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2014年高中数学 1.1.1正弦定理教案(二)新人教A版必修5


1.1.1 正弦定理
观察特例提出猜想 教学过程 ①在 Rt△ABC 中, 各边、 角之间存在何种数量关系? ②学 生容易想到三角函数式子: (可能还有余弦、正 a 切的式子) b 设计意图 以旧引新, 打破学生原 有认知结构 的平衡状态, 刺激学生认 知结构根据 问题情境进 行自我组织, 促进认知发 展. 从直角 三角形边角 关系切入, 符合从特殊 到一般的思 维过程. 鼓励学生大 胆拓广, 主 动投入数学 发现过程,发 展创造性思 维能力.

A c

师 生 共 同 观 察 特 例

sin A ?

c

sin B ?

c

sin C ? 1

③这三个式子中都含有哪个边长? c 学生马上看到,是 c 边,因为 sin C ? 1 ? c ④那么通过这三个式子,边长 c 有几种表示方法?

b

c?

a b c ? ? sin A sin B sin C

C

a

B

⑤得到的这个等式,说明了在 Rt△中,各边、角之间存在什么关系? (各边和它所对角的正弦的比相等) ⑥此关系式能不能推广到任意三角形?

提 出 猜 想

猜想:在任意的△ABC 中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即:

a b c ? ? sin A sin B sin C

数学实验深入探究 教学过程 学 生 自 己 进 行 数 学 实 验 归 纳 总 结 设计意图 给学生探索的空 间,使学生真正感 觉到自己在“做数 学” , 激起学生的好 奇心和探究欲望, 调动学生自主参与 数学活动,使学生 体会到数学系统演 绎性和实验归纳性 的两个侧面. 让学生明确到:某 些规律对部分特例 成立,但是对一般 情况不成立.

让学生用几何画板进行数学实验: 改变三角形的某个顶点的位置(即改变了三角形的形状) ,观 察表格中的数据的数值大小变化情况. 观察发现:在拖动三角形的某个顶点的过程中,表格中的数 据的数值大小也随着变化,但是它们始终保持相等. 通过实验后,猜想成立,即有下面的结论: 在任意的△ABC 中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即:

a b c ? ? sin A sin B sin C

证明猜想得出定理
1

教学过程 师 生 总 结 三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,对于直角三角 形,我们前面已经推导出这个关系式是成立的,那么我们现在是否需要 分情况来证明此关系式? ①教师启发:刚才在直角三角形中已经证明了, 那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求 证? ——可以构造直角三角形 ②如何构造直角三角形? ——作高线(例如:作 CD⊥AB,则出现两个 直角三角形) C

设计意图 及时总结, 使 方向更明确, 并培养学生 的分类意识. 把不熟悉的 问题转化为 熟悉的问题, 引 导启发学 生利用已有 的知识解决 新的问题. 学生在合作 交流、 与人分 享的探讨的 氛围中倾听、 思考、表述, 体验成功的 喜悦; 学会合 作, 并在合作 中懂得欣赏 他人; 提高分 析能力. 研究性课题 具有开放性 多元性.启发 学生利用所 学知识解决 新的问题, 让学生对学 过的各个知 识融会贯通. 通过多次提 问,层层递 进, 逐步搭设 台阶,让学生 联系向量数 量积的意义, 借助向量 工 具来证明,突 出向量的工 具性作用.培 养学生思维
2

a

b

b

B

c

D

A

交 流 研 讨 辨 析

a b ? ③将欲证的连等式分成两个等式证明,若先证明 , sin A sin B 那么如何将 A、B、a、b 联系起来? ——在两个直角三角形 Rt△BCD 与 Rt△ACD 中,CD 是公共边: 在Rt△BCD中,CD= a sin B , 在Rt△ACD中,CD= b sin A

? a sin B ? b sin A ?

b c ④如何证明 sin B ? sin C ? ——作高线 AE⊥BC,同理可证.

