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一次函数的图像与性质


一次函数的图像与性质
考点与类型练习
考点一 一次函数的概念 1.下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的是( A.y=-8x 2.当 m= B.y= )

?8 x

C.y=5x +6
m2 ?3

2

D.y=-0.5x-1 +2m-3 是一次函数.

时,函数 y=(2-m)x

考点二 一次函数的图像与性质 1.(2013 鞍山)在一次函数 y=kx+2 中,若 y 随 x 的增大而增大,则它的图象不经 过 第 象限. 2.关于 x 的一次函数 y=kx+k +1 的图象可能正确的是(
2



A、

B、

C、

D、 y2

3. (2013 珠海) 已知函数 y=3x 的图象经过点 A (﹣1, y1) , 点B (﹣2, y2) , 则 y1 (填“>”“<”或“=”) 考点三 一次函数解析式的确定 1.已知直线 l 经过点 A(1,0)且与直线 y=x 平行,则直线 l 的解析式为( A.y=-x+1 B.y=-x-1 C.y=x+1 D.y=x-1 2.(2013 黄石)如右图,在平面直角坐标系中,一次函数



k (k ? 0) 的图 x 像交于二、四象限的 A 、 B 两点,与 x 轴交于 C 点。已知 2 A(?2, m) , B(n, ?2) , tan ?BOC ? ,则此一次函数的 5

y ? ax ? b(a ? 0) 的图像与反比例函数 y ?

y A C O B x

解析式为 . 考点四 一次函数与方程、不等式的关系 1.已知一次函数 y=kx+3 的图像如图所示,则不等式 kx+3< 0 的解集是 . 2.已知一次函数 y=ax+b 的图像过第一、二、四象限,且与 x 轴交于点(2,0) ,则关于 x 的不等式 a(x-1)-b>0 的解集为 ( )

A.x<-1 B.x>-1 C.x>1 D.x<1 创新应用题 (2013 河北)如图 15,A(0,1) ,M(3,2) ,N(4,4).动点 P 从点 A 出发,沿 轴以每秒 1 个单位长的速度向上移动,且过点 P 的直线 l:y=-x+b 也随之移动, 设移动时间为 t 秒. (1)当t=3时,求l的解析式; (2)若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围; (3)直接写出 t 为何值时,点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上.

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对接中考练习
1.已知点 A(﹣5,a) ,B(4,b)在直线 y=﹣3x+2 上,则 a 号 ) 2.(2013青岛)如图,一个正比例函数图像与一次函数 b. (填“>”“<”或“=”

y ? ? x ? 1 的图像相交于点P,则这个正比例函数的
表达式是____________ 3.(2013 莆田)如图,一次函数 y=(m﹣2)x﹣1 的图象经过二、三、四象限,则 m 的取值范围是( )A.m>0 B.m<0 C.m>2 D.m<2

4.如图的坐标平面上,有一条通过点(-3,-2)的直线 l.若四点(-2,a) . (0, b) . (c,0) . (d,-1)在 l 上,则下列数值的判断,正确的是( )

A.a=3

B.b>-2

C.c<-3

D.d=2

5.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x–2y=2的解的是

A

B

C

D

6.如图, 在平面直角坐标系中, □OABC的顶点A在 x 轴上,顶点B的坐标为 ( 6, 4) . 若 直线l经过点(1,0) ,且将□OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式 是( )

A、y=x+1 y=x﹣1

B、错误!未找到引用源。

C、y=3x﹣3

D 、

7. 已知:一次函数 y=kx+b 的图象经过 M(0,2) ,N(1,3)两点. (1)求 k,b 的值; (2)若一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点为 A(a,0) ,求 a 的值.

8.(2013 枣庄)如图,在平面直角坐标中,直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别在 x 轴、 y 轴上, AB ∥OC,∠AOC ? 90° ,∠BCO ? 45° ,BC ? 12 2 ,点 C 的坐 标为 ? ?18, 0? . (1)求点 B 的坐标; (2)若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D ,交 y 轴于点 E , 且 OE ? 4,OD ? 2 BD ,求直线 DE 的解析式. B D y A E O x

C

答案:考点一 1.D【解析】A.是正比例函数也是一次函数;B.是反比例函数; 是二次函数; D.是一次函数,不是正比例函数;故选 D. 2.-2【解析】由一次函数概念得, m ? 3 =1,2-m≠0 解得 m=-2.
2

C.

考点二 1. 四 【解析】 ∵y 随 x 的增大而增大, ∴k>0∴ 此函数图象经过一、 三象限∵ b=2 >0, ∴ 此函数图象与 y 轴正半轴相交,∴ 此一次函数的图象经过一、二、三象限,不经过 第四象限.故答案为:四.

