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2013数学建模国赛A题


2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛







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2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘要

本文以建立评价交通事故中车道占用对道路通行能力的影响的模型为目标,讨论了 四个相关问题,分别是事故发生前后事故所处横断面实际通行能力的变化过程、交通事 故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异、车辆排队长度与其相关因子之间 的关系及在事故持续不撤离的情况下车辆排队长度与时间的关系,并建立了相关的数学 模型,借助于 MATLAB、SPSS 及 Visio 软件解决上述问题。 问题一 本问以小汽车为标准车型,对其他车型进行基于公路服务水平的当量换算,并构建 道路通行能力模型,将速度作为影响因子,对模型进行优化,最终确定事故横断面道路 通行能力模型: ,得出事故发生至撤离期间 横断面实际通行能力随时间的变化满足正态分布。 问题二 采用问题一建立的模型分别计算出了视频一、二中事故发生前后该横断面道路的平 均实际通行能力,并将二者的结果进行对比,分析得出:道路实际通行能力的大小与被 占车道无直接联系, 道路通行能力只与被占车道的行驶车辆在下一交叉口处的分流比例 有关。 问题三 针对此问,本文建立了两个模型,一个是基于 SINGAL94 的优化模型,另一个是基 于二流理论的当量排队长度模型。 在模型一中,利用 SPSS 分析出上游车流量 与事故持续时间 成泊松分布关系, 利用 MATLAB 分析出道路通行能力 与上游车流量 成正态分布关系。 模型二在 EXCEL 进行线性回归得出上游车流累积量、事故横断面车流累积量、平均 阻塞密度与事故持续时间均呈线性关系,在此基础上结合流量守恒和二流理论构造出了 当量排队长度模型: 问题四 由于问题三中模型二要优于模型一,选用模型二进行计算,通过题目所给数据,对 模型二中的个别因子进行修正,得出针对问题四的队列长度函数关系式,计算得出了事 故发生后车辆排队长度到达上游路口的时间为 14 分钟。

关键词:当量换算系数 通行能力 SINGAL94 二流理论 流量守恒
1

一. 问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素,导致车道或道路横断面 通行能力在单位时间内降低的现象。 由于城市道路具有交通流密度大、 连续性强等特点, 一条车道被占用,也可能降低路段所有车道的通行能力,即使时间短,也可能引起车辆 排队,出现交通阻塞。如处理不当,甚至出现区域性拥堵。 视频 1(附件 1)和视频 2(附件 2)中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面, 且完全占用两条车道。请研究以下问题: 1. 根据视频 1(附件 1) ,描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实 际通行能力的变化过程。 2. 根据问题 1 所得结论,结合视频 2(附件 2) ,分析说明同一横断面交通事故所占 车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 3. 构建数学模型,分析视频 1(附件 1)中交通事故所影响的路段车辆排队长度与 事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4. 假如视频 1(附件 1)中的交通事故所处横断面距离上游路口变为 140 米,路段 下游方向需求不变,路段上游车流量为 1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长 度为零,且事故持续不撤离。请估算,从事故发生开始,经过多长时间,车辆排 队长度将到达上游路口。

二. 问题一
2.1 问题分析 道路通行能力是指道路上某一点某一车道或某一断面处,单位时间内可能通过的最 大交通实体(车辆或行人)数。根据视频一统计出事故前后断面处单位时间内通过的面 包车、大型客车、小汽车的数量,为了方便道路通行能力的计算,我们将三类车型归一 到一个比较量中,把小汽车作为标准车型,根据道路的服务水平对其他两种车型进行当 量换算。 建立基于服务能力的当量换算系数的道路通行能力模型,分析结果后发现模型存在 一定的误差,考虑到速度的影响,对模型进行修正后分析事故发生后道路实际通行能力 的变化情况。 2.2 问题假设 (1)假设不考虑四轮以下的交通工具的流量。 (2)假设小汽车车长为 4.5 米,大型客车车长 8 米,小面包车车长为 4 米。 (3)假设一定时间段内车辆匀速行驶。 (4)假设不考虑视频跳断处。 2.3 符号说明

