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【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:3导数1


各地解析分类汇编:导数 1
1【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】已知曲线 y ? 率为

x2 ? 3 ln x 的一条切线的斜 4

1 ,则切点的横坐标为( ) 2
B. 2 C. 1 D.

A. 3 【答案】A

1 2

【 解 析

】 函 数 的 定 义 域为 (0, ??) , 函 数 的 导 数 为

y'?

x 3 ,由 x 3 1 ,得 ? y'? ? ? 2 x 2 x 2

,选 A. x 2 ? x ? 6 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ?1 (舍去) 2【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】如图 3,直线 y=2x 与抛物线 y=3 -x 所围成的阴影部分的面积是
2

( A.



35 3
1

B. 2 2

C. 2 ? 3

D.

32 3

【答案】D 【解析】 S ? ? (3 ? x2 ? 2x)dx ?
?3

32 ,故选 D. 3

3【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】如图所示,曲线 y ? x 2 和曲线 y ? x 围成一

个叶形图(阴影部分) ,则该叶形图的面积是(



A.

1 2

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 3

【答案】D 【解析】由 ?
2 ? ?y ? x

? ?y ? x

,解得 ?

?x ? 1 ?x ? 0 或? ,所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为 ?y ?1 ?y ? 0

2 3 1 3 1 2 1 1 ?0 ( x ? x )dx ? ( 3 x 2 ? 3 x ) 0 ? 3 ? 3 ? 3 ,选 D.
1 2

4【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理) 】由直线 x ?

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 2 x

x 轴所谓成图形的面积为
A.

15 4

B.

17 4

C.

1 ln 2 2

D. 2 ln 2

【答案】D 【解析】根据积分的应用可知所求

?

2

1 2

1 dx ? ln x x

2 1 2

? ln 2 ? ln

1 ? 2ln 2 ,选 D. 2

5【 云 南 师 大 附 中 2013届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 三 ) 理 科 】 已知 f ( x ) 为R上的可导函数,且 ?x ? R, 均 有 f ( x) ? f ′(x),则有 ( )

A. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) B. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) C. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) D. e2013 f (?2013) ? f (0), f (2013) ? e2013 f (0) 【答案】A
f ?( x)e x ? (e x )? f ( x) f ?( x) ? f ( x) f ( x) ? , , 则 g ?( x) ? x (e x ) 2 ex e f ( x) 因为 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f ?( x) , 并且 e x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) ? x 在R上单调 e

【解析】构造函数 g ( x) ?

递减,所以 g (?2013) ? g (0) ,g (2013) ? g (0) ,即

f (?2013) f (2013) ? f (0) , 2013 e?2013 e

? f(0) ,也就

是 e2013 f (?2013) ? f (0) ,f (2013) ? e2013 f (0) ,故选A. 6【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理) 】曲线 y ? e 2 在点 4, e 坐标轴所围三角形的面积为
1 x

?

2

? 处的切线与

A. e2 【答案】A

B. 4e 2

C. 2e 2

D.

9 2 e 2

【解析】 y ' ?

x 1 1 1 1 ?4 1 1 e 2 ,所以在点 4, e2 的导数为 y ' ? e 2 ? e 2 ,即切线斜率为 k ? e 2 , 2 2 2 2

?

?

所以切线方程为 y ? e 2 ? 形的面积为

1 2 e ( x ? 4) ,令 x ? 0 得, y ? ?e2 ,令 y ? 0 ,得 x ? 2 .所以三角 2

1 ? 2 ? e 2 ? e 2 ,选 A. 2

7【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】函数 y ? ln x2 在x ? e2 处的切线 与坐标轴所围成的三角形的面积为 A.

9 2 e 2

B. Se ?
2

1 2

C. 2e 2

D . e2

【答案】D 【解析】 y' ?

1 2 2 ? 2 x ? , 所 以 在 x ? e2 处 的 切 线 效 率 为 k ? 2 , 所 以 切 线 方 程 为 2 x x e

y?4 ?

