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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第16讲圆中比例线段、根轴


第 16 讲

圆中比例线段、根轴

本节主要介绍圆幂定理及其应用,介绍根轴的有关知识.圆幂定理是指相交弦定理、切割 线定理及割线定理,它们揭示了与圆有关的线段的比例关系,是平面几何中研究有关圆的性 质的一组很重要的定理,应用及其广泛.圆幂定理通常可以通过相似三角形得到,因此研究圆 中的比例线段,一般离不开相似三角形. 相交弦定理 圆内的两

条相交弦被交点分成的两条线段的积相等. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等. 上述三个定理统称为圆幂定理,它们的发现距今已有两千多年的历史,它们有下面的同 一形式: 圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交,则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积 相等,即它们的积为定值. 这里切线可以看作割线的特殊情形,切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为 d,圆半径为 r,则这个定值为|d2-r2|. 当定点在圆内时,d2-r2<0,|d2-r2|等于过定点的最小弦的一半的平方; 当定点在圆上时,d2-r2=0; 当定点在圆外时,d2-r2>0,d2-r2 等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地,我们把 d2-r2 称为定点对于圆的幂. 一般地我们有如下结论:到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线; 如果此二圆相交,那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线.这条直线称为两圆的“根轴” . 对于根轴我们有如下结论:三个圆两两的根轴如果不互相平行,那么它们交于一点,这 一点称为三圆的“根心” .三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦 (就是两两的根轴)所在直线交于一点.

A 类例题
例 1 试证明圆幂定理.
A
P A Q O

Q O

P

B

B

分析 涉及到圆中线段,我们可以运用垂径定理进行证明. 证明 如图,当点 P 在圆内时,过点 O 作 OQ⊥AB 于 Q,连结 OP、OB,则 QA=QB. 于是 PA·PB=( PQ+QA)·(QB-PQ) =QB2-PQ2=(OB2-OQ2)-(OP2-OQ2)=OB2-OP2= r2-d 2=|d2-r2|. 当点 P 在圆上和圆外时,同理可得 PA·PB=|d2-r2|. 说明 关于圆幂定理的证明方法很多,同学们可以自己再思考几种证明方法. 链接 (1)此结论也可以在椭圆中得到推广,有兴趣同学可以自己去研究

研究. 例 2 利用圆 (2)圆中线段还有很多有趣的结论,例如(Ptolemy 定理)圆内接四边形对 幂定理证明:在 角线之积等于两组对边乘积之和.想一想如何证明,参见本书第十八讲. (3)对于相交弦定理的逆命题也是成立,即若线段 AB、CD 相交于点 P, 直角三角形中, 斜边上的高是两 且 AP· PB=CP· PD,则 A、B、C、D 四点共圆.证明请读者自己思考. 条直角边在斜边 上的射影的比例中项;每一直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项. 分析 本题可以用相似三角形来证明,但本题要求用圆幂定理,显然要有圆,可以考虑三 角形的外接圆,于是有下面的证法.
C

A

D

B

E

证明 如图,在 Rt△MAC 中,∠ACB=90?,做的外接圆,CD 是斜边 AB 上的高,延长 CD 交 外接圆于 E.由相交弦定理,得 AD·DB=CD·DE,因 CD=DE,故 CD2=AD·DB. 又因为,BC 是外接圆直径,所以 AC 切圆 BDC 于 C,由切割线定理有 AC2=AD·AB,同理 有 BC2=BD·BA.

链接 本题通过构造圆,应用圆幂定理证明等积问题,构思巧妙.这种方 法在数学中是常见的,例如:如图,四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC =DB=p,BC=q.求对角线 AC 的长. 分析:由“AD=DC=DB=p”可知 A、B、C 在半径为 p 的⊙D 上.利用 圆的性质即可找到 AC 与 p、q 的关系. 解:延长 CD 交半径为 p 的⊙D 于 E 点,连结 AE. ︵ ︵ 显然 A、B、C 在⊙D 上.∵AB∥CD,∴BC=AE.从 而,BC=AE=q.在△ACE 中,∠CAE=90°,CE= 2p,AE=q,故 AC= CE 2 ? AE2 = 4 p 2 ? q 2 .
C B A E

D

例 B 3 已 M 知 AB E C O 切 ⊙ O 于 F B,M D 为 AB 的中点,过 M 作 ⊙O 的割线 MD 交⊙O 于 C、D

A

两点,连 AC 并延长交⊙O 于 E,连 AD 交⊙O 于 F.求证:EF∥AB. 分析 要证明 EF∥AB,可以证明内错角相等,即要证明∠MAE=∠AEF,而∠CEF=∠CDF, 即要证明∠MAC=∠MDA,于是可以通过三角形相似,证明对应角相等. 证明 ∵AB 是⊙O 的切线,M 是 AB 中点, ∴MA2=MB2=MC·MD. ∴△MAC∽△MDA. ∴∠MAC=∠MDA, ∵∠CEF=∠CDF, ∴∠MAE=∠AEF.