2.> 【解析】 ∵点 A (-1,y 1 ),点 B(-2,y 2 )是函数 y=3x 上的点,∴y 1 =-3,y 2 =-6, ∵-3>-6∴y 1 >y 2 故答案为:> 3.C【解析】令 x=0,则函数 y=kx+k +1 的图象与 y 轴交于点(0,k +1) ,∵k +1>0, ∴图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上. 故选 C. 考点三 1. D【解析】∵直线 l 与直线 y=x 平行,∴设直线 l 的解析式为 y=x+b.又∵ 直线 l 经过点 A(1,0) ,∴0=1+b ∴b=-1. ∴直线 l 的解析式为 y=x-1.故选 D.
2 2 2

BD 2 2 = = , OD OD 5 k ∴OD=5,则点 B 的坐标为(5,-2) ,把点 B 的坐标(5,-2)代入反比例函数 y= (k x k 10 ≠0)中,则-2= ,即 k=-10, ∴反比例函数的解析式为 y=- ,把 A (-2,5)和 B (5, 5 x a=-1 -2a+b=5
2. y=-x+3【解析】过点 B 作 BD⊥x 轴,在 Rt△BOD 中,∵tan∠BOC= -2)代入一次函数 y=ax+b(a≠0)中,得: 解得 则一次函数 5a+b=b=3 的解析式为 y=-x+3. 考点四 1. A【解析】∵一次函数 y=ax+b 的图像过第一、二、四象限,∴b>0 a< 0.把(2,0)代入解析式 y=ax+b 得,0=2a+b,即 b=-2a.把 b=-2a 代入不等式 a(x-1)-b >0 得,a(x-1)+2a>0,即 a(x-1) >0. ∵a<0, ∴x+1<0,即 x<-1.故选 A. 2. x>1.5【解析】由图知一次函数 y=kx+3 的图像与 x 轴的交点坐标(1.5,0) ,在交 点右侧图像上的点的纵坐标小于 0,即 kx+3<0 的解集为 x>1.5. 创新应用题 (1)直线 y=-x+b 交 y 轴于点 P(0,b) ,由题意,得 b>0,t≥0,b=1+t 当 t= 3 时, b=4∴y=-x+4 (2)当直线 y=-x+b 过 M(3,2)时 2=-3+b 解得 b=5. 5=1+t ∴t=4 当直线 y=-x+b 过 N(4,4)时 4=-4+b 解得 b=8. 8=1+t ∴t=7 ∴4<t<7 (3)t=1 时,落在 y 轴上;t=2 时,落在 x 轴上. 对接中考练习 1. >【解析】∵直线 y=﹣3x+2 中,k=﹣3<0,∴此函数是减函数, ∵﹣5<4,∴a>b.故答案为:>. 2.y=-2x【解析】设点 P 坐标为(a,2) ,正比例函数解析式为 y=kx.∵ 点 P 在一次函数 y=-x+1 图像上,∴ 2=-a+1,解得 a=-1.即点 P(-1,2). ∵ 点 P 在正比例函数 y=kx 图像上, ∴ -k=2,解得 k=-2,∴ 该正比例函数的表达式是 y=-2x. 3.D【解析】由题意知,m-2<0,解得m<2.故选D. 4.C【解析】由题意得:此函数为减函数,A.-2>-3,故 a<-2,故本选项错误; B.-3<0,故-2>b,故本选项错误;C.0>-2,故 c<-3,故本选项正确;D.- 1>-2,故 b<-3,故本选项错误.故选 C.

5.C【解析】将二元一次方程 x–2y=2,整理成一次函数形式:y= y= –1,此函数与 y 轴的交点(0,–1) ,所以 C 选项正确。

1 x-1,令 x=0,则 2

6. 【解析】设 D(1,0) ,∵ 线 l 经过点 D(1,0) ,且将? OABC 分割成面积相等的



部分,∴ OD=BE=1,

∵ 顶点 B 的坐标为(6,4) .∴ E(5,4)设直线 l 的函数解析式是 y=kx+b, ∵ 图象过 D(1,0) ,E(5,4) ,∴ 错误!未找到引用源。 , 解得:错误!未找到引用 源。 , ∴ 直线 l 的函数解析式是 y=x﹣1.故选 D. 7. 【解析】 (1)∵ 图象过 M(0,2) ,N(1,3) ,∴?

? b ? 2, 解得错误!未找到引 ?k ? b ? 3.

用源。 ?

? k ? 1, ∴ k、b 的值分别是 1 和 2; ?b ? 2.

(2)由(1)得一次函数解析式为 y=x+2,∵ 一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点为 A(a,0)∴ 0=a+2,解得 a=-2. 规律点拨: 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴交点 y 求法,此题比较典型应熟练掌握. B 8.【解析】 (1)过点 B 作 BF ? x 轴于 F .在 Rt△BCF 中, A ∠BCO=45°,BC= 12 2 ,∴ CF=BF=12. ∵点 C 的坐标 为 ? ?18, 0? ,∴AB=OF=18-12=6.∴ 点 B 的坐标为 ? ?612 ,?. F C (2)过点 D 作 DG ? y 轴于点 G .∵ AB ∥ DG ,∴ △ODG ∽△OBA . ∴ D G E O x

DG OG OD 2 ? ? ? . AB OA OB 3

∵AB=6,OA=12,∴ DG ? 4,OG ? 8 .∴ D ? ?4,, 8? E ? 0, 4? .