2 2 (x ? e ),令 x ? 0 ,得 y ? 2 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?e2 ,所以所求三角形的面积为 e2

1 ? 2 ? e 2 ? e 2 ,选 D. 2
【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测(理) 8 】 曲线 y ? ln ? x ? 2? 在点 P ? ?1,0? 处的切线方程是 A. y ? x ? 1 【答案】A 【解析】 y'? B. y ? ? x ? 1 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? ?2 x ? 1

1 1 ?1 , 所 以 切 线 方 程 为 ,所以在点 P 处的切线斜率 k ? x?2 ?1 ? 2

y ? x ?( ? 1) ? x ?1 ,选 A.
9 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 20l3 届 高 三 第 二 次 质 量 检 测 ( 理 )】 由 直 线

x?
1 2

?
3

,x ?

2? , y ? 0与y ? sin x 所围成的封闭图形的面积为 3
C.

A.

B.1

3 2

D. 3

【答案】B 【 解 析 】 由 积 分 的 应 用 得 所 求 面 积 为

??

2? 3

sin xdx ? ? cos x

?

2? 3 3

? ? cos

3

2? ? ? ? cos ? 2cos ? 1 ,选 B. 3 3 3

10 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 已知函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (1) ? 1 , 且 f ( x) 的导函数 f ' ( x ) ? A.

1 x 1 ,则 f ( x ) ? ? 的解集为 2 2 2
B.

?x ? 1 ? x ? 1?
x 2

?x x ? ?1?
1 2

C.

?x x ? ?1或x ? 1?

D. x x ? 1

?

?

【答案】D

1 1 2 2 1 1 F '( x) ? f '( x ) ? ,对任意 x ? R ,有 F ( ' x) ? f ( 'x ) ? ? 0 ,即函数 F ( x) 在 R 上单调递减, 2 2 x 1 则 F ( x) ? 0 的解集为 (1, ??) ,即 f ( x ) ? ? 的解集为 (1, ??) ,选 D. 2 2
【解析】设 F ( x) ? f ( x) ? ( ? ) , 则 F (1) ? f (1) ? ( ? ) ? 1 ? 1 ? 0 , 11 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】 函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d
3 2

的大致图象如图所示,则 x12 ? x22 等于

A.

8 9

B.

10 9

C.

16 9

D.

28 9

【答案】C 【 解 析 】 函 数 过 原 点 , 所 以 d ? 0 。 又 f (? 1)? 0 且 f (2) ? 0 , 即 ?1 ? b ? c ? 0 且

, ?? 2 8 ? 4b ? 2c ? 0 , 解 得 b ? ?1 c , 所 以 函 数 f ? x ? ? x3 ? x2 ? 2x 。 所 以
,由题意知 x1 , x2 识函数的极值点,所以 x1 , x2 是 f '( x) ? 0 的两个根, f '? x ? 2 ? ? 32 x ? 2 x

2 2 4 4 16 2 2 2 , x1 x2 ? ? ,所以 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ? ? 。 3 3 9 3 9 1 x 12【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】曲线 y ? ( ) 在 x ? 0 点处的切线方程是 2
所以 x1 ? x2 ? A. x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 【答案】B B. x ln 2 ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

【解析】 y ' ? ( ) x ln

1 2

1 1 ? ? ln 2 ? ( ) x , y ' | x ?0 ? ? ln 2 即切线的斜率为-ln2.切点为 (0,1) ,所以 2 2

②③④切线方程为 y ? 1 ? ? ln 2 ? ( x ? 0) ,即 x ln 2 ? y ? 1 ? 0 ,选 B. 13【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩 形区域,E 是 D 内位于函数 面积为

y?1 x ( x ? 0) 图象下方的阴影部分区域,则阴影部分 E 的

A. ln 2 【答案】D

B. 1 ? ln 2

C. 2 ? ln 2

D. 1 ? ln 2

【解析】 S ? 1 ? 1 ?

?

2

1

1 2 dy ? 1 ? ln y |1 ? 1 ? ln 2. 故选 D. y

14【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理) 】已知 t ? 0 ,若 则t= A.1 【答案】D 【解析】由 D. B.-2 C.-2 或 4 D.4

?0 (2 x ? 2)dx ? 8 ,

t

?0 (2 x ? 2)dx ? 8 得, ( x

t

2

? 2 x) t0 ? t 2 ? 2t ? 8 ,解得 t ? 4 或 t ? ?2 (舍去) ,选

15【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的 导数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f ( x) 的值域为 [0,??) ,则

f (1) 的最小值为( f ' (0)
3 2



A.3 【答案】C

B.

