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四川省南充市高级中学2013年省内外自主招生考试数学试题(含答案)


四川省南充市高级中学 2013 年面向省内外自主招生考试

数 学 试 题(含答案)
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填入答题卷的 相应位置) 1.方程 x ? A. 1

4 3x 的实根个数为 ? x x B. 2

C. 3

D. 4

2.已知 3m2 ? 2m ? 5 ? 0,5n2 ? 2n ? 3 ? 0 ,其中为 m, n 实数,则 m ? A. 0 B. 8 3 C. 5

1 = n
3

3

D. 0 或 8

3.设 x ? 0, y ? 0, 2 x ? y ? 6 ,则 u ? 4 x2 ? 3xy ? y 2 ? 6x ? 3 y 的最大值为 A. 13.5 B. 18 C. 20 D.不存在

4. 已知 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c 且 a ? b ? 4, ab ? 1, c ? 14 ,则 ?ABC 的形状为 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形
2

D. 不能确定

5.直角三角形 ABC 的三个顶点 A, B, C 均在抛物线 y ? x 上,且斜边平行于 x 轴,若斜边上的高为 h ,则 A. h ? 1 B. h ? 1 C. 1 ? h ? 2 D. h ? 2

6.等腰梯形底角为 ? ,以腰长为直径作圆与另一腰切于 M ,交较长底边 AB 于 E ,则 的值为 A. 2sin ? cos ? 7.若关于 x 的方程 A. c
2

BE AE

B. sin ?

C. cos ?

D. cos 2?

x ? bx m ? 1 有绝对值相同,符号相反的两个根,则 m 的值应为 ? ax ? c m ? 1 1 a?b a?b B. C. D. c a?b a?b

8.若干人共同买一箱香烟,后来考虑到吸烟污染环境,有害健康,有 15 人戒烟,余下每人要多分担 15 元,到决定付款时,又有 5 人不买,最后余下的每人又多增加 10 元,则开始准备共同购买香烟的人数是 多少 A. 40 B. 35 C. 37 D. 45 9.设 P 是高为 h 的正三角形内的一点, P 到三边的距离分别为 x, y , z , ( x ? y ? z ) 若以 x, y , z 为边可以 组成三角形,则 z 应满足的条件为 1 1 1 1 A. h ? z ? h B. h ? z ? h 4 3 3 2 C.

1 3 h?z? h 2 4

D.

3 h?z?h 4

A

D

10.如图, AB ? AC ? AD ,如果 ?DAC 是 ?CAB 的 k (k ? 0) 倍, 那么 ?DBC 是 ?BDC 的( )倍 A. k B. 2 k C. 3k

D. 以上答案都不对

B

C

二、填空题(每小题 5 分,共计 30 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处)
南充高中 2013 年面向省内外自主招生考试数学试题 第 1 页 共 10 页

11.2013 减去它的 那么最后剩余数为

1 1 1 1 ,再减去剩余的 ,再减去剩余数的 ,以此类推…….一直到减去剩余数的 , 3 2013 2 4
N F D B O A C E M

1 13 12.已知函数 y ? ? x 2 ? 在 0 ? a ? x ? b 时有 2a ? y ? 2b ,则 ( a, b) ? 2 2
13.如图 ?MON 两边上分别有 A, C , E 及 B, D, F 六个点,且

S?OAB ? S?ABC ? S?BCD ? S?CDE ? S?DEF ? 1 ,则 S?CDF ?

14.若有奖储蓄每 1000 张奖券中,有一等奖 1 张,奖金 500 元,二等奖 10 张,奖金 100 元,三等奖 50 张,奖金 20 元,纪念奖 100 张,奖金 5 元,某人买一张奖券,则他得奖不少于 20 元的概率为 A 15.化简 10 ? 14 ? 15 ? 21 ? 10 ? 14 ? 15 ? 21 16. 如图,已知菱形 ABCD 的边 AB=10,对角线 BD=12,BD 边 上有 2013 个不同的点 P 1, P 2, P 3 ......P 2013 ,过 P i (i ? 1, 2,3.....2013) 作 PE 于 Fi , i i ? AB 于 Ei , PF i i ? AD E1 B F1 P1 P2013 D

