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高考数学压轴题精编精解精选100题详细解答(4)


31.设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? b ? c) ,其图象在点 A(1, f (1)), B(m, f (m)) 处的切线 的斜率分别为 0, ? a . (Ⅰ)求证: 0 ≤

1 3

b ?1; a

(Ⅱ)若函数 f ( x) 的递增区间为 [ s, t ] ,求 | s ? t

| 的取值范围; (Ⅲ)若当 x ≥ k 时(k 是与 a , b, c 无关的常数) ,恒有 f ?1 ( x) ? a ? 0 ,试求 k 的最小 值.

32.如图,转盘游戏.转盘被分成 8 个均匀的扇形区域.游戏规则:用力旋转转盘,转盘停 止时箭头 A 所指区域的数字就是游戏所得的点数(转盘停留的位置是随机的) .假设箭头指 到区域分界线的概率为 0.1 ,同时规定所得点数为 0.某同学进行了一次游戏,记所得点数 为 ? .求 ? 的分布列及数学期望. (数学期望结果保留两位有效数字)

33.设 F1 , F2 分别是椭圆 C : (1) 当 P ?C , 且P F 1P F

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) 的左,右焦点. 6m 2 2m 2
2

求椭圆 C 的左, 右焦点 F1 、F2 . ? 0 ,| PF1 | ? | PF2 |? 8 时, 过动点 Q 的作 F2 F2 的半径是 1,

(2)F1 、F2 是 (1) 中的椭圆的左, 右焦点, 已知

切线 QM ,使得 QF 1 ? 2 QM ( M 是切点) ,如下图.求动点 Q 的轨迹方程.

y

Q (x, y)

M F1 O F2 x

34.已知数列 ?an ? 满足

a1 ? 5 , a2 ? 5 , an?1 ? an ? 6an?1 (n ? 2) .
(1)求证: ?an?1 ? 2an ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 3n bn ? n(3n ? an ) ,且 b1 ? b2 ? ? bn ? m 对于 n ? N ? 恒成立,求 m 的取值范

x2 ) x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? k 35.已知集合 D ? ?( x1 ,
(1)设 u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围; (2)求证:当 k ? 1 时不等式 (

. ? (其中 k 为正常数)

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立; x1 x2 2 k

(3)求使不等式 (

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立的 k 2 的范围. x1 x2 2 k

36、已知椭圆 C:

x2 y2 6 + =1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直 2 2 3 b a

线交椭圆 C 于 A,B 两点,N 为弦 AB 的中点。 (1)求直线 ON(O 为坐标原点)的斜率 KON ; (2) 对于椭圆 C 上任意一点 M , 试证: 总存在角 ?( ? ∈R) 使等式: OM =cos ? OA +sin ? OB 成立。

37、已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l : y ? ?2 的距离小 1。 (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 P(2,2)的直线 m与曲线C交于A, B两点, 设AP ? ? PB. ①当 ? ? 1 时, 求直线m 的方程; ②当△AOB 的面积为 4 2 时(O 为坐标原点) ,求 ? 的值。

38 、 已 知 数 列 {an } 的 前

n 项 和 为 S n , 对 一 切 正 整 数 n , 点 Pn (n, S n ) 都 在 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n .
(1)求数列 {an } 的通项公式. (2)若 bn

? 2 kn an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

? ? ( 3 ) 设 Q ? {x x ? k n , n ? N }, R ? {x x ? 2a n , n ? N } , 等 差 数 列 {cn } 的 任 一 项

cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115 ,求 {cn } 的通项公
式.

39、已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 中 n ? 2, n ? N .
*

3 ? , a2 ? 2 ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ,其 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)(理科)计算 lim n ??