a b ? sin A sin B

①教师提问:还有其他的证明方法吗?在我们所学过的知识中,有没有 什么知识,同时包含长度和三角函数? ——学生联想到平面向量 ②在平面向量中学过哪些知识? ——主要有向量的运算:加法、减法、数乘和数量积运算 ③在向量的这些运算中,哪种运算同时包含有长度和三角函数? ——数量积运算 ④在向量的这些运算中,哪种运算与三角形有关? ——加法和减法满足三角形法则,如:

教 师 启 发 学 生 开 拓 思 维

AB ? BC ? AC

AB ? AC ? CB

AB ? BC ? CA ? 0

⑤这几个式子实质上是相同的,不妨以 AB ? BC ? AC 为例,从这个 式子出发,怎样才能出现同时包含长度和三角函数的式子? ——将式子的两边与某个向量 e 作数量积 AB ? e ? BC ? e ? AC ? e 根据数量积的定 义得:

| AB | ? | e | cos? ? | BC | ? | e | cos? ?| AC | ? | e | cos?
⑥应将式子的两边与什么样的向量作数量积? 教师根据学生的探究情况,适当提示: ①目标是什么?从目标进行分析 a b ? 要证 ,即证a sin B ? b sin A ,即 BC sin B ? AC sin A sin A sin B 与 | AB | ? | e | cos? ? | BC | ? | e | cos? ?| AC | ? | e | cos? 对比, 学 生 自 主 探 究 发现 | AB | ? | e | cos? 不见了!即 应该有cos ? ? 0 那么,所作的向量 e ⊥AB.
B C

灵活广阔性

a
b

e
A

② e 的方向确定了, e 的模如何确定呢? 当向量 e ⊥AB 时, AB ? e ? BC ? e ? AC ? e 可 化 为

| BC | ? | e | cos(

?
2

? B) ?| AC | ? | e | cos(

?
2

? A)





a ? sin B ? b ? sin A ,从而得证.所以, e 的模可以是任意大小(非零).
课 外 探 究 师 生 共 同 总 结

由于学生的 层次不同, 探 究的结果不 尽相同.教师 视察学生探 究情况, 对于 感到困难的 部分学生可 进行适当的 提示.对层次 较高的学生, 给其 “尽显其 能”的机会. 分层教学, 提 高课堂效果.

a b c ? ? 若△ABC 为钝角三角形,证明: sin A sin B sin C
回顾我们刚才证明正弦定理的过程, ①用了什么证明方法? ②分别是如何证明正弦定理的? ——几何法:作三角形的高线,构造直角三角形 ——向量法:作垂直于三角形一边的向量,利用数量积运算

探究的空间 由课堂延伸 到课外. 解题后适时 反思总结, 理 清思维, 加深 理解和认识, 可提高解题 的理论水平

运用定理解决问题 教学过程 定 理 明 晰 定 理 反 思 总 结 ①正弦定理如何表述? ——在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ②表达式反映了什么? ——指出了任意三角形中,各边与对应角的正弦之间的一个关系式 ①我们刚才已经用正弦定理解决三角形中的一类什么问题? ——已知任意两个角和一边,可以求出另一角和另两边 ②用正弦定理还可以解决三角形中的什么问题? ——已知两边和其中一边的对角,可以求出另一边和另两角 设计意图 从形式和内 容进一步让 学生明确正 弦定理所反 映出的规律 通过总结与 思考, 领悟思 想方法, 把握 规律的本质, 提高分析和 解决问题的
3

a b c ? ? sin A sin B sin C

能力. 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.0 , B ?81.8 , a ? 42.9 cm,解三 角形。 解:根据三角形内角和定理,
0 0

