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数学奥林匹克高中训练题










# 数 学 奥 林 卫 克 高 中 训 练题 !?

一 选择 题 ? 每 小题



#

若 % ? 知( ) ? 知

?

?

r />,

&

是不大 于

的非 负整数 则
#

,

,

+ ,

表示不 同的椭圆有 !
!? # ? 2
,

分 共 ? 分& %
,

?

? ? + %
?



.

且 若 ) 则正 实 数 .
, , ,

(

?

(
,

一 ‘

?

% ? + ,


? ‘

,

!? # . /

?

!0 # . 1

!3 #. /

?

,

之 间 的 关 系适 合
? &. ? ,

& ?! &. )
2
,


?/ &. 0 ,
,

二 填 空 题 !每 小 题 4 分 共 5 分 # , 已 知 集合 6 + /7 89 ) , 簇 7 : ( 一 , 8 9 是 集 合 ; 一 /7 一 ( 落 7 镇 4 的 子 集 则 9 的 , 8
?

? 1 & 不 能确 定



(

有关
4.
.
,

值 域为
(
?

若 3

?.
,

& 一

(

尹?

( ?
,

,

4
5
,

为非 零 实 常
,

在 △? 0 ? 的 三
尸,


数 & 存 在两 个 不 等 的 虚 根

? 3
?

.

2

& 一 。任 6

使3? . 则 护 十 7 ( 与 零 的 关系 适 合 ’
.
; ? / & 4 ? 7( < Β %

&一

边 上分别取 点
8
8
?
,

,

尸2
,

,

<



=


>尸

89
8
‘,

,

8

: ,

,

&
; < ? ! &4 ? 7( ) =

8

么 ! 在 ?在

。,

? ,

使 上
,

8



孑声



5

,


8
;

# ,

8 8
Α
,

。 ,

! /

?
?

, &4 ? 7( < ? %

?1 & 1


不能确定



,

? ,

8
,

…在 /
?

上 且
7 ,

,

! 尸, 一 ! 8
#
,

; ,

长方 体
, 5

! /
,

/ 8

一/ 尸
,
?

?

尸 一



! 尸 0 ! 尸


,

/ 尸 0


一!
0 2

>

/

1






! /

/ 尸。

… 则

; Χ 。。鑫 Δ8 尸 Δ一
,

?
> Χ ?
2

了厄
&

0

,

! 1



了?币

通 过点 Ν ? ?

?&

的 直 线 与坐 标 轴 所 围
?


?

!

的取 值 范 围 是 了?万一 2 了 万?
0

了一


介多几


成的三角形 面积等于 条
7

这 样的直 线有
Ο 一

?!&

!

拓 ,

若 自然 数

,5



Ο

之 间的 函 数 关 系


3 ? & 由等式 Χ
2 ? Χ? +? +2 ? … ? +


? # ? & ? ! / ?
?

& 一 Ο ?Ο ? ? &
Π

? ? 了Ε万
0

2

护厄
?
,

& ?? ! ? # ? 1 & 丫 下 2 了 厄? ! 丁 一
7

确 定 则 3 ? 的 的表达式 为 # 将 正 方 体 的八 个 顶 点两 两 连 线 其 中
,

月万?
;

2



厂乏



已知 ! ? (
Φ?

,

(



& / ?4 4 & ?( 护4 &两 点的
,
,

成 异面直 线的有 对 Α 有 一 批零 件 其直径 最小 为 ? Θ Θ 2
,

Π
Ι

,

,



坐 标 满足
( ;Φ ?Γ ( Η Ι Φ Ι Φ

大为
夕一 ?

?2

ΦΘ Θ

若 从 中 任意 抽取
%

.

个零 件 的直 径 之差 小 于 小值 为
?

Γ Χ


Χ

Θ

,

个 都有 2 则 的最
,

4



Χ ?3 夕十 4 Η

夕 ? Β

记 原 点到 直 线 适合 ?
&
?! & ? ) Χ

!/

的 距离 为
?/ &? Β Χ
,


?

?

的取值
(

三 ?2 %


分&
,

棱长为

&? ? Χ

!