?P PE 2012 F 2012 ? P 2013 E2013 ? P 2013 F 2013 的值为 1 1 ? PF 1 1?P 2 E2 ? P 2F 2 ??? P 2012 E2012
C 三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 2 2 17. (本小题 10 分) 设 m 是不小于-1 的实数,使得关于 x 的方程 x + 2(m-2)x + m -3m +3 =0 有两个 不相等的实数根 x1 , x2
2 2 (1)若 x12 ? x22 ? 6 ,求 m 的值;(2)求 mx1 ? mx2 的最大值. 1 ? x1 1 ? x2

2 ? ?( x ? 3x)( x ? y ) ? 40 18.(本小题 10 分)解方程组 ? 2 ? ? x ? 4 x ? y ? 14

19. (本小题 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2,BC=4, tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC; (2)E 是梯形内一点,连接 DE、CE,将△DC E 绕 点 C 顺时针旋转 90°,得△BCF,连接 EF.判断 E A B

EF 与 CE 的数量关系,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,当 CE=2BE, ∠BEC=135°时,求 cos∠BFE 的值. D C F

20. (本小题 12 分)为加速南充森林建设,市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴,规定每年培植一亩 树苗一次性补贴若干元,随着补贴数字的不断增大,某地苗圃每年育苗规模也不断增加,但每年每亩苗 圃的收益会相应下降,经调查每年培植亩数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间有如下关系(政府 补贴为 100 元的整数倍,且每亩补贴不超过 1000 元):

南充高中 2013 年面向省内外自主招生考试数学试题

第 2 页 共 10 页

x(元) y(亩)

0 600

100 1000

200 1400

300 1800

400 2200

而每年每亩的收益 p(元)与政府每亩补贴数额 x(元)之间满足一次函数关系 p=-5x+9000 (1)请观察题中的表格,用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩数 y(亩)与 政府每亩补贴数额 x(元)之间的函数关系式; (2)当 2012 年政府每亩补贴数额 x(元)是多少元时,该地区苗圃收益 w(元)最大,最大收益是多少元? (3)在 2012 年苗圃取得最大收益的育苗情况下,该地区培植面积刚好达到最大化,要想增收,只能提高 每亩收益.经市场调查,培育银杏树苗畅销,每亩的经济效益相应会更好.2013 年该地区用去年育苗面积 的(30-a) % 的土地培育银杏树苗,其余面积继续培植一般类树苗,预计今年培育银杏类树苗每亩收 益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了 (100+3a)% , 由于培育银杏类树苗每亩多支出 1000 元,2013 年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收 399 万元.请参考以下数据,通过计算,估算出 a 的整数值.(参考数据: 35 ? 5.916 , 37 ? 6.082, 39 ? 6.244) 21.(本小题 l3 分) 如图①,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点 A 在 x 轴的 正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,求 D、E 两点的坐标; (2)如图②,若 AE 上有一动点 P(不与 A、E 重合)自 A 点沿 AE 方向向 E 点匀速运动,运动的速度 为每秒 1 个单位长度,设运动的时间为 t 秒 (0 ? t ? 5) ,过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M,过点 M 作 AE 的平行线交 DE 于点 N.求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式;当 t 取何值时,S 有最大 值?最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,以 A、M、E 为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应时刻点 M 的坐标.

y
C

y
E
E B C N D ·P M E B

D

O 图①

A

x

O 图②

A

x
1 x?a 2

2 22. (本小题 13 分)已知抛物线 y ? x ? 2x ? a ( a ? 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .直线 y ?

分别与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N . (1)试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标; (2)如图,将 △NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上, AN ′与 x 轴交于点 D ,连 结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积; (3)在抛物线 y ? x ? 2x ? a ( a ? 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平行
2

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四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N B A M 第(22)题 (第 22 题) O N′ D x B A M 备用图 N C O x y

数学试题参考答案
(考试时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分.) 1~5A DBCB ACABA 二、填空题(每小题 5 分,共计 30 分) 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)

11.1
14.0.061(或写成 61 )
1000

12.(1,3)
15.. 2 6 ? 5

13. 3
4 5

16.19324.8 (或写成 96624 )

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 2 2 17. (本小题 10 分) 设 m 是不小于-1 的实数,使得关于 x 的方程 x + 2(m-2)x + m -3m +3 =0 有两个 不相等的实数根 x1 , x2
2 2 (1)若 x12 ? x22 ? 6 ,求 m 的值:(2)求 mx1 ? mx2 的最大值 1 ? x1 1 ? x2

解: ? ? ?4m ? 4 ? 0 ,得 m ? 1 故 ?1 ? m ? 1 , (1) x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? 2m2 ?10m ? 10 ? 6 ,解得 m ?

