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TI-CAS图形计算器在2014广东高考理科数学解题中的部分应用


TI-CAS 图形计算器在 2014 年 广东高考理科数学解题中的部分应用
李严华

摘要:TI-CAS 图形计算器是一种既能计算又能作图的新型的数学手持工具, 它具备强大的代数计算功能、函数作图分析等功能,在高考解题中,可以从复杂 的运算中解放出来,更注重对数学问题的逻辑算法的考察,体现对数学思维的培 养。 关键词:TI-CAS 功能;高考;图形计算器 自从计算机出现后,人类将复杂的运算交给了计算机,但电脑较为庞大,携 带不便。TI-CAS 图形计算器是一种既能计算又能作图的新型的数学手持工具,它 具备强大的代数计算功能、函数作图分析等功能,在高考解题中,学生可以从复 杂的运算中解放出来,更注重对数学问题的逻辑算法的考察,体现对数学思维的 培养。以下结合 2014 年广东高考理科部分试题,分享 TI-CAS 功能的应用 题型一:计算运用
例 1(理 2)已知复数 Z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 Z=

例 2(理 9)不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 例 3(理 10)曲线 y ? e
?5 x

。 。

? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为

例 4(理 13)若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 ,
1

则 ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ?



题型二:三角运用
例 5(理 16)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 2 2 4

题型三:几何运用
例 6(理 5)已知向量 a ? ?1,0, ?1? ,则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是 A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1)

A

D.(-1,0,1)

B

E p

D F

C

?DPC ? 300 ,AF ? PC 例7 (理 18) 如图 4, 四边形 ABCD 为正方形,PD ? 平面 ABCD ,
于点 F , FE / / CD ,交 PD 于点 E . (1)证明: CF ? 平面ADF
2

(2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值。

题型三:解析几何运用
例 8(理 20)已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 , 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹 方程。 解析: (1)求椭圆方程,设 c ? 5 ,

c 5 ? ,求出 a ,代入公式求出 b ; (2) a 3

设两切线为 l1 , l2 ,①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ;

②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 , l1

k

x y ? ? 1 并整理,因为直线与椭圆相切,所以 ? ? 0 整理 9 4 2 2 2 2 2 2 得到 k ( x0 ? 9) ? 2kx0 y0 ? y0 ? 4 ? 0 ,所以 k 是方程 k ( x0 ? 9) ? 2kx0 y0 ? y0 ? 4 ? 0 的 一 个 根 , 同 理 ? 1 是 方 程 k 2 ( x02 ? 9) ? 2kx0 y0 ? y02 ? 4 ? 0 的 另 一 个 根 , 所 以 k
的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立

2

2

3

y 2 ?4 ,进而得到 x0与y0 的关系式,验证特殊点是否满足,进而求出点 P k ? (? 1 ) ? ?1 ? 02 k x0 ? 9
的轨迹方程为 x2 ? y 2 ?13 ? 0

题型四:导数综合运用
例 9(理 21)设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
2 2

,其中 k ? ?2 。

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D (用区间表示) ; (2)讨论函数 f ( x ) 在 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) 。 解析:先进行因式分解,然后在 k ? ?2 的情况下解不等式组,求得定义域为:

4

(??, ?1 ? 2 ? k )

(?1 ? ?k ? 2, ?1 ? ?k ? 2)

(?1 ? 2 ? k , ? ?)

之后对函数求导,令导数为零求解导函数方程, 结合定义域知 x ? ?1 ? 2 ? k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?k ? 2 , 所 以 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (??, ?1 ? 2 ? k ) ,

(?1, ?1 ? ?k ? 2) ,同理递减区间为 (?1 ? ?k ? 2, ?1) , (?1 ? 2 ? k , ? ?) ;
由 f ( x) ? f (1) 得 x ? ?1 ? ?2(k ? 2) 或 x ? ?1 ? ?2(k ? 2) 或 x ? ?3 或 x ? 1 ,

k ? ?6 ,?1? (?1, ?1 ? ?k ? 2) , ?3 ? (?1 ? ?k ? 2, ?1) ,

?1 ? ?2(k ? 2) ? ?1? 2 ? k , ?1 ? ?2(k ? 2) ? ?1? 2 ? k , 结合函数 f ( x ) 的单调性知 f ( x) ? f (1) 的解集为
(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? ?k ? 2, ? 3) (1, ?1 ? ?k ? 2)

(?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4) .

通过以上可以看出, 高考题中一半以上的题都可以用 TI-CAS 功能来实现, 很 多复杂的运算我们可以通过 TI-CAS 图形计算器来解决。 从而是我们更多的关注于 思想方法的培养

【1】徐勇.高中数学实验教学学生实验案例.2014 【2】徐勇,高建彪.借助 TI 图形计算器解高考题.中国数学教育.2012

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