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【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学:3导数3


各地解析分类汇编:导数 3
1. 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数
2 k f ( x) ? ( x? k ) e. x

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x ) ?


1 ,求 k 的取值范围。 e

f / ( x) ?
【答案】解:(1)

x 1 2 ( x ? k 2 )e k / k ,令 f ( x) ? 0 得 x ? ? k

当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ?k ) 和 (k , ??) 上递增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, k ) 和 (?k , ??) 上递减,在 (k , ? k ) 上递增

(2) 当 k ? 0 时,

f (k ? 1) ? e

k ?1 k

?

1 1 f ( x) ? ? x ? ( 0 ? ? ) e; e ;所以不可能对 , 都有 f (?k ) ? 4k 2 e ,所以对 ?x ? (0 , ? ?) 都

当 k ? 0 时有(1)知 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最大值为

f ( x) ?


1 e

4k 2 1 1 1 1 f ( x) ? [? ,0) ? ?? ?k ?0 ? x ? ( 0 ? ? ) e 时,k 的取值范围为 2 e 2 即 e , 故对 , 都有 。
2. 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 】 ( 本 题 12 分 ) (Ⅰ)已知函数

f ( x) ? x 2 ? ln x ? ax 在 (0,1) 上是增函数,求 a 的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 g ( x) ? e 【答案】 解: (1) f ?( x) ? 2 x ? 上恒成立,即 a≤2x+
2x

? aex ?1 , x ? ?0, ln 3? ,求 g ( x) 的最小值.

1 1 ? a ,∵f (x) 在 (0, 1) 上是增函数,∴2x+ -a≥0 在 (0,1) x x

1 1 恒成立, ∴只需 a≤(2x+ )min 即可. …………4 分 x x

∴2x+

1 2 ≥ 2 2 (当且仅当 x= 时取等号) , ∴a≤ 2 2 …………6 分 x 2
x

(2) 设 e ? t ,? x ? ?0, ln 3?,? t ? ? 1,3?.

a 2 a2 ) 设 h(t ) ? t ? at ? 1 ? (t ? ) ? (1 ? 2 4
2

,其对称轴为 t=

a ,由(1)得 a≤ 2 2 , 2

∴t=

a 3 ≤ 2 < …………8 分 2 2

则当 1≤

a2 a a ≤ 2 ,即 2≤a≤ 2 2 时,h(t)的最小值为 h( )=-1, 2 2 4



a <1,即 a<2 时,h(t)的最小值为 h(1)=-a …………10 分 2

当 2≤a≤ 2 2 时 g(x) 的最小值为-1-

a2 , 4

当 a<2 时 g(x) 的最小值为-a. …………12 分 3. 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 设 函 数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m(a ? 0) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数 f(x)在 x∈[-1,1]内没有极值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意的 a∈[3,6],不等式 f ( x) ? 1 在 x∈[-2,2]上恒成立,求 m 的取值范围. 【答案】解: (Ⅰ)∵f′(x)=3x +2ax-a =3(x- 又 a>0,∴当 x<-a 或 x> 当-a<x<
a 时 f′(x)>0; 3
2 2

a )(x+a), 3

a 时,f′(x)<0. 3 a ,+∞),单调递减区间为 3

∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-a) ,( (-a,
a ).(4 分) 3
2 2

(Ⅱ)由题设可知,方程 f′(x)=3x +2ax-a =0 在[-1,1]上没有实根
? f ?(?1) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ,解得 a>3. ?a ? 0 ?

(8 分)
a ∈[1,2],-a≤-3 3

(Ⅲ)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知 又 x∈[-2,2] ∴f(x)max=max{f(-2),f(2)} 而 f(2)-f(-2)=16-4a <0
2

f(x)max=f(-2)= -8+4a+2a2+m (10 分)
又∵f(x)≤1 在[-2,2]上恒成立 ∴f(x)max≤1 即-8+4a+2a +m≤1 即 m≤9-4a-2a ,在 a∈[3,6]上恒成立
2 2

∵9-4a-2a 的最小值为-87 ∴m≤-87. (13 分)

2

4.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】(本小题满分12分) 已知f (x) = xlnx. (I)求 f (x) 在[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅱ)证明: ?x ? (0, ??) 都有 1nx ?

