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【名师伴你行】2015届高考理科数学二轮复习专题突破课件+题能专训:第5讲 集合与常用逻辑用语提能专训5


提能专训(五)
一、选择题

集合与常用逻辑用语
A组

1. (2014· 绵阳第二次诊断)已知集合 S={1,2}, 集合 T={x|(x-1)(x -3)=0},那么 S∪T=( )

A.? B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3} [答案] D [解析] 依题意得,T={1,3},S∪

T={1,2,3},故选 D. 2.(2014· 北京西城区期末)设集合 A={x|0<x<2},B={x||x|≤1}, 则集合 A∩B=( )

A.(0,1) B.(0,1] C.(1,2) D.[1,2) [答案] B [解析] 由|x|≤1, 得-1≤x≤1, 即 B={x|-1≤x≤1}, 所以 A∩B ={x|0<x≤1}.
? ? ?x+2 3.(2014· 温州十校联考)已知全集 U=R,集合 A=?x? ≤0 ? ? x ? ? ? ?, ? ?

则集合?UA 等于(

) B.{x|x≤-2 或 x>0} D.{x|x≤-2 或 x≥0}

A.{x|x<-2 或 x>0} C.{x|x<-2 或 x≥0} [答案] C [解析] ∵A=?x?
? ?x+2

≤0? ={x|-2≤x<0}, ? ? x ?

?

∴?UA={x|x<-2 或 x≥0},故选 C.
? ?2 ? 4. (2014· 衡水中学二调)已知 R 是实数集, M=?x? x <1? , N={y|y ? ? ?

= x-1+1},则 N∩(?RM)=(

)

A.(1,2) B.[0,2] C.? D.[1,2] [答案] D x-2 2 [解析] ∵x<1,∴ x >0,∴x<0 或 x>2,∴M={x|x<0 或 x >2}, ∴?RM={x|0≤x≤2}. ∵y= x-1+1, ∴y≥1, ∴N={y|y≥1}, ∴N∩?RM=[1,2],故选 D. 5.(2014· 郑州质检一)已知集合 A={x|x>2},B={x|x<2m}且 A ??RB,那么 m 的值可以是( A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] A [ 解析 ] 由 B = {x|x < 2m} ,得 ? RB = {x|x≥2m} ,∵ A ? ? RB ,∴ )

2m≤2,∴m≤1,故选 A. 6.(2014· 济南模拟)已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|y=lg(x2+ x)},设 U=R,则 A∩(?UB)等于( A.[3,+∞) C.(3,+∞) [答案] B [解析] 因为 x2+x>0,所以 x>0 或 x<-1,所以?UB=[-1,0], 又 A=(-1,3),所以 A∩(?UB)=(-1,0]. 7.(2014· 湖北八校联考)设全集 U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y =ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为( ) B.(-1,0] D.[-1,0] )

A.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1}

B.{x|x≤1} D.{x|1≤x<2}

[答案] D [解析] 令 x(x-2)<0 得 0<x<2,即 A=(0,2);令 1-x>0 得 x <1,即 B=(-∞,1),因此图中阴影部分表示的集合为 A∩(?UB)= [1,2),故选 D.
?x y 8.(2014· 长沙模拟三)已知集合 M=(x,y)? 9 + 4 =1,N={(x, ?
2 2

y)|y=k(x-b)},若?k∈R,使得 M∩N=?成立,则实数 b 的取值范围 是( ) A.[-3,3] C.[-2,2] [答案] B [解析] 集合 M 表示椭圆上的点集,集合 N 表示过点(b,0)的直线 的点集,?k∈R,使得 M∩N=?成立,即表示存在过定点(b,0)的直线 b2 与椭圆没有交点,即定点(b,0)在椭圆外面,故 9 +0>1,解得 b>3 或 b<-3,故选 B. 9.(2014· 大连一模)给出如下四个叙述: ①若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b -1”; ③“?x∈R,x2+1≥1”的否定是“?x∈R,x2+1≤1”; ④在△ABC 中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件. 其中叙述不正确的个数是( A.4 B.3 C.2 D.1 [答案] C [解析] ①错,因为 p,q 只要有一假即可;③错,因为其否定是 ) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