C ?1800 ? ( A? B)
例 题 讲 解

?1800 ? (32.00 ?81.80 )
? 66.20 ; 根据正弦定理,

评述: 对 于解三角形 中的复杂运 算可使用计 算器。

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

变 式 练 习

点拨: 基本方 法是化边为 角或化角为 解: ? c ? 10, A ? 450 , C ? 300 ∴B ? 1800 ? ( A ? C) ? 1050 [来 边. 基本思路 是寻求边与 a c c sin A 10 ? sin 450 边之间的数 ? a? ? ? 10 2 由 得 sin A sin C sin C sin 300 量关系, 或求 b c 出 角 的 大 ? 由 小. 常用正弦 sin B sin C 定理进行代 c sin B 10 ? sin1050 0 换, 找出三角 ? ? 20sin 75 得b ? sin C sin 300 形的边、 角关 系, 然后作出 6? 2 判断 ? 20 ? ?5 6?5 2 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求a, b和B

4

例 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形 (角度精确到 10 ,边长精确到 1cm) 。 解:根据正弦定理,

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 易 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. 误 ⑴ 当 B ? 640 时, sin B ?
题 讲 解

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,
c? a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

应注意已知 两边和其中 一边的对角 解三角形时, 可能有两解 的情形。

⑵ 当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ,

4

c?

a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

2、 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

解:? 变 式 训 练

a c c sin A 6 ? sin 450 3 ? ,? sin C ? ? ? sin A sin C a 2 2
0 0

思路点拨: 利 用正弦定理 解三角形, 此

? c sin A ? a ? c,?C ? 60 或120
0 0

类问题有时 有一解, 有时 有两解, 有时 无解, 一定把

c sin B 6 sin 750 ?当C ? 60 时,B ? 75 , b ? ? ? 3 ? 1, sin C sin 600 ?当C ? 1200 时,B ? 150 , b ? c sin B 6 sin 15 ? ? 3 ?1 sin C sin 600
0

握准确。

?b ? 3 ? 1, B ? 750 , C ? 600 或 b ? 3 ? 1, B ? 150 , C ? 1200
课 堂 练 习 充分利用课 本资源; 简单 应用正弦定 理.

课本第 5 页练习:1.(2) ,

2.(2)

课 堂 反 思 小 结

通过这节课的研讨,请大家谈谈自己的体会. (1)在这节课中,学习了哪些知识? ①正弦定理及其发现和证明 ②正弦定理的初步应用 (2)包含了哪些数学思想和数学方法? ①运用从特殊到一般,一般到特殊的转化思想 ②运用方程的思想 ③运用“观察、猜想、实验、 证明”解决问题的方法 ④运用向量的方法 (1)课后探究: ①类比 Rt△ABC 中的式子

通过反思, 深 化学生知识 理解、 完善学 生认知结构.

a b c ? ? ?c sin A sin B sin C a b c ? ? 猜想在任意三角形 ABC 中,比值 sin A sin B sin C 课
后 作 业 并证 明你的结论. ②在△ABC 中,求证 S ?ABC ?

??

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

(2)课后习题: ①课本第 5 页练习:2.(1) ②通过上题,你认为在解三角形时,什么时候会出 现两个解? 【板书设计】

“课后探究” 中的两个题 回答了课本 第 3 页中的 问题 “是否可 以用其它方 法证明正弦 定理?” “课后习题” 让学生探讨 解的个数问 题, 为下节课 作准备.

5

课题 一、实例引入 二、观察特例 提 出猜想

三、几何法 四、向量法

五、正弦定理 六、简单应用

七、课堂小结 八、课后作业

教学反思 通过本节课的学习,结合教学目标,从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结 果: 1、学生对于正弦定理的发 现、证明正弦 定理的几何法、正弦定理的简单应用,能够很 轻松地掌握;在证明正弦定理的向量法方面,估计有少部分学生还会有一定的困惑,需要在 以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。 2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高,能领悟一些基本的数学思想方法;但由 于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯,对问题的认识会不周全,良好的数学素养的 形成有待于进一步提高。 3、由于学生的层次不同,体验与认识有所不同。对层次 较高的学生,还应引导其形成 更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度;基础较差的学生,由于不善表达,参与性较差, 还应多关注,鼓励,培养他们的学习兴趣,多找些机会让其体验成功。

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