:事故横断面处实际通行能力

(=1,2,

)

: n 时刻通过横断面处 i 型车辆数目
2

(=1,2,3,n=1,2,

)

: 各类型车辆的当量系数 (=1,2,3) :各类型车辆的速度 (=1,2,3) 2.4 模型的建立与求解 考虑不同类型的车辆的当量, 建立基于服务能力的当量换算系数的道路通行能力模 型: 表示事故横断面处实际通行能力 , 表示 n 时刻通过横断面处小汽车数 目, 表示 n 时刻通过横断面处大型客车数目, 表示 n 时刻通 过横断面处面包车数目; , , 分别表示小汽车、大型客车、面包 车的当量系数。 根据视频一,统计出事故发生前,事故发生后以及事故解决后每分钟内事故发生处 横断面通过的各类型的车辆数(见附录一) 。由于车辆运行状态不同时,其相应的当量 换算系数是不同的,因此在确定其当量换算系数时,首先要对其运行状态进行确定。一 般来说,车辆的运行状态与公路的服务水平即公路质量、车间距等因素有关。所以为得 出相应的当量换算系数,就必须建立与之相适应的公路服务水平,参考文献【1】 ,从中 摘录出我国公路水平分级指标,见下表:
表 1 公路服务水平分级指标 速度自由度 汽车数量百分率 平均运行速度(km/h)

其中

服务水平 A

B

C

D

E

由表可知,服务水平的高低可以体现在车辆的速度上。为确定服务水平,首先求出 各类型车辆的水平。 小汽车通过横截面处速度
3

其中

为小汽车车长 4.5 米,

为小汽车车头通过横截面到车尾通过横截面的时间。

同理,大型客车通过横截面处速度 面包车通过横截面处速度 通过视频一统计出每种类型车辆各五辆从车头到车尾完全通过该横截面处的时间, 根据公式(2)、 (3) 、 (4)计算出各个时间段通过该横截面处的速度,结果见下表:
表 2 三种类型的车辆不同时段的速度 车辆 1 车辆 2 车辆 3 车辆 4 车辆 5 事故发生前 小汽车(m/s) 大型客车(m/s) 面包车(m/s) 小汽车(m/s) 大型客车(m/s) 面包车(m/s) 小汽车(m/s) 大型客车(m/s) 面包车(m/s) 16 9.23 18.46 2.25 2 2 10 10.43 8 12 9.28 13.33 2.25 2 2 9.6 9.6 -8 8.89 -事故发生后 2.25 1.6 2 事故解决后 10.9 8.89 -12 9.23 -11.43 --38.8 34.3 28.8 4.5 2.67 1.33 4.5 4 1.33 11.34 8.83 6.24 16 8.57 -17.14 7.27 -49.7 30.4 57.2

车辆类型

平均速度(km/h)

注:--表示该时间段内通横断面处车辆过少,无法统计数据

由于标准车型为小汽车,因此道路分级以小汽车的速度为标准。根据计算得出的小 汽车速度,对照表 2,可以得出事故发生前道路服务水平为 C,事故发生后道路服务水平 为 E,事故解决后道路的服务水平仍为 E。明显地,事故的发生使道路的服务水平降低, 并且事故处理后,事故对其的影响还会在短时间内持续。 参考文献【1】 ,从中摘录出不同道路服务水平下各类型车辆对应的当量系数,制成 下表:
车型 服务水平 c值 A级 1 1 小汽车 B、 C级 表 3 不同车辆当量换算系数表 大型客车 D、 E级 1 A级 5.5 B、 C级 3.3 D、 E级 2.0 A级 3.7 面包车 B、 C级 2.2 D、 E级 1.0

根据计算出的道路服务水平,对应表 3,得出该横断面各时间段不同车辆的当量系 数,结果见下表:
表 4 事故发生后不同车辆的当量系数值 大型客车 小汽车 面包车 事故发生后 1 2.0 1.0