5 2

C.2

D.

【解析】 f '( x ) ? 2ax? b, f '(0) ? b ? 0 ,函数 f ( x) 的值域为 [0,??) ,所以 a ? 0 ,且

4ac ? b 2 ? 0 , 即 4ac ? b2 , , 所 以 c ? 0 。 所 以 f ( 1?) a ? b ? , c 所 以 4a

f( 1 ) a ? b ? c ?a c 2 ? ? 1 ? 1? ? f' ( 0 ) b b b

a c 1 ?

4 ? b

1

a c ,所以最小值为 2,选 C. ? 1 ? 2 ?

16 【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】 已知函数 y ? f ? x ? 是定义在实数集 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0, f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0 ( 其 中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的 导 函 数 ) ,设

? ? a ? ? log 1 4 ? ? 2 ?

? ? f ? log 1 4 ? , b ? 2 f ? 2 ?

1? ? 2 ?, c ? ? ? lg ? ? 5?

? 1? f ? 1g ? ,则 a,b,c 的大小关系是 ? 5?
A. c ? a ? b 【答案】C 【 解 析 】 令 函 数 F ( x) ? xf ( x) , 则 函 数 F ( x) ? xf ( x) 为 偶 函 数 . 当 x ? 0 时 , B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b

F ' (x ? )

f ( x?) x f ' (? x)

, 0

















a ? F (log 1 4) ? F (? log2 4) ? F (?2) ? F (2) , b ? F ( 2) ,
2

1 c ? F (lg ) ? F (? lg 5) ? F (lg 5) ,因为 0 ? lg5 ? 1 ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? c ,选 C. 5
17 【 山 东省 实 验中 学 2013 届 高 三第 二 次诊 断 性测 试 理 】我 们 常用 以 下方 法 求形 如

y ? f ( x) g ( x) 的函数的导数:先两边同取自然对数得: ln y ? g ( x) ln f ( x) ,再两边同时求导
得 到 :

1 ' 1 ? y ? g ' ( x) l f n ( x) ? g ( x) ? ? f ' ( x) y f ( x)













y' ? f ( x) g ( x ) [ g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ?
递增区间是 A. ( e ,4) 【答案】C B. (3,6)

1 ? f ' ( x)] ,运用此方法求得函数 y ? x x 的一个单调 f ( x)

1

C(0, e )

D. (2,3)

【 解 析 】 由 题 意 知 f ( x ) ? x, g ( x ) ?

1 , 则 f ' ( x ?) x

1 1 g, ? x' ? ( , ) 所 以 x2

1 1 1 1 1 1 ? ln x , 由 1? l x n x y ' ? x [? 2 ln x ? ? ] ? x y' ? xx ? 0 得 1 ? ln x ? 0 , 解 得 2 2 x x x x x 1 x

0 ? x ? e ,即增区间为 (0, e) ,选 C.
18 【 山东 省 济南 外国 语学 校 2013 届高 三上 学期 期中 考 试 理科 】若 a>0,b>0, 且函 数

f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值()
A.2 【答案】D
2 【 解 析 】 函 数 的 导 数 为 f ' (x ) ? 12 x?

B.3

C.6

D.9

2 ax ?

, 2 b 函 数 在 x ?1 处 有 极 值 , 则 有

f ' ( 1? )

a ? b ? 6, 即0 所以 6 ? a ? b ? 2 ab , 即 ab ? 9 , 当且仅当 a ? b ? 3 1? 2 a2 ? b2 ?,

时取等号,选 D. 19【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】由直线 x ? ? 曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0与

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D. 3

【答案】D 【
?
3






?
3 ?





























? ? cos xdx ? sin x
? 3

?
3

? sin

?

? sin(? ) ? 2sin ? 3 ,选 D. 3 3 3

?

?

20【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2,对任意 x ? R , f '( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为( A.(-1,1) 【答案】B 【解析】设 F ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 4) ,则 F (?1) ? f (?1) ? (?2 ? 4) ? 2 ? 2 ? 0 , B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) )

D.(-∞,+∞)

F '( x) ? f '( x) ? 2 ,对任意 x ? R ,有 F '( x) ? f '( x) ?2 ?0 ,即函数 F ( x) 在 R 上单调递增,
则 F ( x) ? 0 的解集为 (?1, ??) ,即 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (?1, ??) ,选 B. 21【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】若函数 y ? e
( a ?1) x

? 4x ( x ? R )

有大于零的极值点,则实数 a 范围是 A. a ? ? 3 【答案】B 【解析】解:因为函数 y=e x0 =
(a-1 )x



) D. a ? ?

