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淮北一中2014届高三第二次月考数学试题卷(文科)


淮北一中 2014 届高三第二次月考数学试题卷(文科)
满分 150 分 时间:120 分钟

第 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

I 卷

2 1.已知集合 A ? x | 2 x ? x ? 0 ,集合 B ? x a ? x ? b 且 B ? A ,

?

?

?

?

则 a ? b 的取值范围是( A. (?2, ??)

) C. (??, ?2) D. (??, ?2] )

B. [?2, ??)

2.命题“若 f ? x ? 是奇函数,则 f ?? x ? 是奇函数”的否命题是( A.若 f ? x ? 是偶函数,则 f ?? x ? 是偶函数

B. 若 f ?? x ? 是奇函数,则 f ? x ? 是奇函数

C. 若 f ? x ? 不是奇函数,则 f ?? x ? 不是奇函数 D. 若 f ?? x ? 不是奇函数,则 f ? x ? 不是奇函数 3.设函数 f ?( x) ? x ? 3x ? 4, 则 y ? f ? x ? 1? 的单调减区间为(
2

) D. ? ?

A. ? ?4,1? 4. 函数 y ?

B. ? ?5, 0 ?

C. ? ? )

? 3 ? , ?? ? ? 2 ?

? 5 ? , ?? ? ? 2 ?

log 2 | x | 的图象大致是( x

π π 5.设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 对称, 2 2

则下列判断正确的是( A. p 为真

) C. p ? q 为假 D. p ? q 为真

B. ?q 为假

6.在三角形 ABC 中,已知 ?B ? 60 ,最大边与最小边的比为
0

3 ?1 ,则三角形的最大角为( 2



0 A 60

0 B 75

C

90 0

D

1150

2 7.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? ( x ? 1) ,如果 g ? x ? ? f ? x ? ? log 5 x ? 1 ,

则函数 y ? g ? x ? 的所有零点之和为( A.2 B.4 C.6 D.8



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1 页 文科 数学试题卷

8.已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ? 1( x ? 0) ? ,把函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 的零点按从小到大的顺序排列成一个 ? f ? x ? 1? ? 1? x ? 0 ? ?


数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( A.15 B.22 C.45 D. 50

9.定义运算 a ? b ? ? A.最大值为 1

?a ?b

( a ? b) ( a ? b)

,则函数 f ( x) ? 1 ? 2 具有如下性质
x





B, 最小值为1 D. 在区间 ?0,??? 上单调递增

C. 在区间 ?? ?,0? 上单调递减

10.在平面直角坐标系中,若两点 P, Q 满足条件: ① P, Q 都在函数 y ? f (x) 的图像上; ② P, Q 两点关于直线 y ? x 对称, 则称点对 ( P, Q) 是函数 y ? f (x) 的一对 “和谐点对” (注: 点对 ( P, Q) 与 (Q, P) 看作同一对“和谐点对” )

? x 2 ? 3 x ? 2( x ? 0) 已知函数 f ( x ) ? ? ,则此函数的“和谐点对”有( ?log 2 x( x ? 0)
A. 0 对 B 1对 C 2 对 D 3对





II 卷

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
11.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?
1

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ? 5 ? ? ? _____ f ? x?

__

12.设函数 f ( x) ? x 3 ? 4mx 3 ? 3n sin 2 x ? 5, 且 f (?3) ? ?2018 ,则 f (3) ?

? 2 x ? x ? A ?, ? 13.设集合 A ? { x 0 ? x <1},B ? ? x | 1? x ? 2 ,函数 f (x) ? ? x0 ? A且f ? f (x0 )? ? A, 则 x0 ? ?4-2x ? x ? B ?, ?
取值区间是 .

a 14 . 已 知 各 项 为 正 的 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , 2?
a1 ? a2 ? ? ? a2013 ? 21008 ?
15. 关于以下命题: ⑴ 函 数 y ? l o g x ?1 值 域 是 R ; 2 .

2 , l an?g ?1 o 2

anl2? n ( n ? N ? ), 则 og

?

