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【金识源】高中数学 1.2.1 任意角的三角函数(二)课件 新人教A版必修4


第一章 三角函数

1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(二)

1.了解三角函数线的意义.(重点)
2.会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.(重点) 3.会用三角函数线来解三角不等式问题.(重点、难点)

1.有向线段 (1)定义:带有方向的线段. (2)表示:用大写字母表示,如有向线段OM,MP.

2.三角函数线

想一想 三角函数线的方向有何特点? 提示: 正弦线由垂足指向 α的终边与单位圆的交点;余弦 线由原点指向垂足;正切线由切点(1,0)指向切线与α终边或α终

边反向延长线的交点.

解读三角函数线
(1)三角函数线的意义 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的 几何表示,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.方向 表示三角函数值的正负,凡与x轴或y轴同向的为正值,反向的 为负值.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来,使得问 题更形象直观,为从几何途径解决问题提供了方便.

(2)三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时 也给出了角 α的三角函数线的画法,即先找到 P、M 、 T点,再 画出MP、OM、AT . (3)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三 角函数值的大小,同时它也是以后学习三角函数的图象与性质

的基础.

三角函数线的作法
在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围, 并由此写出角α的集合.
3 1 (1)sin α≥ 2 ;(2)cos α≤-2.

思路点拨:首先作出单位圆,然后利用三角函数线的意义 画出角α满足条件的终边范围.

3 解: (1)作直线 y= 2 交单位圆于 A、 B 两点, 连接 OA、 OB, 则角 α 的终边在如图①所示的阴影区域内. π 2π 所以角 α 的集合为 α2kπ+3≤α≤2kπ+ 3 ,k∈Z.

1 (2)作直线 x=-2交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD, 则角 α 的终边在如图②所示的阴影区域内. 2π 4π 所以角 α 的集合为 α2kπ+ 3 ≤α≤2kπ+ 3 ,k∈Z.

单位圆中求作角的终边的方法 三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工 具,应用它可以求作满足形如 f(α) = m 的三角函数的角的终 边.具体作法是先作出直线y=m或x=m与单位圆的交点,再将 原点与交点连接所得射线即为所求角的终边.

【互动探究】 1 1 若将题(2)“cos α≤-2”改为“cos α=2”, 则如何画出角 α 的终边?

1 解:作直线 x=2交单位圆于点 A,B,连接 OA,OB,则

射线 OA,OB 即为角 α 的终边,如图所示.

利用三角函数线解简单的三角不等式
3 (1)若 α∈[0,2π), 且 cos α≥ 2 , 则 α 的取值范围是 ________. 1 (2)解不等式 sin x>2的解集为________.

3 1 思路点拨:作出 x= 2 或 y=2与单位圆的交点,再将原点 与交点连接所得射线即为所求角的终边.

π 11π 解析:(1)如图,OM 为[0,2π)内的角6和 6 的余弦线,欲使 3 cos α≥ 2 ,角 α 的余弦线≥OM,当 OM 伸长时,OP 与 OQ 扫 π 11π 过部分为扇形 POQ,∴0≤α≤6或 6 ≤α<2π.

1 (2)如图,作出正弦值等于2 的角 x 的终边,则正弦值大于 1 ︵ 2的角 x 的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2 上,∴所求角 x 的
? ? ? π 5 取值范围是?x?2kπ+6<x<2kπ+6π,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

? ? π? ?11π 答案:(1)?0,6?∪? 6 ,2π? ? ? ? ? ? ? ? π 5 ? ? (2) x 2kπ+6<x<2kπ+6π,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ?

利用三角函数线解三角不等式 (1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具, 利用它使解三角不等式更为简便. (2)求解三角函数的定义域时,一般应转化为求不等式(组) 的解的问题,然后利用三角函数线或数轴求解.

解不等式:3tan α>- 3.
3 解:要使 3tan α>- 3,即 tan α>- 3 . π π 由正切线知-6+kπ<α<2+kπ,k∈Z.
? π ? π ∴不等式的解集为?-6+kπ,2+kπ?(k∈Z). ? ?

易错误区系列(四) 三角函数线理解中的误区
已 知 角 α 的 余弦线是长度为单位长度的有向 线

段,那么角α的终边在(
A.x轴的正半轴上 C.x轴上

)
B.x轴的负半轴上 D.y轴上

解析: 由角α 的余弦线是长度为单位长度的有向线段,得 cos α=±1,故角α的终边在x轴上. 答案:C

错解 选A或 选D

错因 认为其余弦线的方向为正,即cos α=1, 误判出角α的终边在x轴的正半轴上而错选 A.得出cos α=±1,但把正弦线和余弦线 弄错,误选D

【纠错提升】1.正确理解有向线段是既有长度又有方向, 如本题中长度为单位长度的有向线段应为±1.

2 .正确理解正弦线,余弦线和正切线,注意三者的区
别,如本题中不能把正弦线和余弦线混淆.

【即时演练】 已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段,那么角α 的终边在( ) A.直线y=x上 B.直线y=-x上 C.直线y=x上或直线y=-x上 D.x轴或y轴上

解析: 由角α 的正切线是长度为单位长度的有向线段,则
tan α=±1.故角α的终边在直线y=x上或直线y=-x上. 答案:C


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