Sn ? n 的值. ( 文科) 求 S n . an

1 40、函数 f ( x) 对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1-x)= . 2

n ?1 )( n ? N ) 的值; n 1 2 n ?1 ) ? f (1), 求数列{a n } 的通 (2) 数列 {a n }满足 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n
(1)求 f ( )和f ( ) ? f (

1 2

1 n

项公式。 (3) 令 bn ?

4 4a n ? 1

2 2 , Tn ? b12 ? b2 ? b32 ? ? ? bn , S n ? 32 ?

16 试比较 Tn 与 Sn 的大小。 n

参考答案 31.解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ,由题意及导数的几何意义得

f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 ,

(1) (2) ………………2 分

f ?(m) ? am2 ? 2bm ? c ? ?a ,

又 a ? b ? c ,可得 4a ? a ? 2b ? c ? 4c ,即 4 a ? 0 ? 4c ,故 a ? 0, c ? 0, ………3 分 由(1)得 c ? ? a ? 2b ,代入 a ? b ? c ,再由 a ? 0 ,得

1 b ? ? ?1, 3 a
故其判别式 ? ? 4b2 ? 8ab ≥0 得

(3)

……………………4 分

将 c ? ? a ? 2b 代入(2)得 am2 ? 2bm ? 2b ? 0 ,即方程 ax 2 ? 2bx ? 2b ? 0 有实根.

b b ≤ ?2 ,或 ≥0 , a a b 由(3) , (4)得 0 ≤ ? 1 ; a

(4)

……………………5 分 ……………………6 分

(Ⅱ)由 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c 的判别式 ?? ? 4b2 ? 4ac ? 0 , 知方程 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 (?) 有两个不等实根,设为 x1 , x2 , 又由 f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 知, x1 ? 1 为方程( ? )的一个实根,则有根与系数的关系得

x1 ? x2 ? ?

2b 2b , x2 ? ? ? 1 ? 0 ? x1 , a a

……………………9 分

当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x2 ? x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ,

故函数 f ( x) 的递增区间为 [ x2 , x1 ] ,由题设知 [ x2 , x1 ] ? [ s, t ] , 因此 | s ? t |?| x1 ? x2 |? 2 ?

2b b ,由(Ⅰ)知 0 ≤ ? 1 得 | s ? t | 的取值范围为 [2, 4) ;…12 分 a a

(Ⅲ)由 f ?( x) ? a ? 0 ,即 ax2 ? 2bx ? a ? c ? 0 ,即 ax2 ? 2bx ? 2b ? 0 ,

b b b x ? 2 ? ? 0 ,整理得 (2 x ? 2) ? x2 ? 0 , a a a b b b 设 g ( ) ? (2 x ? 2) ? x2 ,可以看作是关于 的一次函数, a a a b b 由题意 g ( ) ? 0 对于 0 ≤ ? 1 恒成立, a a
因为 a ? 0 ,则 x2 ? 2 ?

? x 2 +2 x ? 2≥0, ? g (?1)≥0, ? 故? 即? 2 得 x ≤ ? 3 ? 1 或 x≥ 3 ? 1 , ? g (0) ? 0, ? ? x ? 0,
由题意, [k , ??) ? (??, ? 3 ? 1] [ 3 ? 1, ??) , 故 k≥ 3 ? 1 ,因此 k 的最小值为 3 ? 1 . ……………………16 分

32. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意,随机变量 ξ 的取值是 0,1,6,8. P(ξ=0)= 0.1 ,P(ξ=1)= ? 0.9 ,P(ξ=6)= 得 ? 分布列: ……6 分

3 8

3 2 ? 0.9 ,P(ξ=8)= ? 0.9 . 8 8

?
Pi
(2)

0

1

6

8

0 .1

3 ? 0 .9 8

3 ? 0 .9 8

2 ? 0 .9 8

E? = 0 ? 0.1 ?