?

? ⑵ 等 比 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 是 S n ( n ? N ) 则 ,

S k , S 2 k ? S K , S 3k ? S 2 K ( k ? N ? )是等比数列;⑶在平面内,到两个定点的距离之比为定值 a(a>0)
淮北一中第二次月考 第 2 页 文科 数学试题卷

的点的轨迹是圆; ⑷函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f ( x ? a) 图像关于直线 x ? a 对称; ⑸命题“ f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集是 f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 解集的并集”的逆命题是假命题。其中真命题的序号是: 。

三、解答题(共 75 分)
16.已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (I)求 A ? B , (C R A) ? B ; (II)若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围.

17、淮北一中上届秋季田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数情况如下表.大会组委会为使颁奖 仪式有序进行,在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 16 人在前排就 座,其中亚军队有 5 人.

(I)求季军队的男运动员人数 n; (II)从前排就座的亚军队 5 人(3 男 2 女)中随机抽取 2 人上台领奖,请列出所有的基本事件,并求 亚军队中有女生上台领奖的概率.

18. 在如图所示的几何体中, ? 平面 ABC , 且 C B D A 2 C ? ? E EA DB ? 平面 ABC ,AC ? BC , A ? B M 是 AB 的中点. D (Ⅰ)求证: CM ? EM ; E (Ⅱ)求直线 DE 与平面 CEM 所成角的正切值.



A M

C

B

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3 页 文科 数学试题卷

19.已知 f ( x) ? ax ? ln x, a ? R. (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在 x ? 1 处有极值,求 f (x) 的单调递增区间; (Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 在区间 ?0, e? 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值; 若不存在,说明理由.

20. 已知等差数列 ?a n ?的公差大于 0,且 a 3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ?的前 n 项的和为

1 S n ,且 S n ? 1? bn ( n ? N * ). 2 (I) 求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式;
(II) 记 c n ? a n ? bn ,求证: c n ?1 ? c n .

21.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x, g ( x) ? x ? a x (I)若 a ? R,判断函数 f ( x) 是否有极值?若有,求出极值;若无,说明理由; (II)若函数 f ( x)在(1, 2] 上是增函数,函数 g ( x) 在(0,1)上是减函数。 ①求函数 f ( x), g ( x) 的表达式; ②证明:当 x ? 0时, 方程f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解。

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4 页 文科 数学试题卷

淮北一中 2014 届高三第二次月考文科数学答案
1.B 2.C 3.(理) A (文) B 4.C 5. 6.B 7.D 函数 y ? g ? x ? 的零点即为函数 f ? x ? 与函数 h ? x ? ? log 5 x ? 1 的交点的横坐标.作出函数 f ? x ? 与函 数 h ? x ? ? log 5 x ? 1 的图象(如下图) ,函数 f ? x ? 与函数 h ? x ? ? log 5 x ? 1 的图象都关于直线 x ? 1 对称,且在对称轴的左右两端各有 4 个交点,故函数 y ? g ? x ? 的所有零点之和为 4 ? 2 ? 8 .

8.C 9. (理)B (文)A 10 . C 作 出函 数 f ( x) 的 图像, 然 后作 出 f ( x) ? log 2 x( x ? 0) 关 于 直线 y ? x 对 称 的 图像 , 与函 数

f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2( x? 0) 的图像有 2 个不同交点,所以函数的“和谐点对”有 2 对.
11. 12. 13. ? log 2

? ?

