 2),共 6 种,所以选出的 2 名教师来自同一学校的概 率为

6 2 ? . 15 5

D1
A1

19. 【解析】考查空间线面的垂直、平行关系,容易题。 (Ⅰ )证明:因为 AB=2AD ,所以设 AD=a,则 AB=2a, 又因为 ?BAD= 60° ,所以在 ?ABD 中,由余弦定理得:

C1 B1

BD2 ? (2a)2 ? a2 ? 2a ? 2a ? cos60? ? 3a2 ,
所以 BD= 3a ,所以 AD ? BD ? AB ,故 BD⊥ AD
2 2 2

D

C

A ,又因为 D1D ? 平面 ABCD ,所以 D1D ? BD,又因为 AD ? D1D ? D , 所以 BD ? 平面 ADD1 A1 ,故 AA1 ? BD .

B

(2)连结 AC,设 AC ? BD=0, 连结 AO ,由底面 ABC D是平行四边形得:O 是 AC 的中点,由四棱台 1 平面 A1 B1C1 D1 ,因为这两个平面同时都和平面 ACAC1 相交,交线分别 ABCD ? A1B1C1D1 知:平面 ABCD∥ 1 为 AC、AC1 , AC ? AC1 , 故 又因为 AB=2a, BC=a, ?ABC=120? , 所以可由余弦定理计算得 AC= 7a , 1 1 又因为 A1B1=2a, B1C1=

3 7 OC a , ?A1B1C1 =120? ,所以可由余弦定理计算得 A1C1= a ,所以 A1C1∥ 2 2

且 A1C1=OC, 故四边形 OCC1A1 是平行四边形, 所以 CC1∥ 1O, CC1 ? 平面 A1BD, 1O ? 平面 A1BD, A 又 A 所以 CC1∥平面A1BD . 20.【解析】考查数列概念和性质,求通项公式和数列求和的有关方法,中档题。 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列 ?an ? 的通项公式

an ? 2 ? 3n?1 .
(Ⅱ )因为 bn ? an ? (?1)ln an = 2 ? 3
n?1

? (?1)ln 2 ? 3n?1 , 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ?

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ?ln an ) =
3n ? 1- ln(2n ? 3
n ( n ?1) 2

2(1 ? 3n ) n n 1 2 n?1 - ln a1a2 an = 3 ? 1- ln(2 ?1? 3 ? 3 ??? 3 ) = 1? 3
2 n (2 n ?1) 2

) ,所以 S 2n = 32 n ? 1 - ln(22 n ? 3

) = 9 n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 .

21.【解析】考查函数应用、数学建模能力,导数应用等,中档题。

- 38 -

解: )因为容器的体积为 (Ⅰ

80 4r 4? r 3 80? 80? ? ? r 2l ? 立方米,所以 ,解得 l ? 2 ? ,所以圆柱的侧面积 3r 3 3 3 3

为 2? rl = 2? r (

80 4r 160? 8? r 2 2 ? )? ? , 两 端 两 个 半 球 的 表 面 积 之 和 为 4? r , 所 以 3r 2 3 3r 3

y?

l 160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为(0, ). 2 r
'

160? 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 20 ( Ⅱ) 因 为 y ? ? 2 ? 16? r + 8? cr = , 所 以 令 y' ? 0 得 : r ? 3 ; 令 y' ? 0 2 r r c?2
得: 0 ? r ?
3

20 20 ,所以 r ? 3 米时, 该容器的建造费用最小. c?2 c?2

22.【解析】考查椭圆的概念性质,直线和椭圆的关系,考查探究、计算推理能力,难题。 解: )由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) , (Ⅰ

? y ? kx ? n ? 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6knx ? 3n2 ? 3 ? 0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x0 , y0 ) ,则 2 ? ? y ?1 ?3
?6 kn n ?3kn ?3kn ?k ? n ? ,即 x0 ? , y0 ? kx0 ? n ? ,所以中点 E 的坐 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k ?3kn n 1 m , ) ,因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kOE ? KOD ,即 ? ? ? ,解得 标为 E ( 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k 3 1 1 m ? ,所以 m2 ? k 2 = 2 ? k 2 ? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号,即 m2 ? k 2 的最小值为 2. k k
由韦达定理得: x1 ? x2 =

m ? ?y ? ? 3 x m ? (Ⅱ (i)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ? x ,所以由 ? 2 ) 得交点 G 的纵坐标为 3 x 2 ? ? y ?1 ?3 ?