3 3 2 ? 0.9 ? 1 ? ? 0.9 ? 6 ? ? 0.9 ? 8 ? 4.2 .……12 分 8 8 8
又∵ PF ∴ 1 ? PF 2 ?0
2

33. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ c 2 ? a 2 ? b2 ,∴ c 2 ? 4m2 .……2 分

PF1 ? PF2 ,…………3 分

∴ PF1 ? PF2

2

2

? ? 2c ? ? 16m 2 .……5 分

由椭圆定义可知 PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 6m , PF1 ? PF2

?

?

2

? 16m2 ? 8 ? 24m2 ,…6 分

0? 、 F2 ? 2, 0? . …………7 分 从而得 m2 ? 1 , c2 ? 4m2 ? 4 , c ? 2 . ∴ F1 ? ?2,
(2)∵F1(-2,0) ,F2(2,0) ,
2 2

由已知: QF 1 ? 2 QM ,即 QF 1 ? 2 QM ,所以有: QF1 ? 2 QF2 ? 1 ,

2

?

2

?

设 P(x,y) ,
2

…9 分

则 ? x ? 2 ? ? y ? 2 ?? x ? 2 ? ? y ? 1? ,…12 分
2 2 2

?

2

?

2 即 ? x ? 6 ? ? y ? 32 (或 x2 ? y 2 ?12x ? 4 ? 0 ) 2 综上所述,所求轨迹方程为: ? x ? 6 ? ? y ? 32 .…14 分 2

y

Q (x, y)

M F1 O 34. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2) ∵a1=5,a2=5 ∴a2+2a1=15 故数列{an+1+2an}是以 15 为首项,3 为公比的等比数列 …………5 分 n n+1 (2) 由 (1) 得 an+1+2an=5· 3 由待定系数法可得(an+1-3 )=-2(an-3n) - - an-3n=2(-2)n 1 故 an=3n+2(-2)n 1=3n-(-2)n ………9 分 2 (3)由 3nbn=n(3n-an)=n[3n-3n+(-2)n]=n(-2)n,∴bn=n(- )n 3 2 2 2 2 令 Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|= +2( )2+3( )3+…+n( )n 3 3 3 3 2 2 2 2 2 + S =( )2+2( )3+…+(n-1)( )n+n( )n 1 3 n 3 3 3 3 …………11 分 F2 x



2 2 [1-( )n] 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 得 Sn= +( )2+( )3+…+( )n-n( )n+1= -n( )n+1=2[1-( )n]-n( )n+1 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1- 3 2 2 ∴ Sn=6[1-( )n]-3n( )n+1<6 3 3 要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m 对于 n∈N 恒成立,只须 m≥6


…14 分

35. (本小题满分 14 分)解: (1)

x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 k 2 k x1 ? x2 ? ) ? 2 时等号成 2 4 ,当且仅当

立,故 u 的取值范围为

(0,

k2 ] 4 .……5 分
( x x 1 1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1

(2)解法一(函数法)

2 x12 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? x1 x2 ? ? ? x1 x2 ? ?2?u? ? 2 ……6 分 x1 x2 x1 x2 x1x2 u
2 k 2 ?1 k2 2 f ( u ) ? u ? ? 2 在 (0, k ] 上是增函数, ……7 由0 ? u ? , 又 k ?1, ∴ k ?1 ? 0 , u 4 4



k 2 k 2 ?1 k2 4 2 k 2 1 1 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 k ?1 2 所以 ( ? x1 )( ? x2 ) ? u ? ?2 4 k 4 k k 2 x1 x2 u 4
即当 k ? 1 时不等式 (

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 成立. ………9 分 x1 x2 2 k

解法二(不等式证明的作差比较法)

(

1 1 k 2 x x 1 4 k2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? )2 ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 x1 x2 2 k x1 x2 x2 x1 k 4

?

x x k 2 ? 4 x1 x2 k 2 ? 4 x1 x2 ( x1 ? x2 )2 1 4 k2 ? 2 ? ( ? x1 x2 ) ? ( 1 ? 2 ? 2) ? ? ? , x1 x2 k 4 x2 x1 k 2 x1 x2 4 x1 x2
2 2

