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2009-2012年江苏省数学竞赛初赛试题(原题+详解)


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2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .

r />
2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= .

3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= . 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x .
A

R D B Q P C

5. 如图, 在四面体 ABCD 中, Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点, BP=2PC, P、 且 CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 . 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 .

7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长 方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、 20cm 、 60cm . 若 不 计 净 水 器 中 的 存 水 , 则 净 水 水 箱 中 最 少 可 以 存 水 cm3. → → 8 . 设 点 O 是 △ ABC 的 外 心 , AB = 13 , AC = 12 , 则 BC · AO = . 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列 的前 2009 项的和为 . .

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b=

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的 9 4 左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积. 12. 如图, D、 是△ABC 的边 AB 上的两点, 设 E 已知∠ACD=∠BCE,
C

AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC.
A

D

E

B

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13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请 予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请 证明你的结论.

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2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα=1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ= -1, π π π ∴ α=2kπ+ ,β=2lπ 或 α=2kπ- ,β=2lπ+π?α+β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 2 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= 填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= -1+ 5 填 . 2 解:由(2b)2=2c×2a?a2-c2=ac?e2+e-1=0?e= 3x+1 1 4.已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x 填 1. 解:即 3x 1 = x ?32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去),3x=3?x=1. 3 -1 3(3 -1)
x







-1+ 5 . 2



5. 如图, 在四面体 ABCD 中, Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点, BP=2PC, P、 且 CQ=2QD. R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 1 填 . 4 解: B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR 的以三角形 PQR A、 为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比.
R D Q P C A



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B

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1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9 4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值: 在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点. 由 Menelaus 定理知, BM DQ CP DQ 1 CP 1 BM · · =1,而 = , = ,故 =4. MD QC PB QC 2 PB 2 MD
B N R D M Q P C A

在面 ABD 内,作射线 MR 交 AB 于点 N,则 N 为面 PQR 与 AB 的交点. BM DR AN BM DR AN 1 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围是 填[3,4]. .

解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x)?0 的 x 的取值范围为[3,4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长 方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若 不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 填 78000. 解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200) cm3.

=30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC· AO= 25 填- . 2
O


A R R B R C

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→ → → 解:设| AO|=| BO|=| OC|=R.则 → → → → → → → → → BC· AO=( BO+ OC)· AO= BO· AO+ OC· AO=R2cos(π-2C)+R2cos2B 1 1 1 25 =R2(2sin2C-2sin2B)= (2RsinB)2- (2RsinC)2= (122-132)=- . 2 2 2 2 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和 为 . 填 2008+ 2. 2 2 解:若 an+1≠0,则 an=2- ,故 a2008=2- 2,a2007=2- =- 2,a2006=2+ 2, an+1 2- 2 a2005= 2. 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- 故 an-4=an. 于是,
2009 k=1

2

an+1

,则 an-1=

an+1-2 2 ,an-2= ,a - =an+1, an+1-1 2-an+1 n 3

Σ a =502(a +a +a +a )+a
n 1 2 3 4

2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+

2.

10.设 a 是整数,0?b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= 填 0, 3-1 , 3-1. 2



解:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0. 于是 a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0?a<1+ 3?a=0,1,2. a=0 时,b=0; a=1 时,2b2+2b-1=0?b= 3-1 ; 2

a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x]2=2{x}x. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) http://www.mathedu.cn x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,F 是椭圆的 9 4 左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.
?4x2+9y2=36, 解:取方程组? 代入得,25y2-64y+28=0. ?x=2y-4.
B y

14 此方程的解为 y=2,y= . 25 72 14 即得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25
C

A F O x

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连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 1 14 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5)× = (72+7 5). 2 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 14 72 72 14 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 5)× +(- 5)×0-0×0) 2 25 25 25 25 1 144 14 1 = ( + 5)= (72+7 5). 2 25 25 25 12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知 ∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 11 4 ∴ cosA= = = = . 2AC· AE 2· 16 14· 2· 16 14· 16 11 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 28· =72· 14· 9?BC=21. 16 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y)2?k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y?0 对于 x,y>0 恒 成立. 令 t= x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)?0 对一切 t>0 恒成立. y
A D E B C

当 2k2-1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 此时当 t= 2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k2-1= 2 = . 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1
2