yG ?

n m2 n m2 2 ? m? ,又因为 y E ? , yD ? m ,且 OG ? OD ? OE ,所以 2 ,又由(Ⅰ ) 2 2 1 ? 3k m ?3 1 ? 3k 2 m ?3
1 ,所以解得 k ? n ,所以直线 l 的方程为 l : y ? kx ? k ,即有 l : y ? k ( x ? 1) ,令 x ? ?1 得,y=0,与实 k

知: m ?

数 k 无关,所以直线 l 过定点(-1,0). (ii)假设点 B , G 关于 x 轴对称,则有 ? ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的中垂线上, 由(i)知点 G( (

?3 m ?3
2

,

m m ?3
2

) ,所以点 B( (

?3 m ?3
2

,

?m m2 ? 3

) ,又因为直线 l 过定点(-1,0),所以直线

- 39 -

?m
l 的斜率为

m 2 ? 3 ? k ,又因为 m ? 1 ,所以解得 m2 ? 1 或 6,又因为 3 ? m2 ? 0 ,所以 m2 ? 6 舍去, ?3 k ?1 2 m ?3
?3 1 1 ?3 1 , ) ,AB 的中垂线为 2x+2y+1=0,圆心坐标为 (? , 0) ,G( ( , ) , 4 4 2 2 2

即 n ? 1 ,此时 k=1,m=1,E (
2

圆半径为

1 2 5 5 2 ,圆的方程为 ( x ? ) ? y ? .综上所述, 点 B , G 关于 x 轴对称,此时 ? ABG 的外接圆的 2 4 2 1 2
2 2

方程为 ( x ? ) ? y ?

5 . 4

- 40 -

2012 一、选 择题:

参考答案:

(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B (12)解: 设 F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有且仅有两个不同零点 x1 , x2 .由

2 2 2 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b .这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 F (0) ? 1 ,故必有 F ( b) ? 0 3 3 3
由此得 b ? 故 x1 ? ? 二、填空题 (13)

33 2 2 .不妨设 x1 ? x2 ,则 x2 ? b ? 3 2 .所以 F ( x) ? ( x ? x1 )( x ? 3 2)2 ,比较系数得 ? x1 3 4 ? 1 , 2 3

1 1 x ?x 13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此知 y1 ? y2 ? ? ? 1 2 ? 0 ,故答案为 B. x1 x2 x1 x2 2 2

1 6

1 1 1 以△ ADD1 为底面,则易知三棱锥的高为 1,故 V ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? . 3 2 6

[来源:Zxxk.Com]

( 14)9 最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为 11÷0.22=50,最右面矩形面 积为 0.18×1=0.18,50×0.18=9. (15)

1 4

当 a ? 1 时, a2 ? 4, a?1 ? m , 有 此时 a ? 2, m ?

1 , 此时 g ( x) ? ? x 为减函数, 不合题意.若 0 ? a ? 1 , 2

1 1 则 a?1 ? 4, a2 ? m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16
(16) (2 ? sin 2,1 ? cos 2) 三、解答题 (17)(I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的
- 41 -

有 3 种情况,故所求的概率为 P ?

3 . 10

(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外,多出 5 种情况: 红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ?

8 . 15

(19)(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知, CO ? BD , 又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN , ∵ M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC.
?5a ? 10d ? 105, (20)(I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等 比数列, ∴ Sm ? (21)(I) e ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ??① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m, ?

- 42 -

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 ? 5 5 ?
2

当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,
| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t
| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5
[来源:学科网]

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

1 ? ln x ? k (22)(I) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (III)由(II)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 ,故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立. 当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 ,

- 43 -

所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 .

- 44 -

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