将 k ? 4x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 代入得

(

1 1 k 2 ( x ? x )2 (4 ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ) ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 ? 1 2 , x1 x2 2 k 4k 2 x1 x2
2 2 2 2 2

……6 分

∵ ( x1 ? x2 ) ? 0 , k ? 1 时 4 ? k x1x2 ? 4k ? 4(1 ? k ) ? k x1x2 ? 0 ,∴

1 1 k 2 2 ( x1 ? x2 )2 (4 ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ) ? 0 ,即当 k ? 1 时不等式 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 成 2 x1 x2 2 k 4k x1 x2
立.……………9 分 (3)解法一(函数法) 记(
2 2 1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? u ? 1 ? k ? 2 ? f (u ) ,则 ( k ? 2 ) 2 ? f ( k ) , x1 x2 u 2 k 2

即求使 f (u ) ? f (

k2 k2 对 ) u ? (0, ] 恒成立的 k 的范围. 4 4

…………10 分

由(2)知,要使 (

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立,必有 0 ? k ? 1 , x1 x2 2 k

因此 1 ? k 2 ? 0 ,∴函数 f (u ) ? u ? 增,………12 分 要使函数 f (u ) 在 (0,

1? k 2 ? 2 在 (0, 1 ? k 2 ] 上递减,在 [ 1 ? k 2 , ??) 上递 u

k2 k2 k2 上恒有 , 必有 即 k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0 , ] f (u ) ? f ( ) ? 1? k 2 , 4 4 4
……………14 分

解得 0 ? k 2 ? 4 5 ? 8 .

解法二(不等式证明的作差比较法) 由(2)可知 (

1 1 k 2 ( x ? x )2 (4 ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ) ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? )2 ? 1 2 , x1 x2 2 k 4k 2 x1 x2
2 2

要不等式恒成立,必须 4 ? k x1 x2 ? 4k ? 0 恒成立, 分

…………10

4 ? 4k 2 即 x1 x2 ? 恒成立, k2
分 由 0 ? x1 x2 ? 分 解得 0 ? k 2 ? 4 5 ? 8 . 因此不等式 ( 分 36、解:(1)设椭圆的焦距为 2c,因为
2 2

…………11

k 2 k 2 4 ? 4k 2 得 ,即 k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0 , ? 2 4 4 k

…………13

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 恒成立的 k 2 的范围是 0 ? k 2 ? 4 5 ? 8 . ……14 x1 x2 2 k

a2 ? b2 2 c 6 ? ,故有 a 2 ? 3b 2 。从 ,所以有 ? 2 3 a 3 a
2

而椭圆 C 的方程可化为: x ? 3 y ? 3b 易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ) ,



………2 分

据题意有 AB 所在的直线方程为: y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2

② ③

………3 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x0 , y0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 ?

x1 ? x2 3 2b 2 ? , y0 ? x0 ? 2b ? ? b. 2 4 4

所以 K ON ?

y0 1 ? ? ,即为所求。 x0 3

………5 分

(2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一 平面内的向量 OM ,有且只有一对实数 ? , ? ,使得等式 OM ? ?OA ? ?OB 成立。设

M ( x, y) ,由 1)中各点的坐标有:

( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ,所以 x ? ?x1 ? ?x2 , y ? ?y1 ? ?y2 。
………7 分

又 点 在 椭 圆 C 上 , 所 以 有 (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 整 理 为

?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 2 ? 3 y2 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 。
3 2b 3b 2 由③有: x1 ? x2 ? 。所以 , x1 ? x2 ? 2 4



x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? 2b)(x2 ? 2b) ? 4 x1 x2 ? 3 2b( x1 ? x2 ) ? 6b 2 ? 3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
又 A﹑B 在椭圆上,故有 ( x1 ? 3 y1 ) ? 3b 2 , ( x2 ? 3 y2 ) ? 3b 2 将⑤,⑥代入④可得: ?2 ? ? 2 ? 1 。
2 2 2 2