“?x∈R,x2+1<1”.故选 C. 10.(2014· 上海十三校调研)集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈N*,且 x <y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立},若(x,y,z)∈S,且(z,w, x)∈S,则下列选项正确的是( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S [答案] B [解析] 因为(x,y,z)∈S,所以 x<y<z 或 y<z<x 或 z<x<y; 又因为(z,w,x)∈S,所以 z<w<x 或 w<x<z 或 x<z<w;两者结 合有 w<x<y<z 或 x<y<z<w 或 y<z<w<x 或 z<w<x<y.同理, 若(y,z,w)∈S,则有 y<z<w 或 z<w<y 或 w<y<z;若(x,y,w) ∈S,则有 x<y<w 或 y<w<x 或 w<x<y;两者结合有 x<y<z<w 或 y<z<w<x 或 z<w<x<y 或 w<x<y<z .故选 B. 二、填空题 11.(2014· 北京西城区期末)设 M={(x,y)|F(x,y)=0}为平面直角 坐标系 xOy 内的点集,若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使 得 x1x2+y1y2<0,则称点集 M 满足性质 P.给出下列三个点集: ①R={(x,y)|cos x-y=0}; ②S={(x,y)|ln x-y=0}; ③T={(x,y)|x2-y2=1}. 其中所有满足性质 P 的点集的序号是________. [答案] ①③ [解析] 对于任意(x1, y1)∈M, 存在(x2, y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2<0,

也就是图象上任意一点(x1,y1),都会在图象上存在另一点(x2,y2),使 这两个点与原点形成的夹角大于 90° .在 y=ln x 的图象上取点(1,0), 则 不存在另一点使这两个点与原点形成的夹角大于 90° ,所以②不满足 性质 P;画出①③的图象观察可知,①③都满足性质 P,故选①③. 12. (2014· 济南四校联考)已知集合 U={2,3, a2+2a-3}, A={|2a -1|,2},?UA={5},则实数 a 的值为________. [答案] 2 [解析]
2 ? ?a +2a-3=5, 根据已知得? 解得 a=2. ?|2a-1|=3, ?

13.(2014· 上海模拟)如图所示的韦恩图中,A,B 是非空集合,定 义 A*B 表示阴影部分集合,若 x,y∈R,A={x|y= 2x-x2},B={y|y =3x,x>0},则 A*B=________. [答案] [0,1]∪(2,+∞) [解析] ∵A={x|y= 2x-x2}=[0,2],B={y|y=3x,x>0}=(1, +∞), ∴A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2], ∴A*B=[0,1]∪(2,+∞). 14.(2014· 上海嘉定一模)设集合 A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B= {(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},若存在实数 t,使得 A∩B≠?,则实 数 a 的取值范围是________.

4? ? [答案] ?0,3?
? ?

[解析] 集合 A 表示的是以(4,0)为圆心, 以 1 为半径的圆, 集合 B 表示的是以(t,at-2)为圆心,以 1 为半径的圆. A∩B≠?说明这两个圆至少有一个交点,故 ?t-4?2+?at-2?2≤1 +1=2,即(a2+1)t2-4(a+2)t+16≤0,据题意此不等式有实数解, 故判别式 Δ = 16(a + 2)2 - 4(a2 + 1)×16≥0 ,即 3a2 - 4a≤0 ,解得 4 0≤a≤3. 15.(2014· 上海徐汇、金山、松江二模)对于集合 A={a1,a2,?, an}(n∈N*,n≥3),定义集合 S={x|x=ai+aj,1≤i<j≤n},记集合 S 中的元素个数为 S(A).若 a1,a2,?,an 是公差大于零的等差数列, 则 S(A)=________. [答案] 2n-3 [解析] 由题意,集合 S 中最小项为 a1+a2=2a1+d,最大项为 an-1+an=2a1+(2n-3)d,对任意的 i(1≤i≤2n-3),如果 i≤n-1,则 可取 2a1+id=a1+(a1+id)=a1+ai+1∈S,若 n≤i≤2n-3,可取 2a1 +id=a1+(n-1)d+a1+(i-n+1)d=an+ai-n+2, 显然由于 n≤i≤2n- 3,有 2≤i-n+2≤n-1,即 2a1+id∈S,所以 S(A)=2n-3. 16. (2014· 北京昌平区期末质量抽测)将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A,B,C,其中 A ={a1,a2,?,an},B={b1,b2,?,bn},C={c1,c2,?,cn},若 A, B, C 中的元素满足条件: c1<c2<?<cn, ak+bk=ck(k=1,2,3, ?, n),则称 M 为“完并集合”. (1)若 M={1,x,3,4,5,6}为“完并集合”,则 x 的一个可能值为 ________.(写出一个即可)

