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高一周练数学试卷(15)


龙泉中学高一周练数学试卷(15)
班级 姓名 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知 cos(? ? ? ) ? ? A.

1

2

3

4

5

6<

br />
7

8

9

10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知向量 a, b 不共线,且 ka ? b 与 a ? kb 共线,则实数 k =______.

? ?

?

?

?

?

x ? 2.为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点 3 6 ? 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3

1 3

1 3? ? ? ? 2? ,则 sin(2? ? ? ) ? , 3 2 2 2 2 2 2 2 B. ? C. D. ? 3 3 3

AB 的中点是 D 、 E、 F, BC 、 CA 、 12. 设△ ABC 的重心为 M , 则 MA + MB - MC 等于 ①4 MF ;
②3 ME ; ③-4 MD ; ④ 0 .正确结果的序号是______.

?

C.向左平移 D.向右平移

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是_________. 4 2 2 14.若关于 x 的方程 x ? mx ? 4 ? 0 在 [?1,1] 有解,则实数 m 的取值范围是 . ? x ? 2 ( x ? ?1) 1 ? 2 15.函数 f ( x) ? ? x . (?1 ? x ? 2) ,若 f (a) ? ,则实数 a 的取值范围是 2 ?2 x ( x ? 2) ?
13.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)求函数 y ? lg(2sin x ?1) ? 1 ? 2cos x 的定义域.

?

?

?

6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

6

3.若 cos a ? 2sin a ? ? 5 ,则 tan a = A.

1 2

B.2

C. ?

1 2

D. ? 2

4.设四边形 ABCD 中,有 DC = A.平行四边形

1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是 2

B.矩形

5.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点,若 CB ? ? PA ? PB ,其中 ? ? R ,则点 P 一定在 A.△ABC 内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 6.若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域互不相同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数

??? ?

??? ? ??? ?

C.等腰梯形

D.菱形

17.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? 邻两条对称轴之间的距离为 求 ? 的值.

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相

? ? ? , (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 , 2 2 2

y ? x2 , x ? [1, 2] 与函数 y ? x2 , x ?[?2, ?1] 即为“同族函数”.下面 4 个函数中,能够被用来构
造“同族函数”的是 7.为使函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在区间 ?0.1? 上至少出现 50 个最大值,则 ? 的最小值为 A.98 ? B.98.5 ? C.99.5 ? D.100 ? 8.函数 f ( x) ?| sin x ? cos x | ? | sin x ?cos x | 是 A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 A. y ? sin x B. y ? x C. y ? 2 x D. y ? log 2 x

9. 定义集合运算: A ? B ? z z ? xy , x ? A, y ? B . 设 A ? ?1,2? , B ? ?0, 2, 4? 则集合 A ? B 的所有元 素之和为 A.8 B.12 C.14 D.18 10.已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x ? Z ,都有

?

?

x ? ). 2 3 ? 2? 14? ? (1)用“五点作图法 ”作函数 y ? f ( x) 在 ? 内的图象; , ? 3 3 ? ? (2)求函数 y ? f ( x) 的单调递减区间和对称轴的方程.
18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( ?

f ? x ? f ? x ? 1? ? ,则 x x ?1 3 A. 2

?3? f ? ? 的值是 ?2?
B.1 C.

1 2

D.0

2 19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ?A B C的 面 积 为 28cm , D、E 分 别 是 边 AB、BC 上 的 点 , 且

(补充题,选做)

AD BE ? ? 2 , P 为 AE 与 CD 的交点.请用向量法求 S?APC . DB EC

4 (a ? R) . x (1)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)当方程 f ( x) ? 2 恰有两个实数根时,求 a 的值; (3)若对于一切 x ? (0, ??) ,不等式 f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f ( x) ? x ? a ?