3 ? ,1? 2 ?

x 因为 0 ? x0 ? 1 ,所以 1 ? 2 0 ? 2 .所以 f ? x0 ? ? B .所以 f ? f ? x0 ? ? ? 4 ? 2 ? 2 0 .由题知 ? ?
x

0 ? 4 ? 2 ? 2x0 ? 1 ,可得

3 3 3 ? 2 x0 ? 2 ,解得 log 2 ? x0 ? 1 .又 0 ? x0 ? 1 ,所以 log 2 ? x0 ? 1 . 2 2 2

14. -3 n15.(理)Sn=n·2 对于任一个不含元素 n 的子集 A,加入一个元素 n 后成集 B,则集合 A 与集合 B“交替和” n-1 的和为 n.这种构造的集合 A 集合与集合 B 是一一对应的,各有 2 个,切每一对集合的“交替和”的和为 nn,故非空子集的“交集和”的总和 Sn=n·2 (文) (3) (1) (5) 16.解: (1) A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?,

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5 页 文科 数学试题卷

因为 ?R A ? ? x | x ? 3或x ? 7? , 所以 ?R A ? B ? ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10? . (2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?, ①当 C= ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

?

?

5 ; 2

?5 ? a ? a, 5 ? ②当 C≠ ? 时,要 C ? ? A ? B ? ,则 ?5 ? a ? 2, 解得 ? a ? 3 . 2 ?a ? 10, ?
由①②得, a ? 3 . 17(理)解: (Ⅰ) x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3, y ? (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5 ,
1 5 ? 因线性回归方程 y ? bx ? a 过点 ( x, y ) , 1 5

∴ a ? y ? bx ? 5 ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ,
? ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: y ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ? 6.8

…………….5 分

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3,
P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
3 C5 10 5 C1C 2 40 10 ? ? , P(? ? 1) ? 4 3 5 ? ? , 3 84 21 C9 84 42 C9

2 1 C4 C5 30 5 C3 4 1 ? ? , P(? ? 3) ? 4 ? ? . 3 3 84 14 C9 C9 84 21

…………………….9 分

其分布列为

?
P
? E? ?

0
5 42

1
10 21

2
5 14

3
1 21

5 10 5 1 4 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 42 21 14 21 3

…………………….12 分

(文)

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6 页 文科 数学试题卷

18. (理) (Ⅰ)以 DA、DC、DE 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)
???? ? ???? ? BM ? (?2, 0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4, 0)

???? ???? ? ???? ???? ? ? BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM // 面ADEF ????????4 分 ?? ? t (Ⅱ)依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) 2 ??? ? ? ???? ? ? t 则 DB ? n ? 2 x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0 2 ?? ? ?? ? 2t 令 y ? ?1,则 n1 ? (1, ?1, ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 4?t ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n ? n2 | 1 6 ? ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? 1 ?? ? ? ,解得 t ? 2 6 4?2 | n1 | ? | n2 | 2? (4 ? t ) 2
? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?

1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的 距离 h ? 2 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S?DEM ? h ? ??????????????12 分 3 3
19.解: (Ⅰ)由已知得 f (x) 的定义域为 (0, ?) , ? 因为 f ( x) ? ax ? ln x ,所以 f '( x) ? a ?

1 x

当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,所以 f (1) ? 2 , 因为 f '( x) ? 2 ?

1 1 ,所以 f '(1) ? 2 ? ? 1 x 1

????????2 分

所以曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ? 2 ? f ?(1)( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

??????????3 分

(Ⅱ)因为 f (x) 在 x ? 1 处有极值,所以 f ?(1) ? 0 , 由(Ⅰ)知 f ?(1) ? a ? 1 ,所以 a ? 1 经检验, a ? 1 时 f (x) 在 x ? 1 处有极值. 所以 f ( x) ? x ? ln x ,令 f ( x) ? 1 ?
'

??????????4 分

1 ? 0 解得 x ? 1或x ? 0 ; x
第 7 页 文科 数学试题卷

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因为 f (x) 的定义域为 (0, ?) ,所以 f ( x) ? 0 的解集为 (1 ? ?) , , ?
'

即 f (x) 的单调递增区间为 (1 ? ?) . ,

????????????????6 分

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, ① 当 a ? 0 时,因为 x ? ?0, e? ,所以 f ' ( x) ? 0 , 所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减,

f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,解得 a ?
②当 0 ?