∴EF∥AB.

情景再现
1.AD 是 Rt△ABC 斜边 BC 上的高,∠B 的平分线交 AD 于 M,交 AC 于 N.求证:AB2-AN2 =BM·BN. 2.如图,⊙O 内的两条弦 AB、CD 的延长线相交于圆外一点 E,由 E 引 AD 的平行线与直线 BC 交于 F,作切线 FG,G 为切点.求证:EF=FG.
A G F B C D E
B A N C D E M

3.已知如图,两圆相交于 M、N,点 C 为公共弦 MN 上任意一点,过 C 任意作直线与两 圆的交点顺次为 A、B、D、E.求证: AB ED = . BC DC

B 类例题
例 4 如图,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长 AB 延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AD 和 BC 相交于 F,EP 于 P、Q.求证:EP2+FQ2=EF2. 分析 因 EP 和 FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线 使 EP、FQ 向 EF 转化. 证明 如图,作△BCE 的外接圆交 EF 于 G,连 结 CG. 因∠FDC=∠ABC=∠CGE,故 F、D、C、G 四 由切割线定理,有 EF2=(EG+GF)·EF =EG·EF+GF·EF =EC·ED+FC·FB =EC·ED+FC·FB =EP2+FQ2, 即 EP2+FQ2=EF2.
A P O B E C G D Q

和 DC 相交于 E, 和 FQ 分别切⊙O 定理,构造辅助圆

F

点共圆.

链接 本题结论也可以改为 EP、FQ、EF 可以作为一个直角三角形的三 边. 例 5 AB 是⊙O 的直径,ME⊥AB 于 E,C 为⊙O 上任一点,AC、EM 交于点 D,BC 交 DE 于 F.求证:EM2=ED·EF. 证明 延长 ME 与⊙O 交于 N. D 由 相 交 弦 定 理 , EM · EN=EA · EB , 但 EM=EN, 2 C ∴EM =EA·EB.
M F A O E N B

∵MN⊥AB, ∴∠B=90° -∠BFE=∠D,故△AED∽△FEB. ∴AE∶ED=FE∶EB,即 EA·EB=ED·EF. ∴EM2=ED·EF.
A 例 6 (1997 年全国高中理科实验班招生考 PA、 PB 是⊙O 的两条切线, PEC 是⊙O 的一 F O 与 PC 的交点, 若 PE=2, CD=1, 求 DE 的长. P E 解 设 DE=x,连 PO 交 AB 于 F, D 2 ∵PA =PE·PC=2(3+x). B 在直角三角形 PAF 中,PA2=PF2+AF2. ∴PF2+AF2=2(3+x). ① 2 在直角三角形 PDF 中,PF +DF2=PD2. ∴PF2+DF2=(2+x)2. ② 2 2 ①-②:AF -DF =2(3+x)-(2+x)2, ∵AF2-DF2=(AF+DF)(AF-F)=AD·BD=DE·CD=x·1, ∴6+2x-4-4x-x2=x.即 x2+3x-2=0.

试)如图所示, 条割线, D 是 AB

C

∴x=

? 3 ? 17 17 ? 3 ,但 x>0,∴ x= , 2 2 17 ? 3 . 2
A

∴ DE=

情景再现
4. 如图, P 为两圆公共弦 AB 上一点, 的弦 CD、EF,求证:C、D、E、F 四点 5.正⊿ABC 内接于⊙O,M、N 分别是 长 MN 交⊙O 于点 D,连结 BD 交 AC 于 P,
C

D E P B F

A

过点 P 分别作两圆 共圆. AB、AC 的中点,延 求 C PC . PA

M O B

N P

D

6.如图,已知四边形 ABCD 内接于直径 AC 是直径,AC、BD 交于点 P,AB=BD,且 的周长.(1999 年全国初中数学联赛)