当 2k2-1>0 且 2k2-3?0,即 k? ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2

6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2

解法二:显然 k>0,故 k2? + 4t+1 ). 2t2+1

( x+ y)2 x+2 xy+y = .令 t= 2x+y 2x+y

t2+2t+1 1 x >0,则 k2? 2 = (1 y 2 2t +1

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u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 s(u)= 8 ? 9 u+ -2 2 u 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2)= . 2 2 2t +1 2 9 u·-2 u 8

3 6 ∴k2? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 又:令 s(t)= 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且在 0 2 2 2t +1 (2t2+1)2 (2t2+1)2

3 1 1 1 1 1 <t< 时,s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2? (1+s( ))= . 2 2 2 2 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 能恒成立. 而当 k? 成立. ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y? 2x+y?k 2x+y,故不等式恒 2 2 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不 2 4 2 2 2 2 2

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请 予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请 证明你的结论. 解:对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4),或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡0(mod 4),此时,ab+10≡2(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b≡1(mod 4), 或 a≡b≡3(mod 4),则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡b(mod 4)且 a 与 b 均不能被 4 整除. / ⑴ 由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取 a=2,b=3,c=13,则 2×3 +10=42,2×13+10=62,3×13+10=72. 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数.

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这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其余任一个数的积加 10 后不 是完全平方数,如果这 4 个数都不是 4 的倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完全平方数. 故证.

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2010 年全国高中数学联赛 江苏赛区·初赛
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为
x x

. .

2.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值是
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

. ,最小值是 .

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4, 0 ? 、 B ? ? 6,8 ? 、 C ? ? 2, 4 ? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ? 1? 都是关于 x 的奇函数,则函数 .

y ? f ? x ? 在区间 ? 0,100 ? 上至少有

个零点.

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中 种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 .

(第 7 题)





9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



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10.设复数列 ? xn ? 满足 xn ? a ? 1 , 0 ,且 xn ?1 ?

a xn .若对任意 n? N* 都有 xn ?3 ? xn , xn ? 1

则 a 的值是



二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11. 直角坐标系 xOy 中, A 、B 、M 是椭圆 C : 设

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点. OM ? OA ? OB , 若 4 5 5

证明: AB 的中点在椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2

12.已知整数列 ? an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 . 13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3 x 都是完全平方数.
2 2

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参考答案
1、x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2、与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [
k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2

3、 AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 . 4、极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 8 5 5、画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 6、f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ?1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. 7、不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以. 8、穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为 1 . 3

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ?

9、4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10、由 xn ?1 ?

a 3 xn a 2 xn ?1 a xn a xn ? 2 ? xn ? 2 ? , xn ?3 ? xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn ?1 ? 1 ? a ? a ? 1? xn ? 1
2

2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ? 1 或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 ,所以

?

?

1 3 a?? ? i. 2 2
11、解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x12 x22 +y12=1, +y22=1. 4 4

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由 OM ?

???? ?

? ? 3 ??? 4 ??? 3 4 3 4 OA ? OB ,得 M(5x1+5x2,5y1+5y2). 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 x22 3 4 3 4 x1x2 即 ( +y12)( )2+( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4 x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2 x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 x1x2 1 x22 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ………………20 分 …………………14 分

…………………6 分

所以

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12、解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. …………………6 分

当 n?6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n?5 时,an =2n-5.
?n-4,n?4, ? 故 an =? n-5 ? ?2 , n?5.

…………………10 分

(2) 由(1)知,数列 ? an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

…………………15 分

当 m?5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. …………………20 分

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13、证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; …………………8 分 (2) ∵ 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, CG⊥AC, …………………14 分 B G 又 AD 是圆的直径,∴ C A H F D E

由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, …………………20 分

14、解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ ∴ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. ………………5 分

若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ ∴ 又 x2+3y 是完全平方数, x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, …………………15 分

得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11).

…………………20 分

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2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示).
1 4. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3



6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 7. 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? . .

9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 .

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二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

12.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值.

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.
1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

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2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? 答案:-8 基础题,送分题,高考难度 2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 .

m?
答案: ?
3 2

.

基础题,送分题,高考难度 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示). 19 答案: 145 基础题,送分题,高考难度,但需要认真审题,否则很容易有错
1 4. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5



答案:

4 5

计算量挺大的,要注重计算的方法,对于打酱油的同学有一定难度 π 5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10 3 可以用特殊法,把向量放在直角坐标系中,很容易可以得出答案 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 1 n 答案: (8 ? 48) 7 高考难度级别,基础好的同学可以做出来 7. 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2) 这是一道高考题 . .

