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一次函数知识点、经典例题、练习 2


一次函数及其性质 ? 知识点一 一次函数的定义 一般地, 形如 y ? kx ? b( k ,b 是常数,k ? 0 )的函数,叫做一次函数,当 b ? 0 时,即 y ? kx ,这时即是前一节所学过的正比例函数. ⑴一次函数的解析式的形式是 y ? kx ? b ,要判断一个函数是否是一次函数, 就是判断是否能化成以上形式. (y=-3x+3 是一次函数,其中这里 k=-3,

b=3) ⑵当 b ? 0 , k ? 0 时, y ? kx 仍是一次函数. (y=3x 是一次函数也是正比例函 数,其中 k=3,b=0) ⑶当 b ? 0 ,k ? 0 时, 它不是一次函数. (y=4 这不是一次函数, 因为 k=0,b=0) ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 1.若 y ? x ? 2 ? 3b 是正比例函数,则 b 的值是( A.0 B. )

2 2 3 C. ? D. ? 3 3 2 解此题只需上面的第二知识点即可解决:正比例函数(当 b ? 0 , k ? 0 时为正比 2 例函数,所以这里的 2-3b=0,则 b= ,则选 B) 3 ? 知识点二 一次函数的图象及其画法 ⑴一次函数 y ? kx ? b ( k ? 0 , k , b 为常数)的图象是一条直线. ⑵由于两点确定一条直线,所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时, 只要先描出两个点,再连成直线即可. 0? , ?1, k ? 两点; ①如果这个函数是正比例函数,通常取 ? 0 ,
? ? b ? , ? ? ,0 ? ,即直 ②如果这个函数是一般的一次函数( b ? 0 ) ,通常取 ? 0 , k b ? ?

线与两坐标轴的交点. ⑶由函数图象的意义知,满足函数关系式 y ? kx ? b 的点 ? x ,y ? 在其对应的图 象上,这个图象就是一条直线 l ,反之,直线 l 上的点的坐标 ? x ,y ? 满足 y ? kx ? b , 也就是说,直线 l 与 y ? kx ? b 是一一对应的,所以通常把一次函数 y ? kx ? b 的图象 叫做直线 l : y ? kx ? b ,有时直接称为直线 y ? kx ? b . ? 知识点三 一次函数的性质 ⑴当 k ? 0 时,一次函数 y ? kx ? b 的图象从左到右上升, y 随 x 的增大而增大; ⑵当 k ? 0 时,一次函数 y ? kx ? b 的图象从左到右下降, y 随 x 的增大而减小. 知识点四 ⑴ 一次 函数
k ,b

?

一次函数 y ? kx ? b 的图象、性质与 k 、 b 的符号
k ? kx ? b ? k ? 0?
k ?0 k ?0

符号

b?0

b?0

b?0

b?0

b?0

b?0

y

y
O O

y
O

y
O

y
O

y

图象

O

x

x

x

x

x

x

性质

y 随 x 的增大而增大

y 随 x 的增大而减小

⑵一次函数 y ? kx ? b 中,当 k ? 0 时,其图象一定经过一、三象限;当 k ? 0 时, 其图象一定经过二、四象限. 当 b ? 0 时,图象与 y 轴交点在 x 轴上方,所以其图象一定经过一、二象限; 当 b ? 0 时,图象与 y 轴交点在 x 轴下方,所以其图象一定经过三、四象限. 反之,由一次函数 y ? kx ? b 的图象的位置也可以确定其系数 k 、 b 的符号. ? 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式 ⑴定义:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具 体写出这个式子的方法,叫做待字系数法. ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤: ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式; ②将 x , y 的几对值,或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以 待定系数为未知数的方程或方程组; ③解方程(组) ,得到待定系数的值; ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求的函数解析式.

类型一:正比例函数与一次函数定义 1、当 m 为何值时,函数 y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数?

思路点拨:某函数是一次函数,除应符合 y=kx+b 外,还要注意条件 k≠0.

举一反三: 【变式 1】如果函数 A.m=2 或 m=0 是正比例函数,那么( ). B.m=2 C.m=0 D.m=1

【变式 2】已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2 时,y=7. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x=4 时,求 y 的值; (3)当 y=4 时,求 x 的值.