B

为 3 的⊙O,对角线 PC=0.6.求此四边形
P C D

A

O

C 类例题
例 7 如图, 自圆外一点 P 向⊙ O 引割线交圆 切线 PA、PB,A、B 为切点,AB 与 PR 相交于 Q.
求证: 于 R、S 两点,又作

1 1 2 PR+ PS= PQ.
R P

A S Q O

B

分析 要证

1 1 2 1 1 1 1 RQ + = 成立,也就是要证明 - = - 成立,即 PR PS PQ PR PQ PQ PS PR

QS RQ PR = PS.也就是要证明 QS= PS成立.于是可通过三角形相似及圆中的比例线段来证. 证明 如图,连结 AR、AS、RB、BS, ∵PA 是⊙ O 的切线, ∴∠PAR=∠PSA. 又∵∠APR=∠SPA, ∴△PAR∽△PSA. ∴ ∴ 同理, PA AR PR = = . PS AS PA PA PR AR 2 PR AR2 · =( ) ,即 = . PS PA AS PS AS2 PR BR2 AR2 BR2 AR BR = = ,即 = . 2.∴ PS BS AS2 BS2 AS BS

又∵∠RAQ=∠BSQ,∠AQR=∠SQB, AR AQ RQ ∴△AQR∽△SQB,∴ SB= SQ= BQ. 同理△AQS∽△RQB,∴ ∴ 又∵ BR RQ BQ = = . SA AQ SQ

AR BR AQ RQ RQ · = · = . SB SA SQ AQ SQ AR BR RQ AR2 = ,∴ = . AS BS SQ AS2 PR RQ = . PS SQ

从而

1 1 2 1 1 1 1 RQ QS 又∵ PR+ PS= PQ ? PR- PQ= PQ- PS ? PR= PS. 本题得证. 1 1 2 说明 当 PR+ PS= PQ时,我们称 PR、 PQ、PS 成调和数列. 链接 本题证明过程中,我们得到了不少结论: RQ QS RQ AR2 PR AR2 AR BR ① PR= PS;② SQ= AS2;③ PS= AS2;④ AS= BS等. 同学们可以再研究,还有不少有趣的结论. 例 8 AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦 CD、 CF、DE 交 AB 于 P、Q,求证:MP=QM. 证明 设 MP=x,QM=y,AM=BM=a,由正弦 PM PC QD MQ EQ = , = , sin?3 sin?1 sin?1 sin?4 sin?2 PF = , 四式相乘并化简,得 QD · QE · PM2= sin?2 PF·PC·MQ2. (*) EF 经过点 M ,
E A P
4 1 2

M

3

Q O

B

定理,得
D

C F

=

MQ PM , sin?3 sin?4

由相交弦定理,得 QD·QE = AQ·QB=( a + y), PC·PF = AP·PB= ( a - x), 代入(*)式,得(a2- x2) y2 = (a2- y2) x2, 化简,得 x2=y2, 所以 MP=QM. 说明 本题是著名的蝴蝶定理, 由于该定理的图形像一只翩翩起舞蝴蝶而得名.作为一个古 老的定理,证明方法多种多样,而且有多种推广,有兴趣的同学可参考本书第十八、十九讲 的内容. 例 9 给出锐角△ABC,以 AB 为直径的圆与 A N 及其延长线交于 M, N.以 AC 为直径的圆与 AC Q 延长线将于 P,Q.求证:M,N,P,Q 四点共 C' B' 数学奥林匹克) K P M 分析 设 PQ,MN 交于 K 点,连接 AP, B C P,Q 四点共圆,须证 MK·KN=PK·KQ, 即证(MC'-KC')(MC'+KC')=(PB'-KB')·(PB'+KB') 2 2 2 2 或 MC' -KC' =PB' -KB' . ① 2 2 2 2 不难证明 AP=AM,从而有 AB' +PB' =AC' +MC' . 2 2 2 2 故 MC' -PB' =AB' -AC' 2 2 2 2 =(AK -KB' )-(AK -KC' ) 2 2 =KC' -KB' . ② 由②即得①,命题得证. 证明 略. 说明 本题再次用到了相交弦定理的逆定理. AB 边的高 CC' 边的高 BB' 及其 圆.(第 19 届美国 AM.欲证 M,N,

情景再现
7.⊙O1 与⊙O2 相交于 M、N,AB、 C、D 为切点,直线 MN 交 AB 于 P,交 PQ2=AB2+MN2. 8.以 O 为圆心的圆通过⊿ABC 的两 与 AB、BC 两边分别相交于 K、N 两点, 的两外接圆交于 B、M 两点. 证明: ∠OMB 年第 26 届国际数学竞赛) 9.如图,自圆外一点 P 向⊙ O 作切线, 为切点, AB 与 PO 相交于 C, 弦 EF 过点 C. 求 ?APE=?BPF.

