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那些年我们一起背的公式——高中数学公式大全


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罗 Sir

那些年我们一起背的公式——高中数学公式大全
一、对数: 1.对数恒等式: a
log a N

?N.

2.基本性质: loga a ? 1 , loga 1 ? 0 .(底对 1,1 对 0)

3.运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: (乘除变加减,指数提前面) ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑶ loga M n ? n loga M . 4.换底公式: loga b ? ⑵ loga ?

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

logc b ?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? . logc a
m log a b n
6.倒数关系: loga b ?

m 5.重要公式: log a n b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a

二、 函数与导数 1.几种常见函数的导数

1 ; ④ (sin x)? ? cos x ; ⑤ (cos x)? ? ? sin x ; x2 1 1 9 (ln x )? ? ⑥ (a x )? ? a x ln a ; ⑦ (e x )? ? e x ; ⑧ (log a x)? ? ; ○ x ln a x
① C ? ? 0 ; ② ( xn )? ? nxn?1 ; ③ ( )? ? ? 2.导数的运算法则 (1) (u ? v)? ? u? ? v? . (2) (uv)? ? u?v ? uv? . (3) ( )? ?

1 x

u v

u ?v ? uv? (v ? 0) . v2

三、三角函数 1. 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°等的三角函数值.
?

0 0 1 0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

?
0 -1 0

3? 2

2?

sin ?
cos ?

1 2
3 2 3 3

2 2
2 2
1

3 2 1 2

1 0 不存在

3 2 1 ? 2

2 2
? 2 2
-1

-1 0 不存在

0 1 0

tan ?

3

? 3

2.同角三角函数的基本关系式
2 2 (1) 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .

(2) 商数关系: tan ? ?

sin ? .(3) 倒数关系: tan ? cot ? ? 1 cos ?

3. 三角函数的诱导公式 (概括为“符号看象限,纵变横不变” )
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(1) 诱导公式一:

(2) 诱导公式二:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
(3)诱导公式三:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
(4)诱导公式四:

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
(5)诱导公式五:

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .
(6)诱导公式六:

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
4. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

(1) sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? (2) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? (3) cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? (4) cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? (5) tan ?? ? ? ? ?

tan? ?tan ? tan? ?tan ? .(6) tan ?? ? ? ? ? . 1?tan? tan ? 1?tan? tan ?

5.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) sin 2? ? 2 sin ? cos ? ,变形: sin ? cos ? ? 1 . 2 sin 2?
2 2 2 2 (2) cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? .

变形如下:
2 ? ?1 ? cos 2? ? 2 cos ? 升幂公式: ? 2 ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ?

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? 2 ?sin ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2

(3) tan 2? 6.辅助角公式

? 2 tan? . 1 ? tan2 ?

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
四、向量 1. 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?,⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? ,⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2. 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:
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AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?
2

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3.向量的数量积: a ? b ? a b cos? . 5. a ? a .
2 2

4. a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 7. a ? b ? a ? b ? 0 .

6. a ?

? ? ? ? 2 a , a ? b ? (a ? b)2 .

8.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则:⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 9. 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则: AB ? 10.两向量的夹角公式 五、直线 1.倾斜角与斜率: k ? tan ? ? 2.直线方程的五种形式: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ;⑵斜截式: y ? kx ? b ⑶两点式: ⑵a ?

x12 ? y12

?

?

? ?

⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

?

?

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
x1 x2 ? y1 y2 x ? y12 ? x2 2 ? y2 2
2 1

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? a b

y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1
y ? y1 y2 ? y1 ; ? x ? x1 x2 ? x1

⑷截距式:

x y ? ?1 a b

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.两直线的位置关系:

?k ? k 2 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:⑴ l1 // l 2 ? ? 1 ; ?b1 ? b2
⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ;

?k1 ? k 2 ; ⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 . ?b1 ? b2

4.两点间距离公式: P 1P 2 ? 5.点到直线距离公式: d ? 6.两平行线间的距离公式:

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
C1 ? C 2 A2 ? B 2

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,则 d ?
六、圆 1.圆的方程:

⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 .其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r .
2 2

⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .其中圆心为 ( ?
2 2

D 2

,?

E 2

) ,半径为 r ?

1 2

D2 ? E 2 ? 4F .

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2.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;
2

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

2 2 3.弦长公式: l ? 2 r ? d , l ? 1 ? k

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 (圆锥曲线也适用)

4.两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ;⑵外切: d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 5.空间中两点间距离公式: ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ;

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

七、圆锥曲线 1.椭圆 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

定义 范围

到两定点 F 、 F2 的距离之和等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | ) 1

? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?

轴长 对称性 焦点 焦距

长轴的长 ? 2 a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴. y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
c c2 a 2 ? b2 b2 e? ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a (0 ? e ? 1)

离心率

弦长公式
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A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ?? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
4

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2.双曲线

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a 定义 ( 0 ? 2a ?| F1 F2 | ) 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? . ?2 ? a,0?
实轴的长 ? 2 a

?1 ? 0, ?a ? . ?2 ? 0, a ?
虚轴的长 ? 2b

关于 x 轴. y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? . F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? . F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e?
y??

离心率

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2

(e ? 1)
y?? a x b

渐近线方程

b x a

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3.抛物线

图形

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

定义 顶点 离心率 对称轴 范围

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

? 0, 0?
e ?1

x轴
x?0
? p ? F ? ,0? ?2 ?

y轴

x?0
? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?

y?0
p? ? F ? 0, ? 2? ?

y?0
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

准线方程 焦点弦长 公式 参数 p 的 几何意义

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

AB ? x1 ? x2 ? p
参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

八、数列 1.等差数列 (1) 通项公式:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. (2)等差中项 a+b 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项且 A= . 2 (3)前 n 项和公式 n?n-1? ?a1+an?n Sn=na1+ d= . 2 2 (4)等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和. 1 下标和与项的和的关系 ○ 若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 特别地:若 m+n=2p,则 am+an=2ap. 2 任意两项的关系 ○ am-an 在等差数列{an}中,m、n∈N*,则 am-an=(m-n)d 或 am=an+(m-n)d 或 =d. m-n 2.等比数列
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n-1

(1) 通项公式:an=a1q (2)等比中项

.

G b 如果三个数 a、G、b 成等比数列,则 G 叫做 a 和 b 的等比中项,那么 = ,即 G2=ab. a G (3)前 n 项和公式 na ?q=1? ? ? 1 n Sn=?a1?1-q ? a1-anq . = ?q≠1? ? 1-q ? 1-q (4)等比数列的性质 am m-n 1 {an}为等比数列,则 =q ○ ; an * 2 若 m、n、p、q∈N 且 m+n=p+q,则 am· ○ an=ap· aq.特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=…; 3.常见的裂项公式有: 1 1 1 1 ○ = - ; n n?n+1? n+1 1 1 1 1 2 ○ = ?n-n+k?; k ? n?n+k? ? 1 1 1 1 3 ○ = ?2n-1-2n+1? ? ?2n-1??2n+1? 2?
4 ○

1 = ( n?k - n) n?k ? n k

1

九、基本不等式 a+ b 1.基本不等式: ab≤ .(一正二定三相等) 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.常用的几个重要不等式 (1)a2+b2≥2ab (a,b∈R); (2) a ? b ? 2 ab (a>0,b>0) a+b 2 (2)ab≤( ) (a,b∈R); 2 b a (4) + ≥2(a,b 同号且不为零). a b 十、直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平 面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则

? ?x=ρcos θ ? ? ? ,? y ?y=ρsin θ ? ?tan θ= ?x≠0? ?
x

ρ2=x2+y2

.

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