(2)对于“完并集合”M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},在所有符合 条件的集合 C 中,其元素乘积最小的集合是________. [答案] (1)7(或 9 或 11)(写出一个即可) (2){6,10,11,12} [解析] (1)M={1,x,3,4,5,6}共有 6 个元素,所以 3 个集合 A,B, C 中各有 2 个元素,因为 ak+bk=ck,所以集合 C 中必含有 6 个元素 中最大的一个.当 x<6 时,由集合元素的互异性可知 x=2,此时不 能满足 ak+bk=ck,故舍去.当 x>6 时,C={6,x},当 1+5=6 时, 3+4=x,此时 x=7.当 C={5,x}时,1+4=5,3+6=x,此时 x=9. 当 C={4,x}时,1+3=4,5+6=x,此时 x=11.当集合 C 中另一个元 素小于等于 3 时,不能满足 ak+bk=ck,故舍去.所以 x 的可能取值为 7,9,11. (2)M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}共含有 12 个元素,所以集合 C 中含有元素 4 个.其中包含最大的元素 12. 集合 C 的所有可能有 {8,9,10,12},{7,9,11,12}, {6,10,11,12}.经计算可知元素乘积最小的 集合是{6,10,11,12}. B组 一、选择题 1. (2014· 上海)设 a, b∈R, 则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 若 a>2 且 b>2,则 a+b>4,但当 a=4,b=1 时也有 a+ b>4,故选 B. 2.(2014· 广州综合检测)命题“对任意 x∈R,都有 x3>x2”的否 定是( ) B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 )

2 A.存在 x0∈R,使得 x3 0>x0 3 2 B.不存在 x0∈R,使得 x0 >x0 3 2 C.存在 x0∈R,使得 x0 ≤x0

D.对任意 x∈R,都有 x3≤x2 [答案] C [解析] 全称命题的否定是特称命题,易得命题“对任意 x∈R,
3 2 都有 x3>x2”的否定是“存在 x0∈R,使得 x0 ≤x0 ”,故选 C.

3.(2014· 湖北七市联考)下列说法错误的是(

)

A.命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2, 则 x2-5x+6≠0” B.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真 一假 C.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥?
?x+y?2 ? ”的充要条件 ? 2 ?

2 D.若命题 p:?x0∈R,x2 0+x0+1<0,则綈 p:?x∈R,x +x

+1≥0 [答案] B [解析] 对于 B 选项,若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题, 所以 B 错误,故选 B. 4.(2014· 成都二诊)设命题 p:?α0,β0∈R,cos(α0+β0)=cos α0 π π +cos β0;命题 q:?x,y∈R,且 x≠2+kπ,y≠2+kπ,k∈Z,若 x >y,则 tan x>tan y.则下列命题中真命题是( A.p∧q C.(綈 p)∧q )

B.p∧(綈 q) D.(綈 p)∧(綈 q)

[答案] B 3π π [解析] 当 α0= 4 ,β0=-4时,命题 p 成立,所以命题 p 为真命 题; 当 x, y 不在同一个单调区间内时命题 q 不成立, 命题 q 为假命题. 故 p∧(綈 q)为真命题. 5 . (2014· 北京海淀区统考 ) 在数列 {an} 中,“an = 2an - 1 , n = 2,3,4,?”是“{an}是公比为 2 的等比数列”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 当 an=0 时,也有 an=2an-1,n=2,3,4,?,但{an}是等 差数列,不是等比数列,因此充分性不成立.当{an}是公比为 2 的等 an 比数列时,有 =2,n=2,3,4,?,即 an=2an-1,n=2,3,4,?,所 an-1 以必要性成立.故选 B. 6. (2014· 石家庄二模)命题 p 为: 抛物线 x2=4y 的焦点坐标为(0,1); 命题 q 为:“a=3”是“直线 ax+2y=0 与直线 2x-3y=3 垂直”的 充要条件.则以下结论正确的是( A.p 或 q 为真命题 C.p 且綈 q 为真命题 [答案] A [解析] p 为真;2a-6=0,a=3,∴q 为真,则 p 或 q 为真. 7. (2014· 江西重点中学联考)给出下列命题, 其中真命题的个数是 ( ) 7π ①存在 x0∈R,使得 sin x0+cos x0=2sin24成立; ) B.p 且 q 为假命题 D.綈 p 或 q 为假命题 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

②对于任意的三个平面向量 a,b,c,总有(a· b )· c=a· (b· c)成立; ③相关系数 r(|r|≤1),|r|值越大,变量之间的线性相关程度越高. A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B π 7π π [解析] ∵4<24<3, 7π ∴ 2<2sin24< 3. π? ? 而 sin x0+cos x0= 2sin?x0+4?≤ 2,
? ?