将表 2 与表 4 以及附录一的数据代入模型(1)可得到事故发生后 14 个周期内横断面
4

处实际通行能力如下表:
n 取值 道路通行能力 (辆 ) n 取值 道路通行能力 (辆 ) 与 n 在 SPSS 中进行单样本的 K-S 检验,结果如下: 表6 与 n 的 K-S 检验结果
单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验 通行能力 Qn N 正态参数
a,,b

1 215.24 8 217.82

表 5 事故发生后 14 个周期内 2 3 4 190.04 9 173.52 166.14 10 201.46 177.56 11 177.64

值 5 167.36 12 201.38 6 211.58 13 195.06 7 200.16 14 191.18

将上表中通行能力

14 191.87 17.276 .152 .152 -.113 .569 .903

均值 标准差

最极端差别

绝对值 正 负 Kolmogorov-Smirnov Z 渐近显著性(双侧)

a. 检验分布为正态分布。 b. 根据数据计算得到。

分析结果可知,横断面处实际通行能力

随时间的变化满足正态分布。

2.5 模型的评价 优点: 1.模型考虑了速度因子、公路服务水平及当量换算系数,较好地描述了道路的实际通行 能力。 2.运用 SPSS 对 与 n 的关系进行定性的分析,简明地描述了事故横断面实际通行能力 的变化过程。 缺点: 1.采用目测的方法统计数据,具有较大的随机误差。

三.问题二
3.1 问题分析 问题二要求分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力 影响的差异。由问题一的分析与求解结果可知,问题一中所建立的模型可以较好地评价 事故路段通行能力的变化,因此,本问采用问题一中的模型对视频二进行相同的求解与 结果分析,并与问题一的结果进行对比,找出横断面实际通行能力变化的差异,并分析
5

原因。 3.2 模型假设 (1)假设不考虑四轮以下的交通工具的流量。 (2)假设小汽车车长为 4.5 米,大型客车车长 8 米,小面包车车长为 4 米。 (3)假设一定时间段内车辆匀速行驶。 (4)假设不考虑视频跳断处。 3.3 问题的求解 分析视频二,统计出事故发生前,事故发生后以及事故解决后每分钟内通过事故发 生处横断面的各类型的车辆数(见附录二) 。根据问题一所建立的模型,按照问题一的 方法,计算出求解所需数据,制成下表:
表 7 c-n-v 数据表 小汽车 大型客车 1 36 16 1 12.46 15.45 1 35.3 28 2 39.3 1 2 10.29 2 2 36 4

面包车 1 37.6 3 1 14.4 2.07 1 36.2 4

将上表所示数据代入模型(5) ,得出以下结果: 事故发生前道路的车辆通行能力 事故发生后道路的车辆通行能力 事故解决后道路的车辆通行能力 同理可得视频一中: 事故发生前道路的车辆通行能力 事故发生后道路的车辆通行能力 事故解决后道路的车辆通行能力 为了更好地比较同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响 的差异,将问题一与问题二的结果绘成图表,如下:

图 1 视频一与视频二道路车辆通行能力柱状图
6

由图表可知: 在事故发生后,视频一与视频二的道路通行能力均降低,但视频二的通行能力大于 视频一的通行能力。根据题目所给附件三,在事故发生路段的下游交叉路口处,右转流 量比例为 21%,直行流量比例为 44%,左转流量比例为 35%。在两段视频中,事故车辆均 完全占用两个车道,且视频一中能通行的车道为右转车道,视频二中能通行的车道为左 转车道。在视频一中,行驶在左转车道和直行车道的车辆通过事故横断面后,需进行换 道,需要换道的车辆比例为 79%;同理,在视频二中,行驶在右转车道和直行车道的车 辆也需进行换道,且需要换道的车辆比例为 65%。 由参考文献【3】可知,车道变换行为的执行需要一定的道路空间,其对道路空间 利用率的占用将降低道路通行能力,所以视频一的通行能力小于视频二的通行能力是因 为视频一中需要进行道路变换的车辆数目多于视频二中的。 因此,道路实际通行能力的大小与被占车道无直接联系,道路通行能力只与被占车 道的行驶车辆在下一交叉口处的分流比例有关。

