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两角和与差的余弦公式教案


课题:两角和与差的余弦公式 授课教师:北京市陈经纶中学 授课时间:2007 年 11 月 21 日 教学目标: 1. 2. 使学生理解两角和与差的余弦公式 , 并能初步应用它们解决简单的 三角函数求值与恒等变换问题。 通过教学,使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差 的余弦公式,再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与 一般的思想,数形结合的思想,换元的思想等数学思想在三角恒等 变换中的作用,培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。 通过教学,形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。 黎宁

3.

教学重点:两角和与差的余弦公式 教学难点:两角和与差的余弦公式的探究 教学方式:发现式、探究式 教学手段:计算机辅助教学、实物投影仪 教学基本流程: 创设问题情景,引入研究课题 由特殊值探索公式结构 引导学生证明公式 通过例题体会公式的应用 课堂小结 布置作业

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教学情景设计: 问题 师生活动 设计意图

疑问 1 :函数 教 师 引 导 学 生 思 考 : 函 数 y ? sin x 与 y ? sin x ? cos x y ? cos x 的 最 大 值 都 是 1 , 那 么 (不 y ? sin x ? cos x 的最大值是不是 2 呢? 的最大值是多 是, 当 y ? sin x 取得最大值 1 时,y ? cos x 少? 等于 0)

这是学生学习第一 章 三角函数时曾经 提过的问题, 将此问 题在这里提出, 目的 在于说明学习本节 知识的必要性, 同时 若能把 y ? sin x ? cos x 转化成一个角的一 激发学生学习本节 个三角函数的形式就好了! 知识的兴趣。 凭 直 觉 得 出 15°= 45-30°,我们知道 45°与 30°的 cos(? ? ? ) = cos? ? cos ? 是学生容易出 三角函数值,能否求出 cos 15 ? 的值呢? 现的错误, 通过讨论 是否有 cos 15 ? = cos 45? ? cos 30 ? 成立呢? 弄清结论, 使学生明 确“恒等”的含义, cos(? ? ? ) = cos? ? cos ? 是否恒成立? 同时为进一步明确 学生自主研究得出结论(不恒成立,但也 本节课的探索目标 不是总不成立) 。 奠定了基础, 使得教 学过程自然流畅。

cos 15 ? 疑问 2: 等于多少?

能否用角 ? 、 引导学生探索两角差的余弦公式的结构

? 的正、余弦 (1)研究 cos (90°-30°)与 cos90°、 sin 90°、cos30°、 sin 30°之间的关系; 来 表 示 (2)研究 cos (120°-60°)与 cos(? ? ? ) cos120°、 sin 120°、cos60°、 sin 60° 之间的关系; 呢? (3) 研究 cos(135°-45°) 与 cos135°、 sin 135°、 cos45°、sin 45°之间的关系; 发 现 规 律 : cos(? ? ? ) =cos ? cos ? +sin ? sin ?
能 否 证 明 cos(? ? ? ) = 学生思考,教师巡视,引导学生利用向量 的有关知识解决问题: cos ? cos ? 如图,作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 ? 、 +sin ? sin ? ? ?, 它们的终边与单位圆 O 交于点 A, B。 则

通过学生熟悉的特 殊角的三角函数值 来探索公式的结构 是比较自然的。 在学 生对公式的结构特 性有了 直观感知和 基本了解的基础上, 激发学生猜想, 探求 公式的欲望。

让学生经历用向量 知识解决一个数学 问题的过程, 体会向 量的工具作用及应 用价值。

若学生中有用非向 量的方法证明的, 可
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y A α
β

B x

O

在课堂中展示 不同 证明方法, 让学生既 体会向量法证明的 简捷性, 又培养了学 生思维 的灵活性和 发散性。

OA =(cos ? , sin ? ), OB =(cos ? ,sin ? )
∴ OA ? OB = cos ? cos ? +sin ? sin ? (1) 当 ? ? ? ? [0, ? ] 时, 向量 OA 与 OB 的夹角就是 ? ? ? ,由向量 数量积的定义,有

OA ? OB = OA ? OB cos(? ? ? )
= cos(? ? ? ) ∴ cos(? ? ? ) =cos ? cos ? +sin ? sin ? (2)当 ? ? ? ? [0, ? ] 时,设 OA 与 OB 夹 角为 ? ,有 cos(? ? ? ) =cos ? 。 因此,对于任意角 ? , ? 有
cos(? ? ? ) =cos ? ( C(? ? ? ) )

cos ? +sin ? sin ?

师:有了公式 C(? ? ? ) ,我们只要知道角 ? 、

? 的正、 余弦就可以求 cos(? ? ? ) 的值了。
例1 (本节课开 利用差角公式求 cos 15 ? 的值。 始时的疑问 2) (学生自行完成) 解: cos 15 ? =cos(45°-30°) = cos45°cos30°+sin45°sin30° =
2 3 2 1 ? ? ? 2 2 2 2

通过练习使学生理 解公式的简单应用。

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=

6? 2 4

能否用角 ? 、 学生自主研究,解决问题

? 的正、余弦
来 表
cos(? ? ? )

通过解决问题使学 只要将公式 C(? ? ? ) 中的 ? 换成 ? ? 即可得 生体会“换元”的思 示 想。 到。 也可以将 ? ? ? 看成 ? ? (? ? ) ,利用公式

呢?

C(? ? ? ) 证明。
cos(? ? ? ) =cos ? cos ? -sin ? sin ?

( C(? ? ? ) ) 例2 求值: (1)cos72°cos12°+sin72°sin12° (2)cos34°cos26°-sin34°sin26° (学生自行完成) 解:

通过加法与减法互 为逆运算的关系, 帮 助学生树立对立统 一的观点, 提炼问题 本身蕴涵着的化归 与转化的思想。

这是公式的逆用, 锻 (1) cos72 ° cos12 ° +sin72 ° sin12 ° 炼学生的逆向思维 1 =cos(72°-12°)= cos60°= 能力, 同时也为解决 2 本节课开始时的疑 (2) cos34 ° cos26 ° -sin34 ° sin26 ° 问 1 做好铺垫。 1 =cos(34°+26°)= cos60°= 2 能否化简
1 3 cos x + sin x ? 2 2

(学生自行完成) 能否解决本节 函数 y ? sin x ? cos x 的最大值是多少? 课开始时的疑 问 1? 2 2 y ? sin x ? cos x = 2 ( cos x + sin x ) 2 2
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通过解决问题体会 两角和与差的余弦 公式的应用价值, 同 时也使得整堂课首 尾呼应、浑然一体。

= 2 cos( x ?

?
4

)

所以最大值为 2 。 通过本节学习 学生自己思考,小结可以写在自己的笔记 你 有 哪 些 收 本上,也可以口头交流。 获? 教师引导学生围绕以下方面进行小结: 1.知识层面的小结(对公式的探索过程 及方法的启示,用向量的数量积证明公式 的主要思路以及公式的特点和功能) ;

让学生通过小结, 反 思学习过程, 加深对 公式及其推导过程 的理解。 领会数学研 究的有关基本方法 2. 数学思维能力层面的小结 (在学生小结 和途径, 学习并能应 的基础上,教师概括提升——包括本节课 用数学思想与方法 所涉及到的特殊与一般的思想,数形结合 解决有关问题。 的思想,换元的思想的体现,逻辑思维能 力和运算能力的提高以及对数学和谐美 的欣赏) .

作业: 1.课本 P138.B 组第 4 题 2.试用今天学习知识和方法证明: sin (? ? ? ) = sin ? cos ? +cos ? sin ? sin (? ? ? ) = sin ? cos ? -cos ? sin ?

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