5 ? 17 2

由于 ?1 ? m ? 1 ,故 m ?

5 ? 17 ………………………………5 分 2

x12 ? x2 2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? mx12 mx2 2 m ? ? ?= ? ? (2) 1 ? x1 1 ? x2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
3 5 2m(m ? 1)(m2 ? 3m ? 1) ? 2(m2 ? 3m ? 1) = 2(m ? ) 2 ? 2 2 m(m ? 1)
当 m ? ?1 时,

mx12 mx2 2 的最大值为 10。。。。。。。。。。。。。10 分 ? 1 ? x1 1 ? x2
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18.(本小题 10 分)解方程组 ?

?( x 2 ? 3x)( x ? y ) ? 40 ? 2 ? ? x ? 4 x ? y ? 14

?( x 2 ? 3x)( x ? y ) ? 40 ? 解:原方程组可化为 ? 2 。。。。。。。。。。2 分 ? ?( x ? 3x) ? ( x ? y ) ? 14
令 x2 ? 3x ? a, x ? y ? b ,则 ab ? 40, a ? b ? 14 。。。。。。。。。。4 分

?a ? 10 ?a ? 4 ,。。。。6 分 ? a, b 是方程 t 2 ? 14t ? 40 ? 0 的两个根,解得 ? 或? b ? 4 b ? 10 ? ?
于是 ?

? x2 ? 3x ? 10 ?x ? y ? 4

或?

? x 2 ? 3x ? 4 ? x ? y ? 10

,分别求解,得原方程组的解为

? x1 ? 2 ? x2 ? ?5 ? x3 ? 1 ? x4 ? ?4 。。。。。。。。。。。。。。10 分 ,? ,? ,? ? ? y1 ? 2 ? y2 ? 9 ? y3 ? 9 ? y4 ? 14
19. (本小题 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2,BC=4, A B tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC; (2)E 是梯形内一点,连接 DE、CE,将△DC E 绕 点 C 顺时针旋转 90°,得△BCF,连接 EF.判断 E

EF 与 CE 的数量关系,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,当 CE=2BE, ∠BEC=135°时,求 cos∠BFE 的值. (1)证明:作 AP⊥DC 于点 P. ∵AB∥CD,∠ABC=90°, ∴四边形 APCB 是矩形,………………………………2 分 ∴PC=AB=2,AP=BC=4. D C

F

AP 在 Rt△ADP 中,tan∠ADC= DP
∴DP=2,

AP 即 DP =3,

∴DC=DP+PC=4=BC.…………………………4 分 (2)EF= 2 CE.………………………5 分 证明如下: 由△DCE 绕点 C 顺时针旋转 90°得△BCF, ∴CF=CE,∠ECF=90°,
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∴EF= CF ? CE ?
2 2

2CE .

…………………………8 分

(3)由(2)得∠CEF=45°. ∵∠BEC=135°, ∴∠BEF=90°. ………………………………10 分

设 BE=a,则 CE=2a,由 EF= 2 CE,则 EF= 2 2a 在 Rt△BEF 中,由勾股定理得:BF=3a,

EF 2 2 ? 3 . ∴COS∠BFE= BF

……………………12 分

20. (本小题 12 分)为加速南充森林建设,市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴,规定每年培植一亩 树苗一次性补贴若干元,随着补贴数字的不断增大,某地苗圃每年育苗规模也不断增加,但每年每亩苗 圃的收益会相应下降,经调查每年培植亩数 y(亩)与政府每亩补贴数额 x(元)之间有如下关系(政府 补贴为 100 元的整数倍,且每亩补贴不超过 1000 元): x(元) y(亩) 0 600 100 1000 200 1400 300 1800 400 2200

