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沭阳高级中学试卷学生用


2012 届高三年级第一次月考 数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.请把答案写在答题卡指定位置上. ........ 1.已知集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={4,5},则 A ? (CU B ) = 2.复数 .

12.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A ? B ? C

, C ? 0 )与圆 x ? y ? 4 交于 M , N ,O 是坐标原
2 2 2 2 2

点,则 OM · ON = _________________. 13.曲线 y1 ? PQ 的斜率为

1 x ?x 1 2 (e ? e ) 在点 P 处的切线平行于曲线 y2 ? 2 x ? ( x ? ) x 在点 Q 处的切线,则直线 2 2 3


1 ? 2i 的虚部是 i
2

.

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ? 14. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 当 x ≥ 0 时 f ( x) ? ? 2 ,若关于 x 的方程 ?1 ? x ? 3 , x ? [1, ??) ?

f ( x) ? a(?1 ? a ? 1) 的所有解之和为

.(用 a 表示)

3. 抛物线 C : y ? 4 x 上任意一点 P 到直线 l : x ? ?1的距离都等于点 P 到定点 F 的距离, 则定点 F 的坐 标为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把答案写在 答题卡指定位置上. ........ 15.(本小题满分 14 分) 已知命题 p : 2 ? 实数 m 的取值范围.

4.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排,则能使卡片排成的顺序从左向右或从 右向左都可以念为“灰太狼”的概率是___________(用分数表示). 5. 方程 lg x ? 8 ? 2 x 的根 x ? (k , k ? 1) , k ∈Z,则 k = 6. 若函数 f ( x) ? . .

x ?1 ? 1 ,命题 q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分而不必要条件,求 3

1 log 1 (3x ? 1)
2

,则函数 f ( x ) 的定义域为

7.以下命题中,所有真命题的序号是
2

.
2

①命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ” ; ②“ x ? 1”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件;
2

③若命题 p:“关于x的不等式x ? x ? a ? 0的解集为R ”的否定是真命题,则实数 a 的取值范围
2

1 是a ? ; 4
④对于命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0 .
2 2

8.若 ? , ? 均为锐角,且 sin? ?
2

5 4 , cos(? ? ? ) ? , 则 cos? 5 5
2

?



16. (本小题满分 14 分) 如图,已知在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC,M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; C1 (Ⅱ)求证:PC1∥面 MNQ. Q A1 B1

9.已知函数 f ( x) ? x ? (b ? 4 ? a ) x ? 2a ? b 是偶函数,则其图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值 是 .

M C A P

N

a ? a ? ? ? a20 a1 ? a2 ? ? ? a30 10.已知在等差数列 ?a n ?中,有 11 12 ,则在等比数列 ?bn ? 中,会有类似的 ? 10 30
结论: . .

B

11. 已知不等式 | a ? 2 x |? x ? 1 ,对任意的 x ? (0,2) 恒成立,则实数 a 的取值范围为

17. (本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 16 分) 已知圆 C: ( x ? 4) ? y ? 4 ,圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切,圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,
2 2

1 7 已知 f ( x) ? ln x , g ( x) ? x 2 ? mx ? (m ? 0) ,直线 l 与函数 f ( x) 、 g ( x) 的图象都相切,且 2 2 与函数 f ( x) 的图象的切点的横坐标为 1 .
(Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x ? 1) ? g ?( x) ? t ? 0 恒成立(其中 g ?( x) 是 g ( x) 的导函数),求实数 t 的取值范围;

定点 P 的坐标为( ? 3,0 ) 。 (Ⅰ)若点 D( 0,3 ) ,求 ?APB 的正切值; (Ⅱ)当点 D 在 y 轴上运动时,求 ?APB 的正切的最大值; (Ⅲ)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时, ?AQB 是定值?如果存在,求出 Q 点坐标; 如果不存在,说明理由。

18. (本小题满分 16 分) 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后, 发现一天中环境综合污染指数 f ? x ? 与时间 20. (本小题满分 16 分) (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项 an (用 n 和 t 表示) ; 设数列 ? an ? 满足: a1 ? 2t ? 2 ,且 nan ?1 ? (n ? 2)an ? 2n ,对一切 n?N * 恒成立.

x 1 ? 3? ? ? a ? 2a, x ? ? 0, 24? ,其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? ?0, ? , x(小时)的关系为 f ? x ? ? 2 x ?1 3 ? 4?
若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合污染指数,并记作 M ? a ? .

(Ⅱ)若对任意 n ? N * , an ? a10 恒成立,求实数 t 的取值范围;

a ( Ⅲ ) 若 an ?3 ? m3 1an ? 2 ? m 3 2a ? 1 m 3 3n对 任 意 n?N * 成 立 , 求 实 常 数 m31 , m32 , m33 的 值 , 若 n ? an? k ? mk1an ? k ?1 ? mk 2 an ? k ?2 ? ? ? mkk an 对任意 n?N * 成立, 请你给出实常数 mk1 , mk 2 ,?, mkk
的至少两个正确结论.

x (Ⅰ)令 t ? 2 , x ? ? 0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1

(Ⅱ)求函数 M ? a ? ;

(Ⅲ) 市政府规定, 每天的综合污染指数不得超过 2, 试问目前市中心的综合污染指数是多少?是否超标?

数学加试题部分
21.[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,请把答案写在答题卡指定位置上. ........ A.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图, AB 是⊙O 的 一条切线,切点为 B , A , FC 都是⊙O 的割线,已知 A ? B C A.证明: D DE E ,G C (Ⅰ) A? E A ; D ?C A
2

[必做题]第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分请把答案写在答题卡指定位置上. ........ 22.(本小题满分 10 分) 如图, 直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, C1C ? CB ? CA ? 2 ,AC ? CB . D、E 分别为棱 C1C、B1C1 的中点. (Ⅰ)求点 E 到平面 ADB 的距离; (Ⅱ)求二面角 E ? A1D ? B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在线段 AC 上是否存在一点 F ,使得 EF ? 平面 A1 DB ?若存在,确定其位置;若不存在,说 明理由.

C G F O D B A

(Ⅱ) F / A . G C /

A1 C1

[来源:Z&xx&k.Com]

E

E

B1

B.(选修 4-2:矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 8 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? , 并且矩阵 M 对应的变换将点 (?1, 2) 变 换成 (?2, 4) . (Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)求直线 l : x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ? 的方程. 23.(本小题满分 10 分) 设 a >2,给定数列 ? xn ? ,其中 x1 ? a , x n ?1 ? C.(选修 4-4:坐标系与参数方程)
? x ? ?2 ? t cos 45 , ? (t为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,若直线 l 已知直线 l 的参数方程为:? o ? y ? t sin 45 , ?
o

??

?1? ?1?

D

C

F

A
B

2 xn (n ? 1,2 ?) 求证: 2( x n ? 1)

(Ⅰ) x n ? 2, 且

x n ?1 ? 1(n ? 1,2 ?); xn

与曲线 C 相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长.

(Ⅱ) 如果a ? 3, 那么xn ? 2 ?

(n ? 1,2?); 2 n?1 a lg 3 时, 必有x ? 3. (Ⅲ) 如果a ? 3, 那么当n ? n ?1 4 lg 3

1

D.(选修 4-5:不等式选讲) 已知点 M 为 ?ABC 内部一点,它到三角形三边 BC , CA , AB 的距离分别为 d1 , d 2 , d 3 , 若 ?ABC 的面积为 1,其三边长分别为 a , b , c ,求证:

2a 2b 2c ? ? ? (a ? b ? c) 2 . d1 d 2 d3


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