20. (本小题满分 13 分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用 图二的抛物线段表示. (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p ? f (t ) ;写出图二表示的种植成本与时间的函 数关系式 Q ? g (t ) ; (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元 /100kg ,时间单位:天)

23.设 f ( x) ? loga ( x ? 2a) ? log a ( x ? 3a) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 .若在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 f ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x ) 在 [0,1] 上的值域;

2 x2 ? 2 x ,函数 g ( x) ? ax2 ? 5x ? 2a(a ? 0) . 2 x ?1

(2)若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

龙泉中学 2014 级高一周练理科数学试卷(15)参考答案
命题:李祖安 选择题答案 1 C 11. ?1 ; 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D

所以,当 t ? 50 时, h(t ) 取得区间 [0, 200] 上的最大值 100 ;??????10 分

12.①; 13. ? , ? ; 14. (??, ? 5] ? [5, ??) ;15. (??, ? ) ? (? , ) 2 2 2 ?2 4?

?1 5?

3

2

2

1 ? sin x ? ? ?1 ? 2cos x ? 0 ? ? 5? ? ? 2 ?? ? x ? ? 2 k? ? , 2 k? ? 16.解: ? ?k ?Z . 3 6 ? ? ?2sin x ?1 ? 0 ?cos ? 1 ? ? 2 17.解: (1)由函数 f ( x ) 的最大值为 3 ,得 A ? 1 ? 3 ? A ? 2 , π 又由函数 f ( x ) 的图像上相邻的两条对称轴之间的距离为 ? T ? π ? ? ? 2 , 2 π 故函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 6 ? π π 1 (2) f ( ) ? 2 即 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ? sin(? ? ) ? 2 6 6 2 ? π π π 而 ? ? (0, ) ? ? ? ? ? ? , 2 6 6 3 π π π 故 ? ? ? ? ? ? 为所求. 6 6 3
18. (1)列表 3 分,作图 3 分.注意定义域. (2)单调递减区间为 [4k? ?

1 (t ? 350) 2 ? 100 , 200 所以,当 t ? 300 时, h(t ) 取得区间 (200,300] 上的最大值 87.5 .??????12 分 综上:由 100 ? 87.5 可知, h(t ) 在区间 [0,300] 上可以取得最大值 100 ,此时 t ? 50 ,即从二月一 日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大. ??????13 分 2 2 2 x ? 2 x 2( x ? 1) ? 2 x ? 2 2( x ? 1) ? ? 2? 2 21. (1) y ? 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 2t 令 x ?1 ? t, 则x ? t ?1, t ???1,0? , y ? 2 ? 2 , t ? 2t ? 2 当 t ? 0 时, y ? 2 ; 2 当 t ???1,0? , y ? 2 ? ,由双钩函数的单调性得 y ??0,2? , 2 t? ?2 t 故函数在 [0,1] 上的值域是 ? 0, 2? . ?????????6 分
当 200 ? t ? 300 时,配方整理得: h(t ) ? ? (2) f ( x ) 的值域是 ? 0, 2? ,要 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 ? 0, 2? ? y y ? g ( x), x ? ? 0,1? ??9 分 ①当 a ? 0 时, x ? [0,1] , g ( x) ? 5x ??0,5? ,符合题意;??????10 分 ②当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的对称轴为 x ? ? 故当 x ? [0,1] 时,函数为增函数,
?a ? 0 ? ∴ ??2a ≤ 0 ? 0 ? a ≤ 3 ; ?5 ? a ≥ 2 ? 综合①、②得 0 ≤ a ≤ 3 .

?

?

5 ? 0, 2a

则 g ( x) 的值域是 [?2a,5 ? a] ,由条件知 [0, 2] ? [?2a,5 ? a] ,????12 分

5? 11? , 4 k? ? ](k ? Z ) ; ??????9 分 3 3 5? (k ? Z ) 对称轴的方程为 x ? 2k? ? ??????12 分 3 19.利用向量知识可得 PD : CD ? 4 : 7 , PE : AE ? 1: 7 4 6 S?PABC = S?ABC =16 S?PABC = 2 8 ( ?1 ) = 4 ?S?PABC = 2 ? 8 1 ?6 ?4 cm 82 . 7 7
20.解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

??????????14 分

22.解:(1)由 a ? 0 得 f ( x) ? x ? 当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?