而每年每亩的收益 p(元)与政府每亩补贴数额 x(元)之间满足一次函数关系 p=-5x+9000 (1)请观察题中的表格,用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩数 y(亩)与 政府每亩补贴数额 x(元)之间的函数关系式; (2)当 2012 年政府每亩补贴数额 x(元)是多少元时,该地区苗圃收益 w(元)最大,最大收益是多少元? (3)在 2012 年苗圃取得最大收益的育苗情况下,该地区培植面积刚好达到最大化,要想增收,只能提高 每亩收益.经市场调查,培育银杏树苗畅销,每亩的经济效益相应会更好.2013 年该地区用去年育苗面积 的(30-a) % 的土地培育银杏树苗,其余面积继续培植一般类树苗,预计今年培育银杏类树苗每亩收 益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了 (100+3a)% , 由于培育银杏类树苗每亩多支出 1000 元,2013 年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收 399 万元.请参考以下数据,通过计算,估算出 a 的整数值.(参考数据: 35 ? 5.916 , 37 ? 6.082, 39 ? 6.244) 解:(1)猜想:y 与 x 是一次函数关系.设 y=kx+b(k≠0) 则 1000 ?100 k ?b

?

600 ?0?b

解得: b ?600

?

k ?4

∴y=4x+600 ………… 2 分 验证:当 x=200 时,y=4×200+600=1400 结论:猜想成立,即 y=4x+600 ………… 4 分 (2) w=y﹒p=(4x+600)﹒(-5x+9000) 由(4x+600)(-5x+9000)=0 得 x1= -150, x2 =1800 ∴对称轴: x ?

? 150 ? 1800 ? 825 2

∵开口向下,对称轴是 x=825,而 x 是 100 的倍数 ∴当 x=800 时, w最大值 =(4×800+600)(-5×800+9000)=19000000 ∴当政府每亩补贴 800 元时,该地苗圃收益最大,最大值为 19000000 元. ……8 分 (3)当 x=800 时,y=4x+600=4×800+600=3800(亩)

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P=-5x+9000=-5×800+9000=5000(元) 由题意得:3800(30-a)%×[5000(1+3a%)-1000]=3990000 2 整理得:3a -10a-300=0 2 △ =(-10) -4×3×(-300)=3700 ∴a ?

………… 10 分

10 ? 3700 2?3
a2 ? 10 ? 10 37 (舍去) 6

∴a≈11.8=12

答:a 的值约为 1 2. ………… 12 分 21.(本小题 l3 分) 如图①,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点 A 在 x 轴的 正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,求 D、E 两点的坐标; (2)如图②,若 AE 上有一动点 P(不与 A、E 重合)自 A 点沿 AE 方向向 E 点匀速运动,运动的速度 为每秒 1 个单位长度,设运动的时间为秒 (0 ? t ? 5) ,过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M,过点 M 作 AE 的平行线交 DE 于点 N.求四边形 PMNE 的面积 S 与时间之间的函数关系式; 当取何值时, S 有最大值? 最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当为何值时,以 A、M、E 为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应时刻点 M 的坐标.

y
C

y
E
E B C N D ·P M E B

D

O 图①

A

x

O 图②

A

x

解:(1)依题意可知,折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴, ∴在 Rt ?ABE 中, AE ? AO ? 5,AB ? 4 ∴ BE ?

AE2 ? AB2 ? 52-42= 3

∴ CE ? 2

∴ E 点坐标为 (2,4) ………………………………………………………(2 分)
2 2 2 在 Rt ?DCE 中, DC ? CE ? DE

又∵ DE ? OD

∴ (4 ? OD) ? 2 ? OD
2 2

2

解得: OD ?

5 2
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5 2 PM ED (2)如图①∵ ∥ ∴ ?APM ∽ ?AED 5 PM AP ? ∴ 又知 AP ? t,ED= ,AE ? 5 ED AE 2 t 5 t ∴ PM ? ? ? 又∵ PE ? 5 ? t 5 2 2 而显然四边形 PMNE 为矩形 t 1 2 5 ∴ S 矩形PMNE ? PM ? PE ? ? (5 ? t ) ? ? t ? t … … … … … … … ( 5 分 ) ∴ 2 2 2 1 5 2 25 5 S 矩形PMNE ? ? (t ? ) ? 又∵ 0 ? ? 5 2 2 8 2 5 25 ∴当 t ? 时, S矩形PMNE 有最大值 (面积单位)…………………(7 分) 2 8 (3)(i)若 ME ? MA (如图①) 在 Rt ?AED 中, ME ? MA ,? PM ? AE, ∴ P 为 AE 的中点
∴ D 点坐标为 (0, ) ………………………………………………………(3 分) 又∵ PM ∥ ED , ∴ M 为 AD 的中点