∴①是假命题,向量的数量积不满足结合律,∴②是假命题,③ 是真命题. 8.(2014· 衡水中学二调)给定命题 p:函数 y=ln[(1-x)(1+x)]为 ex-1 偶函数;命题 q:函数 y= x 为偶函数,下列说法正确的是( e +1 A.p∨q 是假命题 C.p∧q 是真命题 [答案] B [解析] 对于命题 p:y=f(x)=ln[(1-x)(1+x)],令(1-x)(1+x)> 0, 得-1<x<1, ∴函数 f(x)的定义域为(-1,1), 关于原点对称, ∵f(- x)=ln[(1+x)(1-x)]=f(x), ∴函数 f(x)为偶函数,∴命题 p 为真命题;对于命题 q:y=f(x) ex-1 e-x-1 = x ,函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,∵f(-x)= -x = e +1 e +1 1 ex-1 1-ex = =-f(x), 1 1+ex ex+1 B.(綈 p)∧q 是假命题 D.(綈 p)∨q 是真命题 )

∴函数 f(x)为奇函数,∴命题 q 为假命题,∴(綈 p)∧q 是假命题, 故选 B. 3 9.(2014· 东北三省二模)已知 p:x≥k,q: <1,如果 p 是 q x+1 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是( )

A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,-1] [答案] A 2-x 3 3 [解析] q: <1? -1<0? <0?(x-2)· (x+1)>0?x x+1 x+1 x+1 <-1 或 x>2.因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 k≥2,故选 A. 10.(2014· 南昌二模)下列说法正确的是( )

2 A. 命题“存在 x0∈R, x0 +x0+2 013>0”的否定是“任意 x∈R,

x2+x+2 013<0” B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 1 C.函数 f(x)=x在其定义域上是减函数 D.给定命题 p,q,若“p 且 q”是真命题,则綈 p 是假命题 [答案] D [解析] 对于 A,特称命题的否定为全称命题,所以命题“存在 x0∈R, x2 x2+x+2 013≤0”, 0+x0+2 013>0”的否定是“任意 x∈R, 故 A 不正确.对于 B,两个三角形全等,则这两个三角形面积相等; 反之,不然.即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必 1 要条件,故 B 不正确.对于 C,函数 f(x)=x 在(-∞,0),(0,+∞) 上分别是减函数,但在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内既不是增函数, 也不是减函数,如取 x1=-1,x2=1,有 x1<x2,且 f(x1)=-1,f(x2)

1 =1,则 f(x1)<f(x2),所以函数 f(x)=x在其定义域上不是减函数,故 C 不正确.对于 D,因为“p 且 q”是真命题,则 p,q 都是真命题,所 以綈 p 是假命题,故 D 正确. 二、填空题 11. (2014· 湖北重点中学统一考试)已知 r(x): sin x+cos x>m; s(x): x2+mx+1>0.如果?x∈R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题,则实 数 m 的取值范围是________. [答案] (-∞,-2]∪[- 2,2) π? ? [解析] 由 sin x+cos x= 2sin?x+4?,故 sin x+cos x 的最小值为
? ?

- 2,若?x∈R 时,命题 r(x)为真命题,则 m<- 2.若命题 s(x)为 真命题,即?x∈R,不等式 x2+mx+1>0 恒成立,则 Δ=m2-4<0, 解得-2<m<2.若命题 r(x)为真命题, 命题 s(x)为假命题, 则 m≤-2; 若命题 r(x)为假命题,命题 s(x)为真命题,则- 2≤m<2. 综上所述,实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[- 2,2). 12.(2014· 吉林大学附属中学一模)设 a 为实常数,y=f(x)是定义 a2 在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ x +7.若“?x∈[0,+∞), f(x)<a+1”是假命题,则 a 的取值范围为________. 8? ? [答案] ?-∞,-7?
? ?

[解析] y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,故可求解析式为 f(x)=

? ? ?0,x=0, a ? ?9x+ x +7,x<0.
2

a2 9x+ x -7,x>0,

又“?x≥0,f(x)<a+1”是假命题,则?x≥0,f(x)≥a+1 是真 命题. ①当 x=0 时,0≥a+1,解得 a≤-1; a2 ②当 x>0 时,9x+ x -7≥a+1,结合基本不等式有 6|a|-7≥a 8 8 +1,解得 a≥5或 a≤-7. 8 ①②取交集,得 a 的取值范围是 a≤-7. 13.(2014· 济南一模)已知下列命题: ①设 m 为直线,α,β 为平面,且 m⊥β,则“m∥α”是“α⊥β” 的充要条件; 1? ? ②?x3+x?5 的展开式中含 x3 的项的系数为 60;
? ?

