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江西省景德镇市2013届第三次质检试题文科数学


景德镇市 2012 届高三第三次质检试题文科数学卷
考试时间:2012 年 4 月 14 日下午 14:00-16:00

第Ⅰ卷(选择题 满分 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i ? ? ? i
2 12

?

A. ? 1 B.0 C.1 D. 1 ? i 2. 已知集合 M、N、P 均为全集 U 的子集,图中阴影部分用 M、N、P 表示为 A. (M∪N)∩P B. (M∪N)∩( CU P )

C. (M∩P)∪(N∩P) D. (M∪P)∩(N∪P) 3.函数 y ?

x2 ? x ? 6 的定义域为 x ?1
B. [?2 ,1)∪[3,+∞) D. [?3 ,1)∪(2,+∞)

A. [?2 ,1]∪[3,+∞) C. (?3 ,1)∪(2,+∞) 4.函数 y ? 12 sin( 2 x ? A. 6 ?

?
6

) ? 5 sin(

?
3

? 2 x) 的最大值是

5 3 2

B.17

C.13

D.12

5.已知 {an } 为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,S n 为 {an } 的前 n 项 和, n ? N ? ,则 S10 的值为 A. ? 110 B. ? 90 C.90 D.110

6 . 命 题 p : 幂 函 数 y ? (m ? 1) x

1 m2 ? m ? 3 在 R 上为增函数;命题 q: 3

y ? log2 ( x ? x 2 ? 1) 是奇函数,下列复合命题中假命题是
A.p 或 q B.p 且 q
2

C.非 p 或非 q

D.非 p 或 q

7.满足函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? 3 在区间 [? A.1 个 B.2 个 C.3 个

3 , 2] 的最大值为 5 的实数 a 的值有 2
2

D.无数个
2

8.直线 m( x ? 2) ? y ? 3 ? 0(m ? R) 与圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 4 ? 0 的交点个数为

A. 0 个

B. 1 个

C. 0 个或 2 个

D.2 个

9.底面边长为 4 的正四棱柱(高 h ? 6) 形的容器,先放入一个半径为 2 的球,然后再放 入一个半径为 1 的小球,则小球的最高点距棱柱底面的距离为 A.6 B. 3 ? 2 2 C. 3 ? 7 D. 3 ? 6

10.已知函数 f ( x) ?| log 2 | x || ?( ) ,关于 f (x) 的零点的结论正确的是
x

1 2

A.有三个零点,且所有零点之积大于 ? 1 C.有四个零点,且所有零点之积大于 1

B.有三个零点,且所有零点之积小于 ? 1 D.有四个零点,且所有零点之积小于 1

第Ⅱ卷(非选择题 满分 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

2 , 运行如图所示的程序框图, 则输出的结果是_______________ x

12.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为_____________

13.已知圆 O: x ? y ? 9 ,直线 l 过点(0,3) ,倾斜角为 ? , ? 在区间(0,π )内随
2 2

机取值。 l 与圆 O 相交于 A、B 两点,则|AB|≤ 3 2 的概率是_____________ 14.从抛物线 x ? 2 py( x ? 0, p ? 0) 的焦点 F 发出一条斜率为 ? 1 的光线,经抛物线反射
2

后,反射光线经过点 M ( 2 , m) ,则 p 的值为_____________ 15.若关于 x 的不等式 | x ? 2 x | ?
2

? x log2 a 的解集为非空集,则实数 a 的取值

范围是_________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(本小题 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知向量 u ? (1,

?

2 sin A) , v ? (sin A , 1 ? cos A) ,满足 u ∥ v , b ? c ? 3a
(1)求角 A 的值; (2)求 sin B 的值

?

?

?