B. a ? ? 3

C. a ? ?

1 3

1 3

+4x,所以 y′=(a-1)e

(a-1 )x

+4(a<1) ,所以函数的零点为

1 4 1 4 ,因为函数 y=e(a-1 )x +4x(x∈R)有大于零的极值点,故 =0, ln ln a ? 1 ?a ? 1 a ? 1 ?a ? 1

得到 a<-3,选 B 22.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】若曲线 f ( x) ? 处的切线分别为 l1 , l2 , 且l1 ? l2 , 则a 的值为 A.—2 【答案】A 【解析】f '( x) ? 所以 k1k2 ? B.2 C.

x , g ( x) ? xa 在点P(1,1)

1 2

D .—

1 2

1 2 x

, 所以在点 P 的效率分别为 k1 ? g '( x) ? ? x? ?1 ,

1 , k2 ? ? , 因为 l1 ? l2 , 2

?
2

? ?1 ,所以 ? ? ?2 ,选 A.

23.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】设 a ? cos xdx, b ? sin xdx, 下
0 0

?

1

?

1

列关系式成立的是( A

)

a?b

B

a ?b ?1

C

a?b

D

a ?b ?1

【答案】A

? sin 【 解 析 】 a ? c o sx d x 0x ?
1 0

?

1

s in b1 ? ? sin xdx ? (? cos x) 1 , 0 ? 1 ? cos1 , 所 以
0

1

a ? s i n? 1

? 1 ? 1 1 1 1 s i? n ,又 cos1 ? cos ? ,所以 ? cos1 ? ? , b ? 1 ? cos1 ? 1 ? ? , 6 2 3 2 2 2 2
1 x ? ln x( x ? 0) , 3

所以 a ? b ,选 A. 24.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】设函数 f ( x) ? 则 y ? f ( x) ( )

1 e 1 B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点 e
A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点

1 e 1 D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点 e
C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点 【答案】D

e 1 1 1 f (e) ? ? 1 ? 0,f (1)= ? 0,f ( ) ? ? 1 ? 0 3 3 e 3e 【解析】 ,根据根的存在定理可知,选 D.
25. 【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 已知 a ? 0 函数 f ( x) ? x 3 ? ax 在 [1,??) 是单调增函数,则 a 的最大值是 ( A.0 【答案】D 【 解 析 】 函 数 的 导 数 f '( x) ? 3x2 ? a , 要 使 函 数 在 [1,??) 是 单 调 增 函 数 , 则 有 B.1 ) C.2 D.3

f '( x) ? 3x2 ? a ? 0 横成立,即 a ? 3x2 ,又 3x 2 ? 1 ,所以 a ? 3 ,即 a 的最大值是 3,选 D.

26【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】函数



图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( A. 【答案】A 【解析】根据积分的应用可求面积为 S ? B. 1

) C. 2 D.

?

?

2 ?1

f ( x)dx ? ? ( x ? 1)dx ? ? 2 cos xdx
?1 0

0

?

1 ? ( x 2 ? x) 2

0 ?1

? sin x

?
2 0

?

1 3 ? 1 ? ,选 A. 2 2
1 cos x , 则 x

27 【 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 已 知 函 数 f ( x ) ?

f (? ) ? f ? ( )? 2 2 3 A. ? B.

?

?

?

C. ?

1

?

D. ?

3

?

【答案】D 【解析】因为 f ( x) ?

1 1 1 1 cos x, 所以 f '( x) ? ? 2 cos x ? sin x ,所以 f (? ) ? ? , x x x ?

? 2 ? 3 f '( ) ? ? ,所以 f (? ) ? f ?( ) ? ? ,选 D. 2 ? 2 ?
28 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试 理】已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 2 x ? 1, 若

?

1

?1

f ( x)dx ? 2 f (a) ,则 a ? ___________ .
1 3
1 ?1 1 ?1

【答案】 a ? ?1 或 a ? ? 【解析】因为

?