类型二:待定系数法求函数解析式 2、 求图象经过点 (2, -1) , 且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式. 思路点拨:图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2,则可设 此表达式为 y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出 b 即可.

举一反三: 【 变式 1】已知弹簧的长度 y(cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质 量 x(kg)的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为 6cm,挂 4kg 的重 物时,弹簧的长度是 7.2cm,求这个一次函数的表达式. 分析:题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式 y=kx+b, 再由已知条件可知,当 x=0 时,y=6;当 x=4 时,y=7.2.求出 k,b 即可.

【变式 2】已知直线 y=2x+1. (1)求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标; (2)若直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称,求 k,b 的值.

【变式 3】判断三点 A(3,1) ,B(0,-2) ,C(4,2)是否在同一条直线 上. 分析:由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达 式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明第三点在此直线上;若不 成立,说明不在此直线上.

类型三:函数图象的应用 3、图中的图象(折线 ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程 中,汽车离出发地的距离 s(km)和行驶时间 t(h)之间的函数关系,根据图中提供 的信息,回答下列问题: (1)汽车共行驶了___________ km; (2)汽车在行驶途中停留了___________ h; (3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h; (4)汽车自出发后 3h 至 4.5h 之间行驶的方向是___________.

举一反三: 【变式 1】图中,射线 l 甲、l 乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走 的路程 s 与时间 t 的函数关系,求它们行进的速度关系。

【变式 2】 (2011 四川内江)小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到 达点 A,再走下坡路到达点 B,最后走平路到达学校,所用的时间与路程的关系 如图所示。放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别 保持和去上学时一致,那么他从学校到家需要的时间是( ) A.14 分钟 B.17 分钟 C.18 分钟 D.20 分钟

【变式 3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连 续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y(升)与时间 x(分钟) 之间的关系如图所示:

根据图象解答下列问题: (1)洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中的水量是多少升?

(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升. ① 求排水时 y 与 x 之间的关系式; ② 如果排水时间为 2 分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量. 分析:依题意解读图象可知:从 0—4 分钟在进水,4—15 分钟在清洗,此 时,洗衣机内有水 40 升,15 分钟后开始放水.

类型四:一次函数的性质 4、己知一次函数 y=kx 十 b 的图象交 x 轴于点 A(一 6,0) ,交 y 轴于 点 B,且△ AOB 的面积为 12,y 随 x 的增大而增大,求 k,b 的值. 思路点拨:设函数的图象与 y 轴交于点 B(0,b) ,则 OB= ,由△ AOB 的面 积,可求出 b,又由点 A 在直线上,可求出 k 并由函数的性质确定 k 的取值.

举一反三: 【变式 1】已知关于 x 的一次函数 .

(1)m 为何值时,函数的图象经过原点? (2)m 为何值时,函数的图象经过点(0,-2)? (3)m 为何值时,函数的图象和直线 y=-x 平行? (4)m 为何值时,y 随 x 的增大而减小?

【变式 4】函数

在直角坐标系中的图象可能是( ) .

类型五:一次函数综合 5、已知:如图,平面直角坐标系中,A( 1,0) ,B(0,1) ,C(-1,0) , 过点 C 的直线绕 C 旋转,交 y 轴于点 D,交线段 AB 于点 E。 (1)求∠ OAB 的度数及直线 AB 的解析式; (2)若△ OCD 与△ BDE 的面积相等,① 求直线 CE 的解析式;② 若 y 轴上的

一点 P 满足∠ APE=45° ,请直接 写出点 P 的坐标。

思路点拨: (1) 由 A, B 两点的坐标知, △ AOB 为等腰直角三角形, 所以∠ OAB=45° (2)△ OCD 与△ BDE 的面积相等,等价于△ ACE 与△ AOB 面积相等,故可求 E 点坐标, 从而得到 CE 的解析式; 因为 E 为 AB 中点, 故P为 (0,0) 时, ∠ APE=45° .