设直线 DE 的解析式为 y ? kx ? b ? k ? 0? ,将 D ? ?4,, 8? E ? 0, 4? 代入,得

??4k ? b ? 8, ? ?b ? 4.

解之,得

?k ? ?1, ∴直线 DE 解析式为 y ? ? x ? 4 . ? ?b ? 4.

备用: 15、 (2013 茂名)如图,三个正比例函数的图象分别对应表达式:①,②,③,将, , 从小到大排列并用“”连接为 . 7. 12. (2013 桂林)如图,已知边长为 4 的正方形 ABCD, P 是 BC 边上一动点

( 与 B 、 C 不 重 合 ) , 连 结 AP , 作 PE ⊥ AP 交 ∠ BCD 的 外 角 平 分 线 [www.zzs^@t#%ep.~com] 于 E,设 BP=,△PCE 面积为,则与的函数关系式是 A. B. C. D. 17. (2013 桂林)函数的图象与函数的图象在第一象限内交于点 B, 点 C 是函数在第一象限图象上的一个动点,当△OBC 的[来%^源:中教网#~*] 面积为 3 时,点 C 的横坐标是 . 15. (钦州)请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 .

19. (2013 年湖北咸宁 8 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=2x+b(b<0)与坐 标轴交于 A,B 两点,与双曲线 y ?

k (x>0)交于 D 点,过点 D 作 DC⊥x 轴,垂 x

足为 G,连接 OD.已知△AOB≌△ACD. (1)如果 b=﹣2,求 k 的值; (2)试探究 k 与 b 的数量关系,并写出直线 OD 的解析式.

【答案】解: (1)当 b=﹣2 时,直线 y=2x﹣2 与坐标轴交点的坐标为 A(1,0) ,B (0,﹣2) , ∵△AOB≌△ACD,∴CD=DB=2,AO=AC=1。∴点 D 的坐标为 (2,2) 。

k ( x>0)的图象上,∴k=2× 2=4。 x b (2)直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A( ? ,0) ,B(0,b) , 2
∵点 D 在双曲线 y ?

∵△AOB≌△ACD,∴CD=OB= b,AO=AC= ? ∴点 D 的坐标为(﹣b,﹣b) 。 ∵点 D 在双曲线 y ?

b , 2

k ( x>0)的图象上, x

∴ k ? ? ?b ? ? ? ?b ? ? b2 ,即 k 与 b 的数量关系为: k ? b2 。 直线 OD 的解析式为:y=x。 6. (荆门)若反比例函数 y = A.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 12 、

k 的图象过点( ? 2, 1)则一次函数 y ? kx ? k 的图象过 x
B.第一、三、四象限 D.第一、二、三象限

17. (枣庄)已知正比例函数 y ? ?2 x 与反比例函数 y ? 标为(-1,2) ,则另一个交点的坐标为 23. .

k 的图象的一个交点坐 x

[来源 :学.科 .网 ]

6. (潍坊) 设点 A?x1 , y1 ? 和 B?x2 , y2 ? 是反比例函数 y ?

k 图象上的两个点, 当 x1 < x2 x
).

< 0 时, y1 < y 2 ,则一次函数 y ? ?2 x ? k 的图象不经过的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 23. (聊城)如图,一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别相交 于 A、B 两点,且与反比例函数 y ? ?

D.第四象限

y
C B 0 A

8 的图象在第二象限交于点 C. x

如果点 A 的坐标为 ? 2, 0 ? ,B 是 AC 的中点. ⑴求点 C 的坐标; ⑵求一次函数的解析式.

x

[来源:Z*xx*k.Com]

9.如图,已知直线 y=mx 与双曲线 y= 的一个交点坐标为(3,4) ,则它们的另一个 交点坐标是( C )

A.(﹣3,4)

B. (﹣4,﹣3)
[来 源:Z&xx&k.Com]

C.(﹣3,﹣4)

D.(4,3)

16. (三明)如图,已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P(3,2) ,与反比 例函数 y= (x>0)的图象交于点 Q(m,n) .当一次函数 y 的值随 x 值的增大而增大时,m 的 取值范围是 1<m<3 .

4. (莆田)如图,一次函数 y=(m﹣2)x﹣1 的图象经过二、三、四象限,则 m 的取 值范围是( )

A.m>0

B.m<0

C.m>2

D.m<2

24. (鞍山)如图所示,已知一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、 B 两点,且与反比例函数 y= (m≠0)的图象在第一象限交于 C 点,CD 垂直于 x 轴, 垂足为 D.若 OA=OB=OD=1. (1)求点 A、B、D 的坐标; (2)求一次函数和反比例函数的解析式.


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