>

的 正 方 体 !/ 1 一 / 1 中 Ρ 是正方
, >

,

? 1 & 不能确 定 与
#


(

,

4
,

的 取 值有 关 为 公 比 ? ? Λ引 ? %
Μ

( 等 比 数列 毛 Δ中

Κ


的中心 Σ 是正 方形 / / 的中

,
,

! ! >/ /



,



,

& ?

,

Φ
,



为前

, 5

项和 Φ 一
,



Φ

,

则下列 命 题



中 正确 的是 ?
?! &: ?

&



心 ; 在对 角线 / 1 上 且 1 ; 0 ?Τ / 求 过 Ρ Σ
,

,

,

;

的截面面 积

一:?Χ一
,

&

?/ &(

一:??一

&


不 夕一 .



? 2% 分 & 若 双 曲 线 犷 一 尹 一 ? 与
,

( &



单 调减 少趋于零 单调 减少趋 于 #

?1 &:

尹一 ?. 十 2

一, ? ? 一 Ο 有 唯一的公 共点



Ο

的所

,?? ?

年 第
?


9

Α

有可 取值


了(

) Φ刃一‘一 Χ
,

五 !( 分 # 定 义 在 # !



Β

Χ

上 的 函 数 Δ !二 #

的 两 个虚 根 有判 别 式 小 于
:
5
?



?

即 护)

?9 ’

满足

2

!, #

存在
2

9

Β Ε 使 = !、 、笋 。
,


?

?
八? 一 0 , 3
,
,

! ( #对


任意 的实 数
,

Φ

,




Δ !二 # 一 Φ !二 # Δ


?

显然
,

而 △? 0 3
,
Ι

,

为锐 角 三
?0

求证 对于 Γ !二 一 Ε # Δ !


有不 等式 二 十 , 二 # : Η = ! #二
(

Β

(

,

角形 充 要 条 件 为

?

丫32
?

一? 2

2: 0 3 :
1

了 3 2)
?

2

?


一 !





0?



: ?? :
?
?

4

?

0
, ,

4

分 # 在 △?
,



,

? 3
?

,

0 ?

,



已 知 表 明 ? 0 在 单 位 圆 中 过 点 !? Μ
Ν

Ν



,

& Ο

分别是边
,

召?

??

,

? 0
,

上 的高 若

?? ) ? Κ
?

的的切线
?

7

Μ ?
,

Ν

夕 升Π Μ Ο 夕一 , &


上 由两 点 确
? 0
,

?

+ 0? 0 3 ) 0Κ 一??

?3 ) ?? 一 ? 0

定一 条直 线 知 上 述切 线 就是 直 线
汀一 ,
4 ?


恒有

求证
2

2

△?

方?

是正 三角形


?


购 铅笔
?

!4

4,

分 # 批零 兼 营 的 文 具 店 规 定 凡 支 以 上 !包 括 4 # 按 批 发 价 结 算 ,
,

由 Ν 一 1 鱼一 知
,

而购 铅 笔 4 支 以 下 ! 包括 4 5 按 零 售 价 结 5 # 算 批 发 价 每 购 ! 支 比 零 售 购 5 支 降价 , #
?

9

?

Ι 一! !Ε 一 Θ #



Ε一Θ

一 Ρ !Ε 一 Θ #


?

元 现有 班长 小王 同学 来购铅笔 若给 全 班 每
人买
!%
,

,

,

,#

,

支 则 必 须 按 零 售 价结 算 需 用 % 元
, ,

?

食的 取 值 共 有 四 个
?

2

,

,

,

,4

,

(5

,

问题 转
,

为正 整数 # 但 若 多买 , 支 则可按批发 价 5
2

化为从 故有
尸2

个 不同元 素中 任取
? ?

(

个 的排 列 数

结算 恰好也是用 少学 生 Λ


%

元 问 小 王 班 上 共有 多

?

个不 同的椭 圆
,





!9 89 簇 8
2
,

三 在时钟的表盘上 作
?

6 里 ; 有 两 种 情况
!, #6 + 必 即 !( 6 共 必 则 #
,

水Μ 个 工 # 的扇形 每 一 个都 ? 个数 字 每 两 个覆 盖 覆盖
,
,

9

) Ε # ?9 一 , 得
,

9

毛(

?

的 数 字 不 全相 同 求 证 一 定 可以找到 个扇 形 恰 好 覆 盖整个表 盘
?

?