举一反三: 【变式 1】 在长方形 ABCD 中, AB=3cm, BC=4cm, 点 P 沿边按 A→B→C→D 的方向向点 D 运动(但不与 A,D 两点重合) 。求△ APD 的面积 y( )与点 P 所 行的路程 x(cm)之间的函数关系式及自变量的取值范围。

【变式 2】如图,直线 与 x 轴 y 轴分别交于点 E、F,点 E 的坐标为 (-8,0) ,点 A 的坐标为(-6,0) 。 (1)求 的值; (2)若点 P( , )是第二象限内的直线上的一个动点,在点 P 的运动过 程中,试写出△ OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)探究:在(2)的条件下,当点 P 运动到什么位置时,△ OPA 的面积为 ,并说明理由。

一次函数练习
一、选择题 1.若 y ? x ? 2 ? 3b 是正比例函数,则 b 的值是( A.0 B.
2 3

) D. ? ) D.11 )
3 2

C. ?

2 3

2.当 x ? ?3 时,函数 y ? x 2 ? 3x ? 7 的函数值为 ( A.-25 B.-7 C. 8

3.函数 y=(k-1)x,y 随 x 增大而减小,则 k 的范围是 ( A. k ? 0 B. k ? 1 C. k ? 1 D. k ? 1 4.一次函数 y ? ? x ? 1 不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

5.若把一次函数 y=2x-3,向上平移 3 个单位长度,得到图象解析式是( A、y=2x B、 y=2x-6 C、 y=5x-3 D、y=-x-3

)

6.一次函数的图象与直线 y= -x+1 平行,且过点(8,2) ,此一次函数的解析式 为: ( ) A、y=2x-14 B、y=-x-6 C、y=-x+10 D、y=4x 7. 如果直线 y=2x+m 与两坐标轴围成的三角形面积等于 m, 则 m 的值是 ( A、±3 B、3 C、±4 D、4 )

8.点 A( x1 , y1 )和 B( x2 , y2 )在同一直线 y ? kx ? b 上,且 k ? 0 .若 x1 ? x2 , 则 y1 , y2 的关系是( 法确定. )A、 y1 ? y2 B、 y1 ? y2 C、 y1 ? y2 D、无

9.若 m<0, n>0, 则一次函数 y=mx+n 的图象不经过 ( A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 象限

) D.第四
y

10、一次函数 y ? kx ? b ( k, b 是常数, k ? 0 )的图象如图所示,则不等式 2 kx ? b ? 0 的解集是( ) A. x ? ?2 B. x ? 0 C. x ? ?2 D. x ? 0
?2
2 0 x

1 11.已知函数 y ? ? x ? 2 ,当-1<x≤1 时,y 的取值范围是( ) 2 5 3 3 5 3 5 3 5 A. ? ? y ? B. ? y ? C. ? y ? D. ? y ? 2 2 2 2 2 2 2 2 12. 已知两个一次函数 y=x+3k 和 y=2x-6 的图象交点在 y 轴上, 则 k 的值为 ( ) A、3 B、1 C、2 D、-2 13. 已知一次函数 y=kx-k, 若 y 随 x 的增大而减小, 则该函数的图象经过 ( ) A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限

14.当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 y=ax+b 与 y ? bx ? a 在同一坐标系中的图象大致是(



15.一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图,则下列结论①k<0; ②a>0;③当 x<3 时,y1<y2 中,正确的个数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个 )

D.3 个

16.汽车由A地驶往相距 120km 的 B 地,它的平均速度是 30km/h,则汽车距B地 路程 s(km)与行驶时间 t(h)的函数关系式及自变量 t 的取值范围是( ) A.S=120-30t (0≤t≤4) B.S=120-30t (t>0) C.S=30t (0≤t≤40) D.S=30t (t<4) 二、填空题 1.若关于 x 的函数 y ? (n ? 1) xm?1 是一次函数,则 m= 2.在函数 y ? 3.把函数 y ? ,n 。
x?6 。 3

.

1 中,自变量 x 的取值范围是 x?2
x 的图像向 3

平移

个单位得到函数 y ?

4.直线 y=2x+b 经过点(1,3),则 b= _________ 5. 已知一次函数 y=-3x+2,它的图像不经过第 6.若一次函数 y=mx-(m-2)过点(0,3),则 m= . 象限.

7.函数 y= -x+2 的图象与 x 轴,y 轴围成的三角形面积为_________________.