1 ③设随机变量 ξ~N(0,1),若 P(ξ≥2)=p,则 P(-2<ξ<0)=2- p; ④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1 恒成立, 则 m 的取值范围是(- ∞,2). 其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) [答案] ③ [解析] ①因为 m⊥β,m∥α?α⊥β 成立,但由 α⊥β,m⊥β,可 1? ? 得到 m∥α 或 m?α,故该命题为假命题;②?x3+x?5 的展开式中第 r
? ?
r 15-4r +1 项 Tr+1=C5 x ,令 15-4r=3,解得 r=3,含 x3 的项的系数为

10,故该命题是假命题;③由随机变量 ξ~N(0,1),若 P(ξ≥2)=p,则 P(ξ≤-2)=P(ξ≥2)=p,所以,P(-2<ξ<2)=1-2p,P(-2<ξ<0) 1 =P(0<ξ<2)=2-p,该命题是真命题;④因|x+3|+|x-2|≥|x+3-(x

-2)|=5,故 2m+1≤5,解得 m≤2,④是假命题. 14.(2014· 合肥质检二)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号) 1 ①总存在某内角 α,使 cos α≥2; ②若 Asin B>Bsin A,则 B>A; ③存在某钝角△ABC,有 tan A+tan B+tan C>0; → +bCA → +cAB → =0,则△ABC 的最小角小于π; ④若 2aBC 6 ⑤若 a<tb(0<t≤1),则 A<tB. [答案] ①④⑤ [解析] ①对; xcos x-sin x sin x ②设 f(x)= x ,0<x<π,f′(x)= ,故②错; x2 ③tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C<0,③错; → +bCA → +cAB → ④2aBC → +AC → )+bCA → +cAB → =2a(BA → +(c-2a)AB → =0, =(2a-b)AC
?2a-b=0, ? ∴? ∴b=c=2a, ? ?c-2a=0,

7 3 cos A=8> 2 ,故④对;⑤对. 15.(2014· 青岛质检)给出以下命题: y2 2 ①双曲线 2 -x =1 的渐近线方程为 y=± 2x; 1 ②命题 p:“?x∈R,sin x+sin x≥2”是真命题;

③已知线性回归方程为^ y=3+2x,当变量 x 增加 2 个单位,其预 报值平均增加 4 个单位; ④设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, σ2), 若 P(ξ>1)=0.2, 则 P(- 1<ξ<0)=0.6; 2 6 5 3 7 1 10 ⑤已知 + =2, + =2, + =2, + 2-4 6-4 5-4 3-4 7-4 1-4 10-4 -2 n = 2 , 依 照 以上 各式 的 规 律 , 得 到一 般 性 的 等 式 为 + -2-4 n-4 8-n =2(n≠4). ?8-n?-4 则正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号) [答案] ①③⑤ [解析] ①正确,注意双曲线焦点在 y 轴上;②错误,不符合均 值不等式的使用条件;③正确;④错误,因为 P(ξ>1)=P(ξ<-1)= 0.2,所以 P(-1<ξ<0)= 1-P?ξ>1?-P?ξ<-1? 0.6 = 2 =0.3;⑤正确, 2

8-n n 由特殊到一般可得等式为 + =2(n≠4),综上,可得命题 n-4 ?8-n?-4 ①③⑤为真命题. 1 2 16. (2014· 长沙调研)已知命题 p: “?x∈[1,2], 2x -ln x-a≥0” 与命题 q:“?x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命题,则实数 a 的 取值范围是________. 1? ? [答案] (-∞,-4]∪?-2,2?
? ?

1 1 [解析] 命题 p:a≤2x2-ln x 在 x∈[1,2]上恒成立,令 f(x)=2x2 -ln x,

1 ?x-1??x+1? f′(x)=x-x= ,当 1<x<2 时,f′(x)>0, x 1 1 ∴f(x)min=f(1)=2.∴a≤2. 命题 q:Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,∴a≥-2 或 a≤-4. 综上,两个命题都是真命题,则有 a∈(-∞,-4]∪ 1? ? ?-2, ?. 2? ?


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