1 2 ? 。 e x ex

1 【答案】(Ⅰ)解: f ?( x) ? ln x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0,得x ? . e 1? ? 当 x ? ? 0 , ? ,f ?( x) ? 0 ,f ( x) 单调递减; e? ? ?1 ? 当 x ? ? ,? ? ?,f ?( x) ? 0 ,f ( x) 单调递增. …………………………………………(2 分) ?e ? 1 因为 t>0 , t +2>2> , e
1 1 ?1? (1)当 0<t< 时 ,f ( x) min ? f ? ? ? ? ; e e e ? ?

1 (2)当 t≥ 时, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t. e
1 ? 1 ? ,0 ? t ? , ? ? e e ………………………………………………………(6 分) ?? 1 ?t ln t ,≥ t . ? e ?

所以 f ( x) min

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 x ? (0 ,? ?) 时,
1 1 ?1? f ( x) ? x ln x 的最小值是 f ( x) min ? f ? ? ? ? , (当且仅当 x= 时取到最小值) e e e ? ?

问题等价于证明 x ln x ? 设 m( x) ? 则 m?( x) ?

x 2 ? , ex e

x 2 ? ( x ? (0 , ? ?)) , ex e 1? x 1 ,易得 m( x)max ? m(1) ? ? , (当且仅当 x=1 时取到最大值) x e e 1 2 ? 成立. ………………………………(12 分) e x ex
2 2 x

从而对一切 x ? (0 ,? ?) ,都有 ln x ?

5.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】已知函数 f(x)=(x +ax-2a +3a)e (x∈R), 其中 A∈R. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当 a≠2/3 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 【答案】 (1)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.
(2) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

? 2a? x ?? ?,
+ ↗

? 2a
0 极大值

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .
函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

a?2
0 极大值

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。
函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .
6. 【 天 津 市 天 津 一 中
x

2013
2

届 高 三 上 学 期 一 月 考

理 】 已 知 函 数

f(x)=aln(e +1)-(a+1)x,g(x)=x -(a-1)x-f(lnx), a∈R,且 g(x)在 x=1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)若对 0≤x≤3, 不等式 g(x)≤|m-1|成立,求 m 的取值范围; (3)已知?ABC 的三个顶点 A,B,C 都在函数 f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨 论?ABC 是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.

【答案】解:(1) g ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ln(1 ? x) ? (a ? 1) ln x( x ? 0) ,
g ' ( x) ? 2 x ? (a ? 1) ? a a ?1 ? ( x ? 0) , 1? x x

依题设,有 g ' (1) ? 0 ,所以 a=8. (2) g ( x) ? x 2 ? 7 x ? 8 ln( 1 ? x) ? 9 ln x( x ? 0)
g ' ( x) ? 2 x ? 7 ?
' 8 9 ( x ? 1)(x ? 3)(2 x ? 3) ? ? ( x ? 0) ,由 g ( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 3 1? x x x( x ? 1)

函数 g ( x) 增区间(0,1),减区间(1,3) 函数 g ( x) 在 x=3 处取得极小值,g(x)min=g(3);函数 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(x)max=g(1), 不等式|m-1|≥g(x),对 0≤x≤3 成立,等价于|m-1|≥g(x)max 成立 即 m-1≥g(x)max=g(1)orm-1≤-g(x)max=-g(1), m≤1-g(1) or m≥1+g(1)
x1 ? x3 , 2

(3)设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) . C( x3 , f ( x3 )) ,且 x1 ? x2 ? x3 , x 2 ? 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , ∴ BA ? ( x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )) , BC ? ( x3 ? x2 , f ( x3 ) ? f ( x2 )) ,