8.已知函数 y=-3x+b 的图象过点(1,-2)和(a,-4) ,则 a=__________ 9. 某一次函数图象过点 (-1, 5) , 且函数 y 的值随自变量 x 的值的增大而增大, 请你写出一个符合上述条件的函数关系式___________ ?x ? y ? 3 ? 0 10.已知直线 y=x-3 与 y=2x+2 的交点为(-5,-8) ,则方程组 ? 的 ?2 x ? y ? 2 ? 0 解是________. 11.若直线 y=kx+b 平行直线 y=5x+3,且过点(2,-1) ,则 k=______ ,b=______ . 12.直线 y=2x+3 与 y=3x-2b 的图象交 x 轴上同一点,则 b=_______. 13 . 写出一个图象经过点(- 1 ,- 1 ) ,且不经过第一象限的函数关系式 ____________. 1 14. 一次函数 y=kx+b 的图象与正比例函数 y ? x 的图象平行,且与直线 y=-2x 2 -1 交于 y 轴上同一点,则这个一次函数的关系式为_________. 15.在 某公用电话亭打电话时, 需付电话费 y (元) 与通话时间 x y(元) (分钟)之间的函数关系用图象表示如图 . 小明打了 2 分钟需 1 付 费 ______ 元;小莉打了 8 分钟需付费 _______元.
0.7 0 3 4 x(分)

三、计算题
1.画出函数 y=-2x+5 的图象,结合图象回答下列问题: (1)这个函数中,随着 x 的增大,它的图象从左到右是怎样变化的? (2)当 x 取何值时,y=0? (3)当 x 取何值时,函数的图象在 x 轴的下方?

2.已知一次函数 y=(4m+1)x-(m+1) , (1)m 为何值时,y 随 x 的增大而减小? (2)m 为何值时,直线与 y 轴的交点在 x 轴的下方? (3)m 为何值时,直线位于第二,三,四象限?

3.已知关于 x 的一次函数 y=(3a-7)x+a-2 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方, 且当 x1<x2 时,对应的函数值满足 y1>y2,求 a 的取值范围.

4.已知直线 y ? 2 x ? 1 . (1) 求已知直线与 y 轴的交点 A 的坐标; (2) 若直线 y ? kx ? b 与已知直线关于 y 轴对称,求 k 与 b 的值.

5.已知直线 y=-

2 x+3 与 y=2x-1,求它们与 y 轴所围成的三角形的面积. 3

6.如图,已知直线 L1:y1=k1x+b1 和 L2:y2=k2x+b2 相交于点 M(1,3) ,根据图象判断: (1)x 取何值时,y1=y2?(2)x 取何值时,y1>y2?(3)x 取何值时,y1<y2?

7.已知 y ? 3 与 x 成正比例,且 x ? 2 时, y ? 7 . (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)当 x ? ?

1 时,求 y 的值; 2

(3)将所得函数图象平移,使它过点(2,-1).求平移后直线的解析式.

8. 如图,直线 y=2x?3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B。 (1) 求 A、B 两点的坐标; (2) 过 B 点作直线 BP 与 x 轴交于点 P,且使 OP=2OA,求△ABP 的 面积。

9.已知,直线 y=2x+3 与直线 y=-2x-1. (1)求两直线与 y 轴交点 A,B 的坐标; (2)求两直线交点 C 的坐标; (3)求△ABC 的面积. C

y A

B

x

10.小强骑自行车去郊游,右图表示他离家的距离 y(千米)与所用
的时间 x(小时)之间关系的函数图象,小明 9 点离开家,15 点回 家,根据这个图象,请你回答下列问题:①小强到离家最远的地方 需几小时?此时离家多远?②何时开始第一次休息?休息时间多 长?③小强何时距家 21 ㎞?(写出计算过程)
距 离 (km) 30

15 j O 10.5 11 12 13 15 时 间 (h)

11.王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天, 小强让爷爷先上,然后追赶爷爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离 开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时 计时) . (1)小强让爷爷先上多少米? (2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶? (3)小强经过多少时间追上爷爷?

12.某水果店超市,营销员的个人收入与他每月的销售量成一次函数 关系,其图象如下:请你根据图象提供的信息,解答以下问题: (1)求营销员的个人收入 y 元与营销员每月销售量 x 千克(x≥0) 之间的函数关系式; (2)营销员佳妮想得到收入 1400 元,她应销售多少水果?

1200 800 400

y(元)

x(千克) 1000 2000 3000 4000


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