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8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? .

答案:6 这也是一道高考题 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 答案:4 3 还是一道高考题 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 答案:3,14,30 这是 2011 年苏州市一模的第十四题。 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点(cosθ,sinθ),代入抛物线方程, 1 5 得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 2 4 ? 5 ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ?? ,1? ? 4 ? 简单,很简单 12.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ? f (3) ? 1,从而 b ? ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,
4 ? ? ?b ? ? 5 , ? f (?2) ? 0, ? 4 ? 2b ? c ? 0, ? ? ? 在区间 ? ?2, 2? 有 ? f (2) ? 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ? 0, 消去 c,解出 ?b ? ?4, ? ?4 ? b ? 4, ??4 ? b ? 4, ? b ? ??2 ? ? 2, ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ? b ? ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c 2 )min ? 32,(b2 ? c 2 )max ? 74 .

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注重分类讨论 13.如图,P 是 ? ABC 内一点.
1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

1 1 1 证明:(1) ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC ) ? 90? ? ?BAC 2 2 2

A

P

B

C

这其实是平面几何一个很重要的结论,在一般的平面几何的参考书上都有 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?
q2 q ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p 2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?
p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ? p 2 k 2 ? 2qk ? q2 q ? pk ? ? Q . 2 p p

非常非常常规的一道数论题,不需要数论的预备知识 总结:这张试卷大约 90 分以上应该可以出线了。一般说来,出线并不算太难,只要平时基 础好,不粗心,填空题应该可以做满分(笔者错了一个),对于没有进行过竞赛辅导的同学来说,

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大题的 1、2 两题还是可以做做的。 尤其提醒一点,大题目不管会不会做,一定要写写,写写总是有分的,而且分很多。比如最 后一题,只要把他设出来,就有 8 分。

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2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x 3 ? 3x | 的最大值为____________. ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ____________.
3、从集合

?3,4,5,6,7,8? 中随机选取
2

3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为

____________. 4、已知 a 是实数,方程 x

? (4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位),则

| a ? bi | 的值为____________.
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C : 12 4
角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 ____________. 6、已知 a 是正实数, k

A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为

? a lg a 的取值范围是____________.

7、在四面体 ABCD 中, AB ? 为____________. 8 、 已 知 等 差 数

AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的体积


?an ?











?bn ?







a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35, 则 an ? bn ? ____________. n ? N * ) (

71 75 9、将 27,37,47,48,55, , 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这
样的排列有____________种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 ( a, b, c) 的个数为____________. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C ? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

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12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

f ( x) ?| ln x ?

a | ?b( x ? 0) x

. 若

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a, b ;

e ? ln 2 ? 1 . 2
(2)求函数

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

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13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M , A 为圆 O 上的动 点.在射线 OM 上有一动点 B ,

AB ? 1, OB ? 1 .线段 AB

交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的 取值范围.

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14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 整数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是

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2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x 3 ? 3x | 的最大值为__18___. ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____.
3、从集合

?3,4,5,6,7,8? 中随机选取

3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为

_____

3 _______. 10
2

4、已知 a 是实数,方程 x

? (4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位),则

| a ? bi | 的值为_____ 2 2 ___.
5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且倾斜 12 4

角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 ___

A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 3 ,则直线的斜率为

1 ____. 2
? a lg a 的取值范围是___ [1, ??) _____.

6、已知 a 是正实数, k

7、在四面体 ABCD 中, AB ? 为_____ 5 8 、 已

AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的体积

3 _______.
知 等 差 数 列

?an ?





比 则





?bn ?
___





: ___.

a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35,
(n? N )
*

an ? bn ?

3n?1 ? 2n

71 75 9、将 27,37,47,48,55, , 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这

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样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组 ( a, b, c) 的个数为__24___. 二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C ? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

f ( x) ?| ln x ?

a | ?b( x ? 0) x

. 若

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a, b ; (2)求函数

e ? ln 2 ? 1 . 2

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

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13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M ,

A 为圆 O 上的动点.在射线 OM

上有一动点

B , AB ? 1, OB ? 1.线段 AB 交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的取

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值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 整数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是

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