17.(本小题 12 分)某校决定为本校上学时间不少于 30 分钟的学生提供校车接送服务。为了 解学生上学所需时间,从全校 600 名学生中抽取 50 人统计上学时间(单位:分钟) ,现对 60 人随机编号为 001,002,...600。抽取 50 位学生上学时间均不超过 60 分钟,将时间 ... 按如下方式分成六组,第一组上学时间在[0,10) ,第二组上学时间在[10,20)... ,...第 六组上学时间在[50,60](单位:分钟)得到各组人数的频率分布直方图。如下图。 (1)若抽取的 50 个样本是用系统抽样的方法得到,且第一段的号码为 006,则第五段抽取 的号码是什么? (2) 若从 50 个样本中属于第 4 组和第 6 组的所有人中随机抽取 2 人, 设他们上学时间分别 为 a、b,求满足|a-b|>10 的事件的概率; (3) 设学校配备的校车每辆可搭载 40 名学生, 请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样 的校车?

18 . ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 : a1 ? 1 , 且 an ?1 ?

n2 a n (n ? N ? ) , (n ? 1) 2

bn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n
(1)求数列 {an } 的通项 an (2)求证: S n ?

1 2

19.(本小题 12 分)三棱锥 O-ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,P 为 OC 中点,PQ 垂直 BC 于 Q,OA=OB=OC=2,过 PQ 作一个截面,交 AB、AO 于 R、S,使 PQRS 为梯形。 (1)求

AS AR 、 的值; SO RB

(2)求五面体 ACPQRS 的体积。

20.(本小题 13 分) 已知 F1 、 F2 分别是椭圆 C 1 :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,M、N 分别 2 a

是双曲线 C 2 : ⊥x 轴

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 N 作双曲线渐进线的垂线, 垂足为 P, PF 2 若 2 a2

(1)椭圆 C 1 与双曲线 C 2 的方程; (2)分别过 F 2 和 N 作两条平行线 l1 、 l 2 , l1 交椭圆于 A、B, l 2 交双曲线右支于 D、E, 问:是否存在 ? ? R ,使得

1 ? ? 为定值,若不存在,说明理由。 | AB | | DE |

21.(本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ( ln x ? a) x ? 2 在点 (1 , f (1) )处的切线的斜率
2

1 2



1 。 2 f ( x) ( x ? 2) 问:函数 y ? g (x) 是否存在最小值点 x0 ?若存在,求 2x ? 4

(1)求 a 的值; (2)设函数 g ( x ) ?

出满足 x0 ? m 的整数 m 的最小值;若不存在,说明理由。

高三文科数学答案 1-5 CBBCD 6-10 CBDCA 11.2 12.10 13.

1 2

14. 2 ?

2
1 或a ? 4 4
? ?

15. 0 ? a ?

16.16. (1) u ∥ v ? 1? (1 ? cos A) ? sin A ? 2 sin A ? 0

2 sin 2 A ? cos A ? 1 ? 0

2(1 ? cos2 A) ? cos A ? 1 ? 0
2 cos2 A ? cos A ? 1 ? 0
cos A ? 1 或 ?1 2

因为 A 为三角形内角,所以 A ? 60? (2) b ? c ? 3a

sin B ? sin C ? 3 sin A ? 3 sin 60 ? ?
C ? 180 ? ? B ? A ? 120 ? ? B 3 所以 sin B ? sin(120 ? ? B) ? 2

3 2

3 3 3 sin B ? cos B ? 2 2 2 sin B ? 3 1 3 ? cos B ? ? 2 2 2 3 2

sin(B ? 30?) ?

B ? 30? ? 60?或120 ? B ? 30?或90? 1 所以 sin B ? 或1 2 17. (1) 600 ? 50 ? 12

第一段的号码为 006, 第五段抽取的数是 6 ? (5 ? 1) ? 12 ? 54 即第五段抽取的号码是 054 (2)第 4 组人数 ? 0.008 ? 10 ? 50 ? 4 这 4 人分别设为 A、B、C、D 第 6 组人数 ? 0.004 ? 10 ? 50 ? 2 这 2 人分别设为 x,y 随机抽取 2 人的可能情况是: AB AC AD BC BD CD xy Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy 一共 15 种情况,其中他们上学时间满足|a-b|>10 的情况有 8 种 所以满足|a-b|>10 的事件的概率 p ?