4 x

?300? t,0 ? t ? 200, f ?t ? ? ? ,200 ? t ? 300. ?2t ? 300
由图二可得种植成本与时间的函数关系为

?????? 3 分

1 (t ? 150) 2 ? 100 , 0 ? t ? 300 . ?????? 6 分 200 (Ⅱ)设 t 时刻的纯收益为 h(t ) ,则由题意得 h(t ) ? f (t ) ? g (t ) , g (t ) ?

? 1 2 1 175 ? t ? t? , 0 ? t ? 200 ? ? 200 2 2 即 h(t ) ? ? ??????9 分 ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 , 200 ? t ? 300 ? 2 2 ? 200 1 (t ? 50) 2 ? 100 , 当 0 ? t ? 200 时,配方整理得 h(t ) ? ? 200

4 ? 0 恒成立 ∴ x ? 0 x 4 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?2 又 x ? 0 ∴ x ? ?2 x 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (??, ?2] ? (0, ??) ;??????5 分 4 4 (2)由 f ( x) ? 2 得 x ? a ? 2 ? ,令 y1 ? x ? a , y2 ? 2 ? x x 当 a ? 0 时由函数图象知两函数图象在 y 轴右边只有一个交点时满足题意,此时 a ? 2 ; 4 2 当 a ? 0 时,直线 y ? x ? a 与曲线 y ? 2 ? 相切时满足题意,即 x ? (a ? 2) x ? 4 ? 0 的判别式 x ? ? 0 ,可得 a ? ?6 ( a ? 2 舍去) 综上所述, a ? 2 或 a ? ?6 时方程 f ( x) ? 2 恰有两个实数根.??????10 分 4 (3) x ? a ? ? 1( x ? 0) x 4 4 当 a ? 0 时, x ? a ? ? 1( x ? 0) , x ? ? 1 ? a ( x ? 0) , a ? 3 , 所以 a ? 0 ; x x

4 ? x? ?a x ? a ? ? x 当 a ? 0 时, f ( x) ? ? ; 4 ?? x ? ? a 0 ? x ? a ? x ? 4 4 4 ①当 x ? a 时, x ? ? a ? 1 ,即 a ? x ? ? 1 ( x ? 0) ,令 g ( x) ? x ? ? 1 x x x 0 ? a ? 2 时, a ? g (2) ? 3 ,所以 0 ? a ? 2 ; 4 a ? 2 时, a ? g (a ) ? a ? ? 1 ,所以 a ? 4 , 2 ? a ? 4 所以 0 ? a ? 4 a 4 4 4 ②当 0 ? x ? a 时, ? x ? ? a ? 1 ,即 a ? x ? ? 1( x ? 0) 所以 a ? a ? ? 1 , a ? 4 x x a 综上, a 的取值范围是 (??, 4] .??????15 分
5a 2 a 2 ) ? ]. 2 4 x ? 2 a ? 0 ? 3 5a 3 ? (2 ? a) ? 0 ,故函 由? 得 x ? 3a ,由题意知 a ? 3 ? 3a ,故 a ? ,从而 (a ? 3) ? 2 2 2 x ? 3 a ? 0 ?
23.解: f ( x) ? log a ( x ? 5 ax ? 6 a ) ? log a[( x ?
2 2

数 g ( x) ? ( x ?

5a 2 a 2 ) ? 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增.??????5 分 2 4 (1)若 0 ? a ? 1 ,则 f ( x ) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递减,所以 f ( x ) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上
在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 loga (2a2 ? 9a ? 9) ? 1 成立,从

的最大值为 f (a ? 3) ? loga (2a2 ? 9a ? 9) .

而 2a ? 9a ? 9 ? a ,解得 a ?
2

5? 7 5? 7 或a ? .结合 0 ? a ? 1 得 0 ? a ? 1 .????10 分 2 2

3 ,则 f ( x ) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 2 的最大值为 f (a ? 4) ? loga (2a2 ?12a ?16) .
(2)若 1 ? a ? 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 loga (2a2 ?12a ?16) ? 1 成立, 从而 2a ? 12a ? 16 ? a ,即 2a ? 13a ? 16 ? 0 ,解得
2 2

13 ? 41 13 ? 41 ?a? . 4 4

13 ? 41 3 ? ,所以不符合. 4 2 综上可知: a 的取值范围为 (0,1) .??????15 分



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