∴ BA ? BC ? ( x3 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 所以 B 为钝角, ? ABC 是钝角三角形.

f ( x) ? 8 ln(1 ? e x ) ? 9 x , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( x1 ? x2 )
2

= 8 [ln( 1 ? e x1 )(1 ? e x1 ) ? ln(1 ? e

x1 ? x2 2

)2 ]
x1 ? x2 2

= 8[ln( 1 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e ∵ x1 ? x 2 ∴ e x1 ? e x2 ? 2 e x1 ? e x2 ? 2e ∴1 ? e 1 ? e
x x2

? e x1 ? x2 )]

x1 ? x2 2

? e x1 ? x2 ? 1 ? 2e

x1 ? x2 2

? e x1 ? x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 )?0 2

∴ f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,故 f(x)是 R 上的凹函数. )? 2 2

f ' ( x) ?

8e x ? 9 ? ex ?9 ? ? 0 恒成立∴ f ( x) 在 (?? , ? ?) 上单调递减. x 1? e 1? ex

若 ? ABC 是等腰三角形,则只能是 BA ? BC . 即 ( x1 ? x2 ) 2 ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? ( x3 ? x2 ) 2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x2 )]2

∵ x 2 ? x1 ? x3 ∴ [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x2 )]2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) .
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ∴ f ( x1 ? x3 ) ?
2

f ( x1 ) ? f ( x3 ) , 2

这与 f(x)是 R 上的凹函数矛盾,故 ? ABC 是钝角三角形,但不可能是等腰三角形. 7.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】已知函数 f(x)= x+2lnx(a∈R). (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=x -2x,若对任意 x 1 ∈(0,2],均存在 x 2 ∈(0,2],使得 f(x 1 )<g (x 2 ) ,求 a 的取值范围。 【答案】 (1)f′(x)=ax-(2a+1)+ ∴a-2a-1+2=3a-2a-1+ ∴-a+1=a2

1 2 ax -(2a+1) 2

2 x

f′(1)=f′(3)

1 3

2 3 2 a= 3

(2)注 x>0! f′(x)=

ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 x
∴令 f′(x)>0 得 ax -(2a+1)x+2>0 ∴f(x)在(0,2)在(2,+ ? )
2

∵x>0

<1>a=0 时,得 x<2

a ? 0 时,f′(x)>0 得(x-2)(ax-1)>0 <2>a<0 时,f′(x)>0 得(x-2)(x∴f(x)在(0,2)在(2,+ ? ) <3>a>0 时 f′(x)>0 得(x-2)(x①

1 )<0 a

1 )>0 a

1 1 =2 即 a= 时,f(x)在(0,+ ? ) a 2 1 1 1 1 ② >2 即 0<a< 时,f(x)在( ,+ ? )在(0,2)在(2, ) a 2 a a 1 1 1 1 ③ <2 即 a> 时,f(x)在(0, )在(2, + ? )在( ,2) a 2 a a
(3)f max (x)<g max (x) x∈(0,2]

∵g max (x)=g(2)=0 ∴f max (x)<0, x∈(0,2] 由(2)知①a≤

1 时 f(x)在(0,2] 2

∴f max (x)=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2<0 ∴a>ln2-1 ∴ln2-1<a≤ ②a>

1 2

1 1 1 时,f(x)在(0, )在( ,2) 2 a a 1 a 1 1 1 ∴f max (x)=f( )= · 2 -(2a+1)· +2ln a 2 a a a 1 1 = -2- -2lna 2a a 1 =2-2lna2a 1 =-2(1+lna)2a 1 1 1 1 ∵a> ∴lna>ln >ln =-1 ∴f( )<0 2 2 e a
经上 a>ln2-1

∴a>

1 2

8. 【 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 】 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 函 数

1 f ( x) =a (x - ) ln x x
(1)当 a=1 时,求曲线 y =f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f (x) 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 g (x )= 范围。 【答案】

e ,若在[l,e]上至少存在一点 x0 使 f (x0 ) ? g (x0 ) 成立,求实数 a 的取值 x

9.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? lg x ?