A

P M O1 N

B

O2

CD 为公切线, A、 B、 CD 于 Q , 求 证 :

C

Q

D
B M K N O P C

个顶点 A、C,且 ⊿ABC 和⊿KBN 为 直 角 . (1985

PA 、 PB , A 、 B
证 :

A

F

A

C O E B

P

习题 16
1.已知,AD 是⊙O 的直径,AD'⊥BC,AB、AC 分 F,那么下列等式中一定成立的是( ) A.AE?BE=AF?CF B.AE?AB=AO?AD' C.AE?AB=AF?AC D.AE?AF=AO?AD
O E

A

别与圆交于 E、
F C

D B D'
A

2.设⊙A 的直径等于等边三角形 ABC 的边长,等 AB'C'的周长与Δ ABC 的周长相同, 且 B'C'与⊙A 相切, B' A.∠B'AC'>120? B.∠B'AC'=120? C. ∠B'AC'<120? D. ∠B'AC'与 120?的大小关 B 3. PM 切⊙O 于 M, PO 交⊙O 于 N, 若 PM=12, PN=8, 径为( ) A.5 B.4 C.10 D.12 5
O

腰三角形Δ 那么( )
C' C

系不确定 则⊙ O 的直
P

M

N

4.如图,AB 切⊙O 于 B,ADFC 交⊙ ⊙ O 于 E , 若 ∠ A=28? , ∠ C=30? , ∠ FBE 的度数为( ) A.3? B.2? C.1? D.0.5?
A

C F E D
A O

O 于 D、F,BC 交 BDF=60? , 则 ∠

O B
E B T M C P

5.如图,PT 切⊙O 于 T,M 为 PT 的 于 B,PA 交⊙O 于 C,PB 延长线交⊙O 于 D, D 相似的三角形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.如图,D 为⊙O 内一点,BD 交⊙O 于点 C, AB=6,OD=2,DC=CB=3,则⊙O 的半径等于 A.3+ 3 B.2 6 9 C.2 D. 22

中点, AM 交⊙O 图 中 与 Δ MPB

A O D
T

BA 切⊙ O 于 A ,若 ( )
B

C

7.PT 切⊙O 于点 T, PAB、PCD 是割线, 弦 CD=50 ㎝,AC∶DB=1∶2,求 PT 的长
D

弦 AB=35 ㎝ ,
O A B C P

8.在Δ ABC 中,已知 CM 是∠ACB 1 AMC 的外接圆交 BC 于 N, 若 AC=2AB, 9.过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切 OP 与⊙O 交于点 C,过 C 作 AP 的垂 PA=12 ㎝,PC=6 ㎝,求 CE 的长.
B

A O C
E O B C P

的平分线,Δ 求证: BN=2AM.

M

N

A

线 PA 、 PB ,连 线,垂足为 E.若

10.⊙O 与⊙O?外切于点 P,一条外公 于点 A、B,AC 为⊙O 的直径,从 C 引⊙ 点为 T.求证:CT=AB.
O C

A B P O' T
M B

切线分别切两圆 O?的切线 CT,切

11.⊙ O1 与⊙ O2 的半半径为 r1 、 O1O2 的中点为 D,且 O1O2 上有一点 H, 2DH· O1O2=r12-r22, 过 H 作垂直于 O1O2 线 l 上任一点 M 向两圆所引切线长相等. 12.如图,设 D 为线段 AB 上任一 BD 为直径分别作三个半圆⊙O、⊙O?、 O?、O?的公切线,E、F 为切点.DC⊥ C.求证四边形 DFCE 为矩形.
A