………11 分

对于椭圆上的每一个点 M ,总存在一对实数,使等式 OM ? ?OA ? ?OB 成立,而

?2 ? ? 2 ? 1
在直角坐标系 x ? o ? y 中,取点 P( ? , ? ) ,设以 x 轴正半轴为始边,以射线 OP 为终 边的角为 ? ,显然 ? ? cos? , ? ? sin ? 。 也就是:对于椭圆 C 上任意一点 M ,总存在角 ? ( ? ∈R)使等式: OM =cos ? OA +sin ? OB 成立。 37、 (1)解法一:设 M ( x, y),则由题设得| MF |?| y ? 2 | ?1 , 即 …………1 分

x 2 ? ( y ? 1) 2 ?| y ? 2 | ?1
…………3 分 …………4 分

2 2 2 当 y ? ?2时, x ? ( y ? 1) ? y ? 1, 化简得 x ? 4 y ;

2 2 当 y ? ?2时, x ? ( y ? 1) ? ? y ? 3,

化简得 x ? 8 y ? 8与y ? ?3 不合
2

故点 M 的轨迹 C 的方程是 x ? 4 y
2

…………5 分

(1)解法二:?点M到点F (1,0)的距离比它到直线 l : y ? ?2 的距离小于 1, ∴点 M 在直线 l 的上方, 点 M 到 F(1,0)的距离与它到直线 l ? : y ? ?1 的距离相等 …………3 分

?点M的轨迹C是以F为焦点 , l ?为准线的抛物线
所以曲线 C 的方程为 x 2 ? 4 y …………5 分

(2)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2),即y ? kx ? (2 ? 2k ) , 代入 x 2 ? 4 y得x 2 ? 4kx ? 8(k ? 1) ? 0 (☆) …………6 分

? ? 16(k 2 ? 2k ? 2) ? 0对k ? R恒成立, 所以, 直线m 与曲线 C 恒有两个不同的交点
设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8(k ? 1) ①由 AP ? ? PB, 且? ? 1得点P是弦AB的中点, …………7 分

? x1 ? x2 ? 4, 则4k ? 4, 得k ? 1? 直线m的方程是x ? y ? 0

…………9 分

②?| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x 2 x1 ] ? 4 (1 ? k 2 )( k 2 ? 2k ? 2) 点 O 到直线 m 的距离 d ?

| 2 ? 2k | 1? k 2



? S ?ABO ?


1 | AB | ?d ? 4 | k ? 1 | k 2 ? 2k ? 2 ? 4 (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 … … … … 10 2

? S ?ABO ? 4 2 ,? 4 (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 ? 4 2 ,

? (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 ? 2 ? 0, (k ? 1) 2 ? 1或(k ? 1) 2 ? ?2 (舍去)
? k ? 0或k ? 2
当 k ? 0时, 方程(☆)的解为 ? 2 2 若 x1 ? 2 2 , x2 ? ?2 2 , 则? ? …………12 分

2?2 2 ? 2 2 ?1 2?2 2 2 2 ?2

? 3? 2 2

若 x1 ? ?2 2 , x2 ? 2 2 , 则? ?

? 3? 2 2

…………13 分

当 k ? 2时, 方程(☆)的解为 4 ? 2 2 若 x1 ? 4 ? 2 2 , x2 ? 4 ? 2 2 , 则? ?

?2?2 2 2?2 2 ?2?2 2 2?2 2

? 3? 2 2

若 x1 ? 4 ? 2 2 , x2 ? 4 ? 2 2 , 则? ? 所以, ? ? 3 ? 2 2或? ? 3 ? 2 2

? 3? 2 2

…………14 分

38、解: (1) 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图像上,? Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1. 当n=1 时,a1 ? S1 ? 3 满足上式,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. …….3 分 (2)由 f ( x) ? x 2 ? 2 x 求导可得 f‘ ( x) ? 2x ? 2 过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n ,? kn ? 2n ? 2 .