2

,


Ω“

/9 十 Ε # 一 ( (。 一 , 蕊 4
,

,

冷 (:

9

‘?

) , : ?9 一 Ε
9

举 一 个反 例 说 明 作
二 」 述性 质
?

,

?

个扇 形 将 不 具有

合并 得
(
?



?

5

作 △?

0?
?

参 考 答 案
第 一只 由Σ
?

证得
5
?



,

一 。

。 二尸

的 内切 圆 由 切 线 长 的 性 质 可 。 ? 一. + 从而 尸 得. 尸
,

,

2 ? 。,

,

, 。, ?

下面 用复数 来处理 建 立 复 平 面 并 以 每 一 点上 的 字 母 为 该
, ,

?





点的 复数 有
. 一 ? 一 亡 乃 !尸 、 一 ? #
?




,

?
#一
?

.、
9




月一
,

尸 !. 一 ? #


1

?

!二




5 , ?
?





为 减 函 数 知 Δ !二 #
,

相减

,

<



一尸 + 尸 ! Ι


, 1

, 一尸 # ?


: Δ 勺#》
9


选 八 田 已 知有 另解
2

2

# 夕

同理 八

?



.



一 ‘ 几 !.
#

一 尸(

#

,



尸‘月 一 “、


. !

?

一. #
#

灯9



5 , ?
?



”7 Β Π ! Τ 了 叹 了冷 Υ Β 丛



尸Α 一 尸 ‘ 一 声 !. 。 一 .





一 一

尸 !月 ‘ 刀 一 ? #

, , !. 一 . #
?

( 〔


Ξ”

、 , 、 ? !. 一 . # 一 一 !. 一 . #

山已 知得

Υ ?

、,



2

是实 系数二 次方程



尸 一几

Α

?




,


,


,

同理 尸 由 知 得

,

?

,



一 尸二
Ψ
?

,??? +

() (

,

连 ]Ρ 求 的截 面
?

,

则矩 形

尸Χ ] Ρ

过 Ψ




?

为所
+
,

尸2 ”1 一 尸(

8.
?

?

.

2 。。?

8+

〔 #

?

这时
丫万


,

.∴ +

一下

厂 丁9
_

?
,

? 9
,

?

,



?





叼找 +



Ε 田

?

悦为

?
,

2

通 过 点 ; !, Ε # 的直 线 设 为
十 , 它 与坐 标 轴 的交 点 为 尸 ! 5
, ,

Π

Ζ [ !7 一 , #
,



_





Ε一 [# ∴

Ε !

四 由 [+


沈/Π




,

5#

?

贝 Σ△
, 二
二_ 二

. ; ∴ 的面积 满足
,

一7 一Π 8 Ε 了一 7 ) (
一 一

!7 一 , # !少 一 , #
!7 一 , # !7 一 ( #



α

+



/,

,

?



走 Ε /,



不厂







,

7


Π

,

时 有
?

,

得 两 条关 于

的 二 次方 程 [ ’一 Ν[ ) , + 5 有 两 个 正 根 1
,

[

一 Ε + [ !7 一 ( #
,

代入 双 曲线 方 程 得
? ? 一 ! # ? 一 ? ! % 一 ?! #

[ 忍十 ? [ ) , + 。 [



?
?
?

有两 个 负根 个 取 值对 应 着 ? 条 过 ; 的 直 线


,

?

?

一 &! ! 一 #

?

? (

)

?
+

+ α

& 戈 少+



,

,



?
_

两 曲线有唯一 的公共 点有三 种情 况
# 方 程 ? 中 的二 次 项 为
一(
,

Σ 万气 一 乙

, #

,

,


,

一对

由 已知 有
[ ![ ) , # 一
左+
?



,

! ?
,

,

相应 的 公 共 点 为 (
,



? # ?! 一

( !? 一 , #


?

一,
(



) ,



?一 Ε
下 丁 又Σ



,

相应 的公共 点为
/ # 二 次 方程
( 一 △ ? &! /



二,



,

,

,







,

,

) # 亏言
, ,

&

.



& Ι 气 少+

,

,

,

?




一,





? 有 等 根 判 别式 为
’ 一! # 0
)

) (

1! ! 一 % #

一! #
?
,

4 (,5

2 &! 3! 一 & #
?
,

个 顶 点 中 四 点 共 面 的有 个表 面 个 对 角 面 共 , 种 情况 因 而 任 取 ( ? 个 可 组 成 侧 一 , ( 个 三 棱 锥 每个 棱 锥 有

?