1 5 5 1 5 AE ? ∴ AP ? t ? ∴ PM ? t ? 2 2 2 2 4 又∵ P 与 F 是关于 AD 对称的两点 5 5 ∴ xM ? , yM ? 2 4 5 5 ∴当 t ? 时( 0 ? ? 5 ), ?AME 为等腰三角形 2 2 5 5 此时 M 点坐标为 ( , ) ………………………………………………(9 分) 2 4 (ii)若 AM ? AE ? 5 (如图②)
∴ AP ? 在 Rt ?AOD 中, AD ? OD ? AO ? ( ) ? 5 ?
2 2 2 2

5 5 2 AP AM ? ∵ PM ∥ ED ,∴ ?APM ∽ ?AED ,∴ AE AD 1 AM ? AE 5 ? 5 ∴ t ? AP ? ? ? 2 5 ∴ PM ? t ? 5 5 2 AD 5 2 同理可知: xM ? 5 ? 2 5 , yM ? 5
5 或 t ? 2 5 时,以 A、M、E 为顶点的三角形为等腰三角形,相应 M 点 2

5 2

∴当 t ? 2 5 时( 0 ? 2 5 ? 5 ),此时 M 点坐标为 (5 ? 2 5,5) ………………(12 分) 综合(i)、(ii)可知: t ?

的坐标为 ( , ) 或 (5 ? 2 5,5) …………………………(13 分)
2 22. (本小题 13 分)已知抛物线 y ? x ? 2x ? a ( a ? 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .直线 y ?

5 5 2 4

1 x?a 2

分别与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N . (1)试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标;

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(2)如图,将 △NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上, AN ′与 x 轴交于点 D ,连 结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积; (3)在抛物线 y ? x2 ? 2x ? a ( a ? 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平行 四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N B A M O N′ D x B A M N C O x y

1 ? ?4 M ?1,a ? 1第( a, ? a? ?,N ?)题 22 备用图 3 ? .……………3 分 ?3 解:(1)
(第 22 题)

1 ? ? 4 ? a? ? ? a, 3 ?, (2)由题意得点 N 与点 N ′关于 y 轴对称,? N ? ? 3
1 16 8 ? a ? a2 ? a ? a 9 3 将 N ′的坐标代入 y ? x ? 2x ? a 得 3 ,
2

? a1 ? 0 (不合题意,舍去),

a2 ? ?

9 4 .……………5 分

3? ? ? N ? ?3, ? 4 ? ,? 点 N 到 y 轴的距离为 3. ? 9? ? 3? ? 9 A ? 0, ? ? y ? x? ? 3, ? 4 4 ? ? ,? 直线 AN ? 的解析式为 ? ?,N ? 4, ?9 ? 9 D? , 0 ?, ? 它与 x 轴的交点为 ? 4 ? 点 D 到 y 轴的距离为 4 .
1 9 1 9 9 189 ? S四边形ADCN ? S△ ACN ? S△ ACD ? ? ? 3 ? ? ? ? 2 2 2 2 4 16 .……………7 分
(3)当点 P 在 y 轴的左侧时,若 ACPN 是平行四边形,则 PN 平行且等于 AC ,

7 ? ?4 ? a? ? a, 3 ? ,代入抛物线的解析式, ? 把 N 向上平移 ?2a 个单位得到 P ,坐标为 ? 3
7 16 8 ? a ? a2 ? a ? a 9 3 得: 3

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? a1 ? 0 (不合题意,舍去),

a2 ? ?

7? 3 ?P? ? 1, ? ? ? 2 8 ? .……………9 分 8,

当点 P 在 y 轴的右侧时,若 APCN 是平行四边形,则 AC 与 PN 互相平分,

? OA ? OC,OP ? ON .

?P

? 4 1 ? ? P ? ? a, a ? ? 3 3 ?, 与 N 关于原点对称,

1 16 8 a ? a2 ? a ? a 9 3 将 P 点坐标代入抛物线解析式得: 3 ,

? a1 ? 0 (不合题意,舍去),

a2 ? ?

5? 15 ? P ? 5 , ? ? ? ? 2 8 ? .……………12 分 8 ,

? 1 7? ? 5 5? P P2 ? , ? ? 1?? , ? ,C , N为顶点的四边形是平行四边 ? 存 在 这 样 的 点 ? 2 8 ? 或 ? 2 8 ? , 能 使 得 以 P, A
形..。。。。。。。。13 分

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