1? x ,其中 a 为大于零的常数 ax

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上的最小值; (3)求证:对于任意的 n ? N , 且n >1 时,都有 ln n > 【答案】
?

1 1 1 ? ? ?????? ? 成立。 2 3 n

10. 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 ( 理 ) 】 ( 12 分 ) 已 知 函 数

f ?x? ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a

(1)求 f ?x ? 的单调递减区间; (2)若 f ?x ? 在区间 ?? 2,2? 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 【答案】

11.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理) 】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x.

( 1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点
(Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值 范围.
2 【答案】解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 .………………2 分 x

因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 . 所以切线方程是 y ? ?2. …………………………4 分

(0, ? ?) (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 . ………………5 分
当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) x x

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ? 所以 x ? 当0 ?

2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? ? 0, x x
……………………7 分

1 1 或x? . 2 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ; 当1 ?

1 1 ? e 时, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a



1 ? e 时, f ( x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意………………9 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax2 ? ax ? ln x ,

(0, ? ?) 只要 g ( x) 在 上单调递增即可.…………………………10 分
而 g ' ( x) ? 2ax ? a ? 当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 2ax2 ? ax ? 1 ? x x
1 (0, ? ?) ? 0 ,此时 g ( x) 在 上单调递增;……………………11 分 x

2 (0, ? ?) 当 a ? 0 时,只需 g ' ( x) ? 0 在 上恒成立,因为 x ? (0,??) ,只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 ,

则需要 a ? 0 ,………………………………12 分 对于函数 y ? 2ax2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ? 即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 .

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

………………………………………………14 分

12.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分) 一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)用 ? 表示铁棒的长度 L(? ) ; (2)若铁棒能通过该直角走廊,求铁棒长度的最大值.

【答案】 (1)根据题中图形可知,

L(? ) ?

2 2 ? ?? ? , ? ? ? 0, ? . cos ? sin ? ? 2?

………4 分

(2)本题即求 L(? ) 的最小值. 解法一:

………5 分

L(? ) ?

2 2 sin ? ? cos ? ? ?2 cos ? sin ? sin ? ? cos ?

令 t ? sin ? ? cos ? , t ? 1, 2 ,

?

?

原式可化为 L(t ) ?

4t 4 ? . 1 t ?1 t? t
2

………9 分

因为 L(t ) 为减函数,所以 L(t ) ? L( 2 ) ? 4 2 . ……11 分 所以铁棒的最大长度为 4 2m . 解法二: 因为 L(? ) ? ………12

2 2 ? ,所以 cos ? sin ?

? 2 cos? 2 sin ? 2(sin 3 ? ? cos3 ? ) ? ? sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? cos2 ? 2(sin ? ? cos? )(sin2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? ) ? sin 2 ? cos2 ? L?(? ) ?
因为 ? ? ? 0,

………9 分

? ?? ? ?? ?? ? ? ? ,所以 ? ? ? 0, ? 时, L(? ) 为减函数, ? ? ? , ? 时, L(? ) 为 ? 2? ?4 2 ? ? 4?

增函数,所以 L(? ) min ? L( ) ? 4 2 ,

?

4

………11 分

所以铁棒的最大长度为 4 2m .

………12 分

13. 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 ( 理 ) 】 ( 14 分 ) 已 知 函 数

f ?x? ? x ln x, g ?x? ? ? x 2 ? ax ? 3 .
(1)求函数 f ?x ? 在 ?t , t ? 2? (t>0)上的最小值; (2)对一切 x ? ?0,???2 f ?x ? ? g ?x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:对一切 x ? ?0,??? ,都有 x ln x > 【答案】

x 2 ? . ex e


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