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导数、复数


第十二讲

导数及其应用和数系的扩充与复数
导数及其应用(1)

一、考试要求 内容 等级要求
[来源:学.科.网 Z.X.X.K][来源:Z|xx|k.Com][来源:学。科。网 Z。X。X。K]

A √

B √ √

C

导数的概念 导数及其应用 二、考点回顾 1、 函数 f (x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为 导数的几何意义 导数的运算

; (导数的背景:切线的斜率、瞬时速度、边际成本)

2、

定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 上有定义, x0 ? (a, b), 当 ?x 无限趋近于 0 时比值

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 无 限趋近于一个常数 A,则称 f (x) 在点 x ? x0 处可导,并称该常数 A 为函数 f (x) 在点 x ? x0 处的 ? ?x ?x
导数,记作 f ?( x0 ) . 注: (1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有 一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条 ; (2)导数 f ?( x0 ) 的几何意义就是曲线 y ? f ( x)

( 在点 x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率.
若 f (x) 对于区间 ?a, b ? 内的任一点都可导,则 f (x) 在各点的导数也随着自变量 x 的函数,该函数称为 f (x) 的导函数,

3、

记作 f ?(x) .

① v(t ) ? s ?(t ) 表示瞬时速度; a(t ) ? v?(t ) 表示瞬时加速度;②在经济学中,生产 x 件产品的成本称为成本函数,记为 C(x) ; 出售 x 件产品的收益称为收益函数,记为 R(x) R(x) C(x) ; — 称为利润函数,记为 P(x) ;相应地 C ?(x)R?(x)P( x) , ,

分别称为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数. C(x) x ? a 处的与导数 C ?(a) 称为生产规模为 a 时的边际成本值; 在 ③ f ?(x) 与 f ?( x0 ) 是不同的概念: f ?( x0 ) 是一个常数, f ?(x) 是一个函数 ; f ?( x0 ) 是 f ?(x) 在 x ? x0 处的函数值

4、

基本初等函数求导公式
?

幂函数: x )? ( ? 指数函数: ( a ) ? ?
x

( ? 为常数) ( a >0, 且 a ? 1 ) 特例: (e )? ?
x

对数函数: (log a x)? ?

? ( a >0,且 a ? 1 ) 特例: ln x)? (

1/4

正弦函数: (sin x)? ?

余弦函数: (cos x)? ?

导数及其应用(2)
一、考试要求 内容 导数及其 应用 二、考点回顾 (1)导数与函数的单调性:若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数;若 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 为常数函数;若 f ?( x) 的符号不确定,则 f ( x) 不是单调函数. 导数的运算 利用导数研究函数的单调性和 极值 导数在实际问题中的应用 等级要求 A B √ √ √ C

(2)利用导数求函数单调区间的步骤:①求 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根,设为 x1 , x2 ,? xn ;③ x1 , x2 ,? xn 将给定区间分 成 n+1 个子区