四.问题三
4.1 问题分析 该问要求构建数学模型分析视频一中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故 横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。首先,经查阅资料, 本问构建了基于 SINGAL94 车辆排队长度优化模型,并找出事故横断面处实际通行能 力、事故持续时间、路段上游车流量这三者之间的关系,将其作为函数因子,代入车辆 排队长度模型中,并进行模型的验证。其次,基于二流理论构建了车辆排队长度模型, 并依次找出事故横断面处实际通行能力、路段上游车流量与事故持续时间的关系,将其 带入车辆排队长度模型二中,并进行验证。 4.2 模型假设 (1)假设每个周期内两个小区路口的出车数量为定值。 (2)假设事故前各车辆间距离都一样。 (3)假设不考虑视频中断处的情况。 4.3 符号说明 (min): 绿灯时长 (辆 km/h): 饱和流率 (min): 红灯时长 (辆): 第 n 周期的车辆到达流率(n=1,2,??,14) : 到达分布系数 (辆): 第 n 周期滞留的排队车辆数(n=1,2,??,14) (辆): 第 n 周期的最大排队车辆数(n=1,2,??,14) (min): 信号周期 : 调整因子
7

(辆): 上游车流量(n=1,2,??,14) (min): 事故持续时间 (辆 km/h): 第 n 周期道路实际通行能力(n=1,2,??,14) (m) 车辆排队长度 4.4 模型的建立与求解 4.4.1 基于 SINGAL94 的优化模型 车辆排队长度是由诸多因素决定的, 主要包括来车强度、 红灯时间及到达分布系数, SINGAL94 模型考虑以上因素,并考虑到饱和周期和非饱和周期,计算排队车辆数:

其中 为第 n 周期最大排队车辆数, 为第 n 周期的车辆到达流率, 为红灯时 间, 为车辆平均到达率。 但考虑到当交通需求大于通行能力时,绿灯结束时仍有一定的滞留车辆在排队,在 SINGAL94 模型的基础上,对其进行修正,建立基于 SINGAL94 的优化模型:

可以表示为:

其中 为到达分布系数, 为第 n 周期滞留的排队车辆数, 为绿灯时长, 为 饱和流率, 为信号周期, 为调整因子。 由模型(7)可知排队车辆数与车辆到达率有一定的关系,而车辆到达率与道路实 际通行能力和车辆平均速度有如下关系:

因此为求出排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量 间的关系,只需找出事故持续时间和上游车流量与道路实际通行能力之间的关系。假设 事故发生后三者存在以下函数关系:

根据视频一, 由于问题一中统计的单位时间内通过横断面处的车辆数目包含了小区 路口的车辆出入数目以及上游出车数,因此,上游出车数需要重新统计。以一分钟为周 期,统计出事故发生后 14 个周期内的上游出车数 ,根据公式:

求出上游各周期内的车流量,具体结果见下表:
表 8 事故发生后 14 个周期内的上游车流量 小汽车流 大型客车流 面包车流 上游总车流
8

量/辆 第 1 个周期 第 2 个周期 第 3 个周期 第 4 个周期 第 5 个周期 第 6 个周期 第 7 个周期 第 8 个周期 第 9 个周期 第 10 个周期 第 11 个周期 第 12 个周期 第 13 个周期 第 14 个周期 4 14 16 10 11 17 17 16 11 14 11 12 17 10

量/辆 8 2 0 2 2 2 0 2 0 4 4 2 0 2

量/辆 5 4 2 2 4 1 3 3 5 3 1 3 3 6



/辆 17 20 18 14 17 20 20 21 16 21 16 17 20 18

为分析出上游车流量与道路实际通行能力的关系,根据问题一统计出的数据表 2、 表 4 和附录一,采用问题一的模型,道路通行能力:

计算出 14 个周期内道路通行能力,见下表:
表 9 事故发生后 14 个周期道路通行能力 小汽车 Q 值 大型客车 Q 值 面包车 Q 值 /(辆 /(辆 km/h) /(辆 km/h) km/h) 第 1 个周期 第 2 个周期 第 3 个周期 第 4 个周期 第 5 个周期 第 6 个周期 第 7 个周期 第 8 个周期 第 9 个周期 第 10 个周期 第 11 个周期 第 12 个周期 第 13 个周期 第 14 个周期 113.4 147.42 147.42 147.42 124.74 181.44 181.44 181.44 136.08 147.42 136.08 158.76 170.1 136.08 70.64 17.66 0 17.66 17.66 17.66 0 17.66 0 35.32 35.32 17.66 0 17.66 31.2 24.96 18.72 12.48 24.96 12.48 18.72 18.72 37.44 18.72 6.24 24.96 24.96 37.44 道路通行能力 /(辆 km/h) 215.24 190.04 166.14 177.56 167.36 211.58 200.16 217.82 173.52 201.46 177.64 201.38 195.06 191.18

利用 MATLAB 软件对上面表中的道路通行能力 与上游车流量 析(程序见附录三) 。运用结果见附录三,分析结果可得:

进行数据拟合分

下面分析事故持续时间 与上游车流量 的关系, 的取值为 1,2,3?,14, 将 的值与上游车流量 数值导入 SPSS 进行单样本 K-S 检验,结果见下图:
9

表 10 单样本 K-S 检验结果
单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验 上游流量 N Poisson 参数 最极端差别
a,,b

14 18.21 .216 .216 -.199 .807 .532

均值 绝对值 正 负 Kolmogorov-Smirnov Z 渐近显著性(双侧)

a. 检验分布为 Poisson 分布。 b. 根据数据计算得到。

分析结果可知上游车流量 与事故持续时间 成泊松分布关系。综合上面分析, 用 Visio 软件绘出以下交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能 力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系链:

图 2 变量间关系链图

4.4.2 基于二流理论的当量排队长度模型 二流理论将道路上的车辆分为两类: 运动中的车辆和停止车辆, 根据这种分类思想, 可以将交通流分为两类:运动车辆的行驶交通流和车辆停止不动的阻塞交通流,而在发 生事故时道路上的交通流就是这两种交通流的叠加。 在单出口单入口的不可超车的多车道路段,根据流量守恒原理有:

其中 为初始时刻(t=0)上游断面到事故横断面间的车辆数;r 为车道数; 为上 游断面的车辆累计数; 为事故横断面的车辆累计数; 为 t 时刻上游断面到 事故横断面间的车辆数; 是修正系数,即小区路口车辆的改变辆,为常量。 根据二流理论分析可知, 可以表示为:

10

其中 为平均阻塞密度; 为平均最佳密度; 为 t 时刻上、下游断面间的当量排 队平均车辆数; 为上游断面到事故发生横断面间的距离。 联立,解得:

在式(15)中,令

,则此刻平均当量排队车辆数:

同理,当

时,平均当量排队车辆数为:



时刻,平均排队车辆数的增量为:

时间内上游与事故发生横断面车辆累积数的增量分别为:

式中, 分别为第 条车道时间内通过上游断面、事故发生横断面的车辆 数。 将式(14)代入式(13)中得:

当时, 对点

的排队长度增量与时间增量之比取极限, 得该点排队长度变化率, 即:

式中 为 时刻的平均当量排队长度变化率, 间内通过上游断面、事故发生横断面的流量。 在任意 时刻的平均当量排队长度变化率:
11

分别为第 条车道时

当交通流拥挤时,各条车道的交通状态基本类似,其各断面流量基本相等,可以用 平均值来代替各条车道的断面流量,则(21)式可以简化为:

上式中

对应模型一检验表中的车辆到达流率
表 11 取值表

,如下:

23

19

16

17

17

20

19

21

18

20

17

20

19

20

用 EXCEL 进行



的回归分析,结果见下图:

图3



的回归分析结果

分析上图可知二者线性拟合程度很高,因此,二者的关系可表示为:

同理, ,对应表 8 中上游车流量

,如下:
表 12

取值 上游断面流量/辆 取值 上游断面流量/辆

17 21

20 16

18 21

14 16

17 17

20 20

20 18

用 EXCEL 进行



的回归分析,结果见下图:
12

图4



的回归分析结果

由图可知线性拟合度接近 1,因此



之间的关系可用以下式子表示:

下面分析平均阻塞密度

和事故处理时间

的关系。根据公式:

其中车间距 d 取 1 米,

取表 2 中的数据,对
表 13 4 13.6 11 37.6

进行计算,结果见下表:

1 4.2 (辆 ) 8 27.6 (辆 )

2 7.6 9 30.9

3 10.5 10 34.5

5 16.7 12 41.3

6 20.4 13 44.7

7 23.8 14 48.4

将数据导入 EXCEL 进行



的回归分析,结果见下图:

图5



的回归分析结果

同理,



的关系式可表示为:



中的

,即 48.4 辆/
13

。联立式(22)(23)(24)(25)(26)可解得:

对上式积分得: 通过视频一可得到 为 18。 4.5 模型验证 4.5.1 模型一的验证 为确保模型的符合题目所给的实际情况,下面对根据实际情况对模型进行验证。首 先对事故发生前即非饱和周期下的模型进行验证。 根据视频一, 统计事故发生前单位时间内红灯时排队等候的车辆数 n, 即排队长度, 取三个样本,并进行标准当量换算,结果见下表:
表 14 事故发生前单位时间内红灯时排队等候的车辆数 小汽车/ 大型客车 面包车 样本一 n 值 样本二 n 值 样本三 n 值 c 8 2 10 1 1 1 3 3.3 0 0 1 2.2

为方便与实际值比较,将队列长度单位从辆转化为米,即

结合公式(6)计算理论上的队列车辆数,其中 R 为红灯时间,取 0.5min, 为小汽 车车长,取 4.5 米, 为车间距,取 5 米,将表 14 中 n 值取平均后代入公式(6),得出 理论值,将表 14 中 n 值取平均后直接与 相乘,d 取 1 米,得出实际值,比较两值, 分析出模型的相对误差,结果如下表所示:
表 15 非饱和周期下模型误差分析表 M 理论值 M 实际值 相对误差 168.34 154.19 9.17%

同理,对事故发生后即过饱和周期下的模型进行验证。根据公式(6),结合表 8,计算出 14 个周期的滞留的排队车辆数 ,结果见下表:
表 16 14 个周期内 215. 24 23 190. 04 19 166. 14 16 177. 56 17 167. 36 17 211. 58 20 200. 16 19 、 217. 82 21 、 173. 52 18 取值表 201. 46 20 177. 64 17 201. 38 20 195. 06 19 191. 18 20

12.6 5

21.3

26.9 5

33.6

40.2 5

49.9

58.5 5

69.2

76.8 5

86.5

93.1 5

102. 8

111. 45

121. 1

根据公式(6)、 公式(7)与公式(8),此时车间距
14

取 1 米, 取 4.5 米, 根据 SINGAl94

的理论 取 0.6,结合表 16,计算 14 个周期 M 的理论值,对其取平均,作为 M 的实 际理论值。 根据视频, 堵车长度为 120 米, 而堵车时三条车道上都有车辆排队等待通过, 因此,实际的队列长度应为 360 米。比较两值,分析出模型的相对误差,结果如下表所 示:
表 17 饱和周期下模型误差分析表 M 实际值 360

M 理论值 385.6

相对误差 7.1%

综合以上分析可知,在两种状况下,模型的相对误差都小于 10%,误差属于可接受 范围, 因此认为基于 SINGAL94 的优化模型能适用于事故道路车辆排队队列长度的计算。 4.5.2 模型二的验证 为计算出实际的排队长度, 根据视频一统计出视频中出现 120 米长度的 5 处的各类 型车辆数,换算成当量,并计算出排队时每辆所占的道路空间,即 结果如下表:
小汽车数目/ 辆 8 11 18 21 18 表 18 排队距离为 120 米时的当量统计 面包车数目/ 大型客车数 当量换算后车 辆 目/辆 辆数目 cn/辆 0 3 14 0 1 13 3 0 21 2 1 25 1 2 23 排队时每辆车所 占有空间(m/辆) 8.57 9.23 5.71 4.80 5.22