A

O1

D H

O2

r2(r1>r2) , 连 心 线 满 足 的直线 l,证明直

C E F O' O D O" B

点,以 AB、AD、 ⊙ O? , EF 是 半 圆 AB ,交半圆 O 于

本节“情景再现”解答: 1.分析:因 AB2-AN2=(AB+AN)(AB-AN) =BM· BN, E 而由题设易知 AM=AN,联想割线定理,构造辅 助圆即可证 A 得结论. 2 证明: 如图,∵∠2+∠3=∠4+∠5=90°,又∠ 3 =∠ 4, ∠1 N 1 F =∠5, 3 5 M 4 ∴∠1=∠2.从而,AM=AN. C D B 以 AM 长为半径作⊙A,交 AB 于 F,交 BA 的 延长线于 E. 则 AE=AF=AN.由割线定理有 BM·BN=BF·BE=(AB+AE)(AB-AF)=(AB+AN)(AB -AN)=AB2-AN2,即 AB2-AN2=BM·BN. 2. 证明: ∵EF∥AD, ∴ ∠FEA=∠A. ∵ ∠C=∠A, ∴∠C=∠FEA, ∴ △FEB∽△FCE. ∴ 2 2 FE =FB·FC.∵FG 是⊙O 的切线,∴FG =FB·FC.∴EF=FG. 3. 证明: 根据相交弦定理, 得 MC· CN=AC· CD, MC· CN=BC· CE. ∴AC· CD=BC· CE. ∴ AB ED (AB+BC) ·CD=BC· (CD+DE) .∴AB·CD=BC·DE.即 BC= DC. 4. 证明: 由相交弦定理, 得 AP· PB=CP· PD, AP· PB=EP· PF, ∴CP· PD=EP· PF. 由相交弦定理的逆定理,可得 C、D、E、F 四点共圆. 5.解 延长 NM 交⊙O 于 E,设正三角形边长 为 a,ND=x.由相 a aa 交弦定理得,ND· NE=AN·NC,∴ x( +x)= · , 2 22 a PN =0. 解得 x=4( 5-1). ∵ ⊿PDN∽⊿PBC ∴PC
A

即 x2+
E B M O N P D C

a a2 x - 2 4

ND x 1 = BC = a = 4

1 2a-PC 3- 5 1 1 PC 2 ( 5-1).以 PN= a-PC 代入得, = ( 5-1).即 = = . 2 PC 4 a 2 3+ 5 ∴ PC PC = = PA a-PC 5-1 . 2
B

6.解 作 AD 的垂直平分线 BE,垂足 BE 过点 O. ∵ AC 为 直 径 , ∴ ∠ ABC= ∠ CD. ∴ Δ BPO ∽ Δ DPC , ∴ OP ∶ DP. ∵ BO=OC=1.5,PC=0.6,OP=1.5 ∴ AD2=AC2-CD2=8,AD= 2 2 . 由 OE= ∴ BC=

为 E .∵ AB=BD,∴ ADC=90? , ∴ BO ∥
P C D

A

O

E

PC=BO ∶ CD=BP ∶ -0.6=0.9,∴ CD=1.

1 CD=0.5,得 BE=2,∴AB2=BE2+AE2=6,AB= 6 . 2

AC 2 ? AB2 ? 3 .

∴ 所求周长= 1 ? 6 ? 3 ? 2 2 . 7.证明:PQ2=(PM+MQ)2=PM2+(MN+NQ)2+2PM·MQ =PM2+MN2+NQ2+2MN · NQ+2PM · MQ . ∵ PM=NQ , ∴ PN=MQ . ∴ PQ2=2PM2+2MN·PM+2PM·PN+MN2 =2PM(PM+MN)+2PM· PN+MN2(∵PM· PN=PA2)=4PA2+MN2. ∵PA=PB, 故 AB=2PA. ∴ 2 2 2 PQ =AB +MN . B 8. 证明: 由 BM、 KN、 AC 三线共点 P, 知 2 2 PM· PB=PN· PK=PO -r . ⑴ 由 M K ?PMN=?BKN=?CAN ,得 P 、 M 、 N 、 C 共 圆 , 故 N 2 2 BM· BP=BN· BC=BO -r .⑵ O P ⑴-⑵得,PM· PB-BM· BP= PO2 - BO2, 2 2 C A 即(PM-BM)(PM+BM)= PO - BO ,就是 2 2 2 2 PM -BM = PO - BO ,于是 OM⊥ PB. 9. 证明: 如图, 连结 OA、 OB、 OE、 OF, 显然 O、 A、 P、 B 四点共圆, 于是 AC· CB=OC· CP. 又因为 AC· CB=EC· CF,所以 OC· CP=EC· CF.所以 O、E、P、F 四点共圆,又因为 OE=OF,所
以?OPE=?OPF 从而?APE=?BPF.
F A