8 15

an an?1 a2 (n ? 1) 2 (n ? 2) 2 12 1 18.解: (1) an ? ? ? ? ? a1 ? ? ? 2 ?1 ? 2 2 2 an?1 an?2 a1 n (n ? 1) 2 n

(2) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 1) (2n ? 1)

数列 {bn } 的前 n 项和 S n 为:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? ? 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 4n ? 2 1 ?0 因为 n 是正整数,所以 4n ? 2 1 故 Sn ? 2 Sn ?
19.(本小题 12 分)三棱锥 O-ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,P 为 OC 中点,PQ 垂直 BC 于 Q,OA=OB=OC=2,过 PQ 作一个截面,交 AB、AO 于 R、S,使 PQRS 为梯形。 (1)求

AS AR 、 的值; SO RB

(2)求五面体 ACPQRS 的体积。 解: (1)因 PQRS 为梯形,只能是 PS ∥ QR ,于是得到

PS ∥ AC

QR ∥ AC
AS ?1 SO

因 P 为 OC 中点,所以

因 PQ 垂直 BC,所以 PQ ? CQ ? 而 CB ? 2 2

2 2

CQ 1 ? BC 3 AR 1 ? 即: RB 3
所以 (2)连 OA,OR,PR

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? 3 2 3 1 1 3 3 3 VQ ?OBR ? ? ? 2 ? ? ? 3 2 2 2 4 1 1 1 1 VP ?OSR ? ? ? 1 ? ? 1 ? 3 2 2 12 1 1 1 3 1 VR ?OPQ ? ? ? 1 ? ? ? 3 2 2 2 8 4 3 1 1 3 ? )? 所以五面体 ACPQRS 的体积 ? ? ( ? 3 4 12 8 8 VO ? ABC ?
20.解:(1)可求出 a =2
2

∴两种曲线的方程分别为

x2 x2 y2 ? y 2 ? 1, ? ?1 2 2 2

(2)若 L1,L2 不垂直于 x 轴,设其斜率为 k,则

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
DE ?

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 ?x ? y ? 2

可 出 AB ? 求

2(1 ? k 2 ) 2 1 ? 2k 2

2 ? 2(1 ? k 2 ) k 2 ?1

1 3 2 ? ? ? ? , 定值为 2 8

当 L1,L2 与 x 轴垂直时

1 1 3 2 ? ? AB 2 DE 8

1 3 2 ? 存 ? ? ? , 定值为 在 2 8
21.解: (1) f ?( x) ? 2 x ?

1 1 1 1 ? x ? ( ln x ? a) ? 1 ? 2 x ? ? ln x ? a 2x 2 2 2

1 2 1 1 2 ?1 ? ? 0 ? a ? 2 2 a?2 1 2 (2) f ( x) ? x ? ( ln x ? 2) x ? 2 2 f ( x) 设 g ( x) ? ,则 2x ? 4 f ?(1) ?

1 3 x (2 x ? ln x ? )(2 x ? 4) ? ( x 2 ? ln x ? 2 x ? 2) ? 2 2 2 2 g ?( x) ? 2 (2 x ? 4)

2 x 2 ? 7 x ? 2 ? 2 ln x ? (2 x ? 4) 2
令 h( x) ? 2x 2 ? 7 x ? 2 ? 2 ln x

h?( x) ? 4 x ? 7 ?

2 4 x 2 ? 7 x ? 2 (4 x ? 1)(x ? 2) ? ? ?0 x x x

故 h(x) 在(2,+∞)上为增函数 又 h(2) ? ?4 ? 2 ln 2 ? 0 , h(3) ? ?1 ? 2 ln 3 ? 0 , h(4) ? 6 ? 2 ln 4 ? 0 因最小值点 x0 为 h(x) 的零点,所以 3 ? x0 ? 4 而 x0 ? m , m 是整数 故整数 m 的最小值为 4。


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