正方 体 的




4 ‘一。

,

相 应 的 公共 点 为



。, ‘,

?

!

,




,

,

‘ 。

,



,

5

,



对异 面直线 共 得
?

,

!? 1 一 , ( 对 异 面 直 线 #

?

4(
?

( ( 将 , 至 , 取
&
,
?

Ν% %

之 间的 线 段
,

) , 件 则至 少有 (

等分 若 件 其 直径 之差 落 在
5
?

&

?

应 的公共 点为 一 于 一荟 # , 一 4 4 一 。 4 # 二 次 方 程 ? 有 两 个 不 相 等的 实 根 但 其中 一 个 公 共 点 的横 坐 标 为 ? ?
,



5

,

,

&

.


)

6 ,





7









8

)


?

?

? %

代入 ?
)

,


#一(

,

同 等 分 区 间 内 由 些丝肚卫 :
45
,

, 5

,





Β

? 一 ! # 一 ?! % 一 ? ! # 一 &! ! 一

得最小 的


&

+ 4,

?

即 ! 一 ?! 一 ? ( 解 得 ! 一 丰 了万 相 应 公 共 点 为 /
3
8

,

7





,

三 首 先 要 找 出截

?
?

# 4
4#
)

?

!1 一





7

百 相 应 公 共 点 为 一 / 沂了
,

,


Ι ,

Ψ

,

?

在 面
,
, ,

00 ? ?

?

上的 射影 Ψ

综 上得 ! 有
,

1
,

个取 值 二
9 下+
?

+

两 平行 直线 ?了 Ψ Ψ 可确 定一个 平面


,




,

:

,

下厂 沙

&

,

7 , 二8







,









连 Ψ? 连
;;
,

,

, , Ψ ? 相交于 Χ

,
?

则 Χ 在面
Χ⊥
Ε

0 0 Ι ? 、? 0 ?
?


,

?

五 取ΧΔ Ε ? #一Ε
,

# 使 Ε Χ 共。 对
Χ ,(
‘? ‘

?
?

Δ / 有
, ,

# 二Ε
Χ Χ

Χ

#
?
?

(

Φ ?












马?
,

于 4 由于 Ψ 是 的 中 点 ? < ? 4/ ;
,

同理 Ε Ε
,

二一 ? ?

# 一Ε
?

# #

(
(

Φ Φ



一 #

0 %#? Ε




0 %# 平 %#

,

飞 点 从而 > 为 马<
,

故知 = 为 的 中 点 连 尸? 交

)
)

;< ?;







Ε
Χ

一% Ε #

十#
Χ

? 则 , 为 ? ; 的中 点 , 、 连 ?Α 交 ? ; 于 Β

’ ( Γ Ε 〔 # 〕 Φ ? 一 9# % Η / ? 二 , + + 鱼业? 创 Ι 竺

?

Ε ?

愧堕世 些
二 /





,



Β



? +;

,

的中

。 二,



,

, 「

(



)

2

Ε 〔 以

Χ



# 曰 ‘ 理丝决 Κ ?


Φ



?

,

/



一 %#

Κ





,

? ??

年 第
(


7

( : 2 , !。 #2 2 Τ旦 ‘2 导

得 由
(
?

Ζ 一 4 十 了( 4 十 Χ5 %
4)
5 Μ% #为完全

,



Ζ

Δ 「!

9

#,5 ?





β

(

Ζ

Η Δ !二 # β

( !
?5
?

平方 数

?

: 一 4 ) 了( 4 )
,
?

5 5。 簇 4 5

,





妻 匕0


妻之? ?
,



4 : 言 %蕊 &

,

?
?

当 。一 一 不妨 设乙?
?

. 时 / 0
,
,

1( Ν

不是 完全平 方
)

首先 证 明 △ ?
证 匕? 为锐 角
!, #

0 ? 必 为 锐 角 三 角形

数 舍去
只须


,

)

当 Ν 一. 时 三 证明
% Χ


?

?

( . 即 为所 求

若匕? 为 直角 则
,

?

取 所 作扇 形 所 覆 盖 的 第 一
Χ ,
) Φ
,



?