C O E

P

B

本节“习题 16”解答: 1.解 连 DE,则由 AD 为⊙O 的直径,故 DE⊥AB,∵ AD?⊥BC,∴ B、E、D、D?四点共 圆.∴ AE?AB=AD?AD?.同理,AF?AC=AD?AD?,∴ AE?AB=AF?AC.故选 C. 4 4 2.解 设切点为 T,且 BT=x,AT=r,则得 r 2 ? x 2 ? x ? 3r ,解得 x=3 r.由于 tan60?>3 , 故∠B'AC'<120?,故选 C. 3.解 在直角三角形 OPM 中,PO2=OM2+PM2,即(8+R)2=R2+122,解得 R=5,故选 C. (或 2 由切割线定理,得 12 =8(8+2R),2R=10. ) 4.解 设∠FBE=x?,则∠FDE=x?,∠BDE=60?,∴ 由∠BDF=60?,得∠ABD=∠BDF-∠ A=32?.∴ ∠BFD=32?.但∠BFD=∠FBE+∠C,即 32=x+30,故 x=2,选 B. 5.解 PM2=MT2=MB· MA,∴Δ PMB∽Δ AMP;∴ ∠MAC=∠BPM,∴∠BPM=∠BDC, DC∥MP,设 DC 交 AM 于点 E,则Δ PMB∽Δ DEB;且Δ AEC∽Δ AMP∽Δ PMB.即图中 有 3 个与Δ MPB 相似的三角形.故选 C. 6 . 解 延 长 线 BD 与 ⊙ O 交 于 E , 于 是 BA2=BC· BE , ∴ A BE=12. O ∴ DE=6.取 CE 中点 G,连 OG.则 DG=1.5, OG2=22 - B ∴ 3 7 (2)2=4.∴OE2=OG2+GE2=22.即 OE= 22.故选 7.解 设 PC=x,PA=y,Δ PCA∽Δ PBD,则
E GD C

D.

y 1 x 1 ? .解之 ? , x ? 50 2 y ? 35 2
PT=60. 8. 证明: 连 MN, 则由 BM· BA=BN· BC, ∴ MN∶BN=AC∶AB= 1 .∵ CM 平分 2

A M O C

得 x=40 , y=45 ,

B

N

得△BMN∽△BCA, ∠ ACB , ∴

MN=AM.∴ BN=2AM. 9.解 设 PO 延长线与⊙O 交于 D,连 PA2=PC·PD,以 PA=12,PC=6,代入, CD=18,OC=9,∵ OA⊥PA,CE⊥PA,∴ 24 D 以 PC=6,PO=15,OA=12 代入,得 CE= 5 10.证明 连 PA、PB、PC. 则∠APB=90° ,∠APC=90° , ∴ C、P、B 三点在一条直线上.由 OA 是 直 角 三 角 形 . ∴ △ CAP ∽ △ CBA . ∴ CT 为⊙ O? 的切线,∴ CT2=CP · CB ,∴ 11.证明:过 M 作⊙O1、⊙O2 的 切点为 A 、 B . MO12 - MO22=O1H2 - O2H2=(O1H+O2H)(O1H - O2H)=O1O2 · (O1D+DH - O2D+DH)
C
M A B

A E O B A
B O P O' T

OA . 则 得 PD=24 , 于 是 PC∶PO=CE∶OA,
P

C

㎝.

⊥AB,知△ABC CA2=CP· CB. 但 CT=CA. 切线 MA、MB,

=2O1O2·DH=r12-
O1

D H

O2

r22. ∴ MO12-O1A2=MO22-O2B2,即 MA=MB. 12.证明:连 O?E,O?F,设⊙O?、 ⊙ O? 的半径分别为 E R1、R2,CD、EF 交于点 P. P F 则 O?O?FE 为 直 角 梯 形 , ∴ EF2=O?O?2 - (O?E - O?F)2=(R1+R2)2 - (R1 - A R2)2=4R1R2. 又, 由 O' O D O" B △ABC 是直角三角形,CD 是其斜边上 的 高 , 2 CD =AD · BD=4R1R2 .∴ CD=EF .∵ PE=PD , PF=PD ,∴ △ DEF 是直角三角形.∵ PE=PF=PD,∴ CD、EF 互相平分.即 DFCE 是矩形.
C

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