?bn ? 2kn an=4 ? (2n ? 1) ? 4n . ? Tn ? 4 ? 3 ? 41 ? 4 ? 5 ? 42 ? 4 ? 7 ? 43 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4n ①
由①×4,得

4Tn ? 4 ? 3 ? 42 ? 4 ? 5 ? 43 ? 4 ? 7 ? 44 ? ???+4 ? (2n ? 1) ? 4n?1 ②
①-②得:
2 3 n n ?1 ? ?3Tn ? 4 ? ?3 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ?+4 ? -(2n ? 1) ? 4 ?

2 ? ? 4( 1 ? 4n?1) ? 4 ?3 ? 4 ? 2 ? -(2n ? 1) ? 4n?1 ? 1? 4 ? ?

? Tn ?
(3) 又

6n ? 1 n ? 2 16 ? 4 ? ………………………………………………………………..7 分 9 9
Q ? {x x ? 2n ? 2, n ? N ? }, R ? {x x ? 4n ? 2, n ? N ? } ,? Q ? R ? R .

cn ? Q ? R ,其中 c1 是 Q ? R 中的最小数,? c1 ? 6 .

?cn ? 是公差是 4 的倍数,?c10 ? 4m ? 6(m ? N * ) .
又 110 ? c10 ? 115 ,? ?

?110 ? 4m ? 6 ? 115 ?m ? N
*

,解得m=27.

所以 c10 ? 114 , 设等差数列的公差为 d ,则 d=

c10 ? c1 114 ? 6 = =12, 10 ? 1 9

? cn ? 6 ? (n ? 1) ?12 ? 12n ? 6 ,所以 ?cn ? 的通项公式为 cn ? 12n ? 6 …………12 分
39、解:①

Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 1 ? an?1 ? 2an ? 1(n ? 2)

---------2 分

又 a1 ? , a2 ? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? N * )

3 2

?数列 ?an ? 1? 是公比为 2,首项为 a1 ? 1 ?

1 的等比数列 2

----------- 4 分

1 -------------- 6 分 an ? 1 ? ? 2n?1 ? 2n?2 2 ② Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ? ? 2?1 ? 1? ? ? 20 ? 1? ? ? 21 ? 1? ? ... ? ? 2n?2 ? 1?
② Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an

? ? 2?1 ? 1? ? ? 20 ? 1? ? ? 21 ? 1? ? ... ? ? 2n?2 ? 1? ? ? 2?1 ? 20 ? 21 ? ...2n?2 ? ? n
? 2n ? 1 ?n 2
-------------(9 分)

1 1? n Sn ? n 2n ? 1 2 ?2 于是 lim ? lim n ?1 ? lim x ?? x ?? 2 an ? 2 x ?? 1 ? 2 2 2n
40、解: (1)令 x ?

---------------(12 分)

1 1 1 的f ( ) ? 2 2 4 1 1 1 1 1 n ?1 ) 令 x ? 得f ( ) ? f (1 ? ) ? ? f ( ) ? f ( n n n 2 n n 1 n ?1 ) ? f (1) (2) a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n ?1 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ,两式相加 又 a n ? f (1) ? f ( n n 1 n ?1 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] n n n ?1 ? 2 n ?1 an ? (n ? N *) 4 1 a n ?1 ? a n ? , 故数列{a n } 是等差数列 4
(3) bn ?

4 4a n ? 1

?

4 n

2 2 Tn ? b12 ? b2 ? ? ? bn ? 16(1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 2 2 3 n

? 16[1 ?

1 1 1 ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? 16[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n 1 ? 16(2 ? ) n 16 ? 32 ? ? Sn n

Tn ? S n


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