样本一 样本二 样本三 样本四 样本五

然后计算道路的实际排队长度,实际排队长度 等于上表排队时每辆车所占空间的 平均值与事故发生横断面的流量 的乘积,计算结果见下表:
事故处理时间/min 实际 M 值/m 事故处理时间/min 实际 M 值/m 表 19 道路的实际排队长度 1 2 3 4 154.1 8 140.7 127.3 9 120.6 107.2 10 134 113.9 11 113.9 5 113.9 12 134 6 134 13 127.3 7 127.3 14 134

根据式(28)求出道路理论排列车辆数 M,计算结果见下表:
事故处理时间 /min 道路理论排列 车辆数 /辆 理论 M 值/m 事故处理时间 /min 道路理论排列 车辆数 /辆
15

,然后利用式(29)求出道路理论排队长度

1 10.78 102.4 8 12.05

表 20 道路理论排列车辆数 2 3 4 10.89 103.3 9 12.42 11.00 104.5 10 12.91 11.14 105.8 11 13.56

5 11.31 107.4 12 14.51

6 11.51 109.3 13 16.18

7 11.75 111.6 14 22.68

理论 M 值/m

114.5

118.0

122.6

128.8

137.9

153.7

215.4

对表 19 与表 20 中 M 值分别取平均,并对平均值做误差分析,结果见下表:
M 理论值 127.3 表 21 模型误差分析表 M 实际值 123.9 相对误差 2.00%

4.6 模型的比较与评价 两模型假设合理,模型一将交通流量分为了饱和周期和非饱和周期,并且考虑了相 位对车流的影响,使模型更符合实际道路情况,在求解过程中,对变量两两进行分析, 函数关系更加明确。模型二基于二流理论将道路中出现车流分为两类,采取了平均最佳 阻塞密度与平均最佳通行密度, 并简化模型用车道的断面流量的平均值来代替各条车道 的断面流量,是模型的实用性更强。 根据模型的检验可知,模型一的误差大于 5%,而模型二的误差仅为 2%,且模型一在 实际的 M 值计算中直接采取视频中的排队长度 120 乘以车道数,模型过于理想化,但 模型二在计算实际 M 值的过程中,综合考虑每辆车所占道路空间以及取了五个样本点, 减小了数据的随机误差,使得结果更准确,因此,模型二优于模型一。

五.问题四
5.1 问题分析 问题四要求估算事故发生后多长时间车辆排队长度到达上游路口,可运用问题三的 模型进行求解,由于问题三中模型二优于模型一,因此我们选用模型二进行求解。将问 题所给数据代入模型,在 MATLAB 中进行求解。 5.2 问题求解 根据式(22)排队车流变化率: 根据式(29)排队长度:

现在所要求的时就是排队长度 M 为 140 米时的据题意可知: 上游流量 车距 对式

,其余量取值与问题三中模型二的取值相同。

进行积分可得:

16

由于 及排队长度的改变, 相应地调整为 29,在 MATLAB 用超越方程求根程 序进行求解(程序及运行结果见附录四) ,运行得出 ,因此,经过约 14 分钟 后,车辆排队长度将到达上游路口。

六.模型的推广与应用
在道路的修建过程中道路通行能力往往是一个很重要的设计因素,利用问题一建立 的基于公路服务能力的道路通行能力模型不仅能够计算实际道路的道路通行能力,还能 在道路的设计规划中对设计道路的通行能力进行预测,使修建出来的道路满足人们正常 出行的需求。问题三所建立的道路车辆的排队模型涉及了排队长度的主要影响因素,为 保证车辆的正常行驶,模型在红绿灯周期的设置上有重要的指导意义。