1

?1

f ( x)dx ? ? (3x2 ? 2 x ? 1)dx ? ( x3 ? x 2 ? x)

?4

,所以 2 f (a ) ? 4,即

f (a ) ? 2,所以

f (a) ? 3a2 ? 2a ? 1 ? 2 ,即 3a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 或

1 a?? 。 3


29【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】

?

3

2

( x?

1 2 ) dx = x

【答案】

9 3 + ln 2 2

【解析】

?

3

2

( x?

3 1 2 1 1 ) dx ? ? ( x ? ? 2)dx ? ( x 2 ? ln x ? 2 x) 2 x 2 x

3 2

?

9 3 + ln 2 2

30 【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】 曲线 xy ? 1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平 面图形的面积为_________. 【答案】4-ln3 【解析】 由 xy ? 1 得 y ?

? xy ? 1 ?y ? 3 1 1 1 。 当 y ? ?3, 解得 xB ? , 由? , 解得 xC ? 1 , 由? x x 3 ?y ? x ?y ? x
以 根 据 积 分 的 应 用 知 所 求 面 积 为


1

xD ? 3

.
3



? (3 ? x )dx ? ?
1 3

1

1 1 3 (3 ? x)dx ? (3x ? ln x) 1 ? (3x ? x 2 ) 1 ? 4 ? ln ? 4 ? ln 3 1 1 2 3 3

.

31【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 设 m ? 则 m 与 n 的大小关系为 。

? e dx, n ? ?
x 0

1

e

1

1 dx , x

【答案】m>n 【解析】 m ?

? e dx ? e
x 0

1

x 1 0

e ? 1 ,所以 m ? n ? e ? 1 , n ? ln x 1

32【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】

?

1

?1

( 1 ? x2 ? x)dx ?

.

? 【答案】 2

【解析】

?

1

?1

( 1 ? x2 ? x)dx ? ?

1

?1

1 ? x2 dx ? ? xdx
?1

1

, 根据积分的几何意义可知

?

1

?1

1 ? x 2 dx

等 于 半径 为 1 的半 圆的 面积 ,即

?

1

?1

1 ? x 2 dx ?

?
2



?

1

?1

xdx ?

1 2 x 2

1 ?1

?0 ,所以

?

( 1? x 2 ? x )d x? . ?1 2

1

?

33【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】由曲线 x ? ?1, x ? 0, y ? e x 以 及 x 轴所围成的面积为 ______ 【答案】 1 ? .

1 e

【解析】 S ?

?

0

?1

e x dx ? e x

0 1 ? e0 ? e?1 ? 1 ? . ?1 e

【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】 【答案】 5 ? e 【解析】
2

?

2

0

(2 x ? e x )dx =___.___.

?

2

0

2 (2 x ? e x )dx ? ( x2 ? e x ) 0 ? 4 ? e2 ? 1 ? 5 ? e2 .

34 【 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 已 知 函 数

f

?x ??

1 1 3 A? x0 , y0 ? 处的切线斜率为 1, n t x ? sin x ? co s x 的图像在点 则a 2 4 4

x0 ? ___.___.

【答案】 ? 3 【解析】函数的导数 f '( x) ?

1 1 3 1 1 3 ? cos x ? sin x ,由 f '( x) ? ? cos x0 ? sin x0 ? 1 2 4 4 2 4 4

得 ?

? ? ? 1 3 x0 (? ? ) ,1所 以 x0 ? ? 2k? ? , k ? Z , 即 cos x0 ? sin x0 ? 1 , 即 s i n 6 6 2 2 2

x0 ? 2k? ?

2? 2? 2? , k ? Z . 所以 tan x0 ? tan(2k? ? ) ? tan ?? 3. 3 3 3 3 2 1 x ? x ? 的某一 2 2


35【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理) 】若曲线 y ? 切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,则切点坐标为 【答案】 (1, 2) , y ? 4 x ? 2

,切线方程为

【解析】函数的导数为 y ' ? 3x ? 1 ,已知直线 y ? 4 x ? 3 的斜率 k ? 4 ,由 3x ? 1 ? 4 ,解得 切点的横坐标 x ? 1 ,所以 y ? 2 ,即切点坐标为 (1, 2) ,切线方程为 y ? 2 ? 4( x ? 1) ,即

y ? 4x ? 2 。
36【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】曲线 y ? 2 x2与x 轴及直线 x ? 1 所围成图 形的面积为 【答案】 .