4 ,舍去. e

????????8 分

1 1 1 ? e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增, a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 ,解得 a ? e 2 ,满足条件. ???????10 分 a
③ 当

1 ? e 时,因为 x ? ?0, e? ,所以 f ' ( x) ? 0 , a

所以 f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , 解得 a ?

4 ,舍去. e

综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3. ?????12 分

20. (文)解: (Ⅰ)∵ a 3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {a n } 的公差 d ? 0 , ∴ a3 ? 5, a5 ? 9 ,公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. 5?3
………………3 分

* ∴ a n ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. ( n ? N )

又当 n=1 时,有 b1=S1=1-

1 2 b1 ,?b1 ? . 2 3

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ? ∴数列{bn}是等比数列, b1 ? ∴ bn ? b1 q n ?1 ?

b 1 1 (bn ?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn ?1 3

2 1 ,q ? . 3 3
…………8 分 …………10 分

2 . ( n ? N* ) n 3 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 c n ? a n bn ? , cn?1 ? , n 3 3n?1
淮北一中第二次月考 第 8 页 文科 数学试题卷

∴ cn ?1 ? cn ? ∴ c n ?1 ? c n .

2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ? ? ? 0. 3n?1 3n 3n?1
。。。。。。。。13 分 。。。。。。。

(理) (Ⅰ)由题意可知, a ? 0 ①当 q ? 1 时,则 12 S 3 ? 36 a, S 6 ? 6a, S12 ? S 6 ? 6a , 此时不满足条件 12 S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列;…………………………………………1 分 ②当 q ? 1 时,则 12 S 3 ? 12 ?

a(1 ? q 3 ) a(1 ? q 6 ) a(1 ? q 12 ) a(1 ? q 6 ) , S6 ? , S12 ? S 6 ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q

由题意得: 12 ?

a(1 ? q 3 ) a(1 ? q 12 ) a(1 ? q 6 ) a(1 ? q 6 ) 2 [ ? ]?[ ] 1? q 1? q 1? q 1? q
3 3 3 6

化简整理得: (4q ? 1)(3q ? 1)(1 ? q )(1 ? q ) ? 0 解得: q ? ?
3

1 1 , 或 q 3 ? , 或 q ? ?1 ………………………………………………………4 分 4 3

当 q ? ?1 时, a1 ? 3a4 ? ?2a , 2a7 ? 2a ,? a1 ? 3a4 ? 2(2a7 ) ,不满足条件; 当q ? ?
3

1 a a 3 6 时, a1 ? 3a4 ? a(1 ? 3q ) ? , 2(2a7 ) ? 4aq ? , 4 4 4
3

即? a1 ? 3a4 ? 2(2a7 ) ,所以当 q ? ? 当q ?
3

2 时,满足条件 2

1 4a 3 6 时, a1 ? 3a4 ? a(1 ? 3q ) ? 2a , 2(2a7 ) ? 4aq ? 3 9 1 ? a1 ? 3a4 ? 2(2a7 ) ,从而当 q 3 ? 时,不满足条件 3
综上,当 q ? ?
3

2 时,使得 a1 ,2a 7 ,3a 4 成等差数列.……………………………………8 分 2

1 n?1 a 4 1 1 2 1 n?2 1 n?1 所以 Tn ? a ? 2 ? (? )a ? 3 ? (? ) a ? ? ? (n ? 1)( ? ) a ? n(? ) a …………① 4 4 4 4 1 1 1 2 1 3 1 n?1 1 n 则 ? Tn ? (? )a ? 2 ? (? ) a ? 3 ? (? ) a ? ? ? (n ? 1)( ? ) a ? n(? ) a …② 4 4 4 4 4 4 5 1 1 2 1 3 1 n?1 1 n ①-②得: Tn ? a ? (? )a ? (? ) a ? (? ) a ? ? ? (? ) a ? n(? ) a 4 4 4 4 4 4 4 4 1 ? a ? ( ? n)( ? ) n a 5 5 4 16 16 4 1 所 以 Tn ? a ? ( ? n)( ? ) n a . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 13 分 25 25 5 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)得: na3n ?2 ? n(? )
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