,

Κ

重合 与
?

,

? ? ) ?Κ

个 数 字 均 按 顺 时 针 方 向计 算 # 记 为

,


?

一0 ?

矛盾

( ! # 若乙 ? 为 钝 角 则
,

?

由 各个 扇 形 覆 盖 的 数 字 不 全 相 同 知 上 述
)

Φ



??
?

的延 长线 上

,

Κ



0 ?

的 延 长 线 上 !如

个 数字 互 不 相 同 因 此 钟 面 上 的 / 个 数 字
,

图 # 由垂 线 段 最 短 知
0 ?

中 还有
Χ
, 。


,

4
Χ

个不 在
Χ , /
?

中 记为

,

, , ,

Β ?? 一?

? ) ? ? Β ? ? 十? Κ

?

?
中必存在 一个数
&
Χ


这与 0 ? +

? ? 十? Κ
,

矛盾

?

这样 在
?

,

簇Π蕊
,

故匕? 为锐 角 △? 0 ? 为锐 角三角 形 下面 证 明△?
之? +
Φ
?

Φ#

,

使
Χ

Χ



关 于模
Χ ‘ , 0
?
,
? ,


,

Χ

%。

,

Χ

%,

,

Χ

/

均不 同余 这

0?

必 为正三 角形 只须证
χ

,

时 数组
, ,

Χ ,十+
.
,

Χ
1

,

二 4

5



?

#

,

Χ ‘0

Χ 5 Χ
/


Χ

?



,

Χ Χ

‘ Θ 0

设 △?


0?

的三边为
?

9

?

#

,

9 ! 为 乙? 的 对 边 #



由大 边 对 大 角 知
9


?

Χ

‘十 。 ,

,

Φ ,

Χ

、 , 。 , 0

、、

#

?

Ρ 其中Χ

,

一Χ #
,

所对 应 的 三 个 扇 形 恰 好 盖 住
)

? 岁Φ 妻?

了钟面上 的 / 个 数字 又 由
么0
?
,

Χ



的取 法知

,

Χ

、?

,

Π Χ



,



由 △? 0 ?
Μ Ν

为锐角 三角形 知
,

均 不属 于 ?
Φ

,

即其所对应 的
)

4

个 扇形 属于 已 作 的那

个 扇形
Χ
0 4 0

? ? 一?

?

? Κ+ Φ ?
9
,

Μ Ν

?

代入

于是

? ? ) ? Κ + 0 ?一

? Χ Ρ 了,
?


证明
? 一


/

符 合 条 件的 扇 形 共 可 作 / 个
,

+



+

下二




— ?


多二
5
?

+

乙9





,

ΣΧ
,

,

Χ
,

‘、 ,

,

Χ ,5

/ ,



Τ
/

,







其中 Π 一

% /

,



,

/

,

Ρ 且 Χ


+

Χ ,

,

% 簇 Ρ簇 / )

,

之? 落5
匕;

将这 / 个 扇形 分成 四 组

从而

毛1 (

” ,

? Λ
)

第 一组

?

,

,

?

> ,

? ? ? ?



?

岌< 镇 1 (

) (

第二 组
第三 组

?
? ?

? ,

?
?

‘ ,

、 。

?
?
)

相加
△?
;<


Μ ( ? 匕? 0 匕; 0 艺< 镇 Μ (

4

,

Θ

,

, ,

所 以

,

,

?

,

Λ 式 都应 取 等 号
)

)


,

第 四组

‘,

?

+

,

%+

为 等边 三 角 形
?

每 一 组 都 能 覆 盖 整 个 表 盘 当 任作
,

)

Φ

个 扇形
,

二 设 全班 有
为竺元 批发 价为
1 (Ν

,

个 学 生 则铅 笔 零 售 价

时 相 当 于 从上 述
一 & Α /0
,

&

组 中取 出
4

Φ

个元素 由
)

Φ
,

1(Ν
Ο


)

1元 依题意 有方 程
?

知 必存 在

个元 素 属 于 同 一 组
罗增 擒

这 同一组 的三个 扇形 便覆 盖了整 个钟 面
侠 西 师 范大 学
,

十 (

提供#

即 其中

?

?

十 (? 一 1(( 。2 ,

( & Ι



镇. (


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