2 3

【解析】根据积分的应用知所求面积 S ?

? 2 x dx ? 3 x
2 0

1

2

3 1 0

?

2 . 3

37 【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学 (理) 】 已知函数 f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x 2 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式 则实数 a 的取值范围为 【答案】 [15,??) .

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立, p?q

【 解 析 】

f ( p? 1 ) ? f (q? 1 ) f ( ? p ? 1)f ? q( 1) , 表 示 点 ( p ? 1 ,f ( ? ? p p? q ( p? 1 ) ? (q ? 1 )

与 1 )点 )

(q ? 1 ,f ? q (

连线的斜率,因为 1)) 0 ? p, q ? 1 ,所以 1 ? p ? 1 ? 2 , 1 ? q ? 1 ? 2 ,即函

数图象在区间 (1, 2) 内任意两点连线的斜率大于 1,即 f '( x) ? 1 在 (1, 2) 内恒成立。由定

a a ? 2x ? 1, ? 1? 2x , 即 所以 a ? ( 1 ? 2 x)( x ? 1) x ?1 x ?1 3 7 成立。设 y ? ( 1 ? 2 x)( x ? 1) ,则 y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 2( x ? ) 2 ? ,当1 ? x ? 2 时,函数 4 8 3 2 7 y ? 2( x ? ) ? 的最大值为 15,所以 a ? 15 ,即 a 的取值范围为 [15,??) 。 4 8
义域可知 x ? ?1 , 所以 f '( x) ? 38 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 计 算 :

x ?? ?
1

2

?

2

1? ? ? dx ? _____________. x?
7 ? ln 2 3

【答案】

【解析】 ? x 2 ?
1

??

2

?

1? 1 3 7 2 ? dx ?( x ? ln x) 1 ? ? ln 2 . x? 3 3

39【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不 同的零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (?2, 2) 【解析】由 f ( x) ? x3 ? 3x ? a ? 0 ,得 f '( x) ?3 x 2 ?3 ,当 f '( x) ?3 x 2 ?3 ?0 ,得 x ? ?1 , 由图象可知 f极大值 (?1)=2 ? a,f极小值 (1)=a ? 2 , 要使函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的零 点,则有 f极大值 (?1)=2 ? a ? 0, f极小值 (1)=a ? 2 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围 是 (?2, 2) 。 40【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】计算 【答案】 e ? .

?

1

-1

(2 x+e x )dx =



1 e
1 ?1

【解析】

?

1

-1

2 x (2 x+e x )dx ? ( x ? e )

1 1 =1 ? e ? 1 ? ? e ? e e

41【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理) 】已知函数 f ( x) 的定义域[-1,5] , 部分对应值如表, f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示, x F(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

下列关于函数 f ( x) 的命题; ①函数 f ( x) 的值域为[1,2] ;

②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数; ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 【答案】①②④ 【解析】由导数图象可知,当 ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,函数单调递增,当 .

0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 , f ' ( x) ? 0 ,函数单调递减,当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数取得极大值
f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,当 x ? 2 时,函数取得极小值 f (2) , ,又 f (?1) ? f (5) ? 1 ,所以函数
的最大值为 2,最小值为 1,值域为 [1, 2] ,①正确;②正确;因为在当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数 取得极大值 f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,要使当 x ? [?1, t ] 函数 f ( x) 的最大值是 4,当 2 ? t ? 5 , 所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f ( x) ? a 知,因为极小值 f (2) ? 1.5 ,极大值为 ,所以当 1 ? a ? 2 时, y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点,所以④正确,所以真 f (0) ? f (4)? 2 命题的序号为①②④. 42【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】若函数 f ? x ? ? x ? 3x ? a 有
3

三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 (?2, 2) 【解析】函数的导数为

f ' ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 3( x2 ?1) ,所以

x ? 1 和 x ? ?1 是函数的两个极值,

由题意知,极大值为 f (?1) ? 2 ? a ,极小值为 f (1) ? ?2 ? a ,所以要使函数 f ( x ) 有三个不 同的零点,则有 2 ? a ? 0 且 ?2 ? a ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 ,即实数 a 的取值范围是 (?2, 2) 。


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