七.参考文献
[1] 刘俊信, 《关于车辆当量系数的评价与研究》 ,长安大学,硕士学位论文,20030401 [2] 张亚平,汪建鸽, 《基于流量-车道占有率模型的高速公路路段通行能力分析》 ,中南 公路工程,第 25 卷第 1 期,2000 年 3 月 [3] 徐慧智,程国柱,裴玉龙, 《车道变换行为对道路通行能力影响的研究》 ,中国科技 论文在线,第 5 卷第 10 期,2010 年 10 月 [4] 荣建,何民,陈春妹, 《信号交叉口排队长度动态计算方法研究》 ,中国公路学报, 第 15 卷第 3 期:101-107,2002 年 7 月 [5] 姚荣涵,王殿海, 《拥挤交通流当量排队长度变化率模型》 ,交通运输工程学报,第 9 卷第 2 期,2009 年 4 月 [6] 卓金武等编著, 《MATLAB 在数学建模中的应用》 , 北京, 北京航空航天大学出版社, 2011

17

附录一 视频一的数据统计
事故发生前每分钟通过车辆数统计表 第 3 分钟内 第 2 分钟内 小汽车 大型客车 面包车 11 0 3 15 1 1 第 1 分钟内 9 3 0

第 1 分钟 第 2 分钟 第 3 分钟 第 4 分钟 第 5 分钟 第 6 分钟 第 7 分钟 第 8 分钟 第 9 分钟 第 10 分钟 第 11 分钟 第 12 分钟 第 13 分钟 第 14 分钟

事故发生后每分钟通过车辆数统计表 小汽车 大型客车 10 4 13 1 13 0 13 1 11 1 16 1 16 0 16 1 12 0 13 2 12 2 14 1 15 0 12 1 事故解决后每分钟通过车辆数统计表 第 1 分钟 第 2 分钟

面包车 5 4 3 2 4 2 3 3 6 3 1 4 4 6

小汽车 大型客车 面包车

32 4 2

9 1 1

18

附录二 视频二的数据统计
小汽车

事故发生前每分钟通过车辆数统计表 第 2 分钟内 第 1 分钟内 13 1 5 19 1 1

大型客车 面包车

第 1 分钟 第 2 分钟 第 3 分钟 第 4 分钟 第 5 分钟 第 6 分钟 第 7 分钟 第 8 分钟 第 9 分钟 第 10 分钟 第 11 分钟 第 12 分钟 第 13 分钟 第 14 分钟 第 15 分钟 第 16 分钟 第 17 分钟 第 18 分钟 第 19 分钟 第 20 分钟 第 21 分钟 第 22 分钟 第 23 分钟 第 24 分钟 第 25 分钟 第 26 分钟 第 27 分钟 第 28 分钟 第 29 分钟

事故发生后每分钟通过车辆数统计表 小汽车 大型客车 16 2 16 2 18 2 17 4 12 1 15 4 18 2 19 1 10 2 13 2 18 1 11 2 11 5 17 0 21 1 16 0 17 2 15 1 17 2 18 1 14 3 15 3 15 2 9 4 14 3 14 2 16 2 19 2 17 0 事故解决后每分钟通过车辆数统计表 第 1 分钟
19

面包车 3 3 0 0 3 1 3 2 5 3 3 3 1 3 1 1 5 0 4 0 3 3 2 1 1 2 2 1 1

小汽车 大型客车 面包车

28 4 4

附录三 道路通行能力

与上游车流量

数据拟合程序

syms t x=[17;20;18;14;17;20;20;21;16;21;16;17;20;18]; y=[215.24;190.04;166.14;177.56;167.36;211.58;200.16;217.82;173.52;201.46;177.64;201.38;195 .06;191.18]; f=fittype('a*exp(w*t)','independent','t','coefficients',{'a','w'}); cfun=fit(x,y,f) % 显示拟合函数 xi=10:.1:25; yi=cfun(xi); plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-');

程序运行结果:

20

附录四 求解超越方程程序
W>14.1 时: solve('-5.53*w-5.53*ln(w-14.1)=-3.5') W<14.1 时: solve('-5.53*w-5.53*ln(14.1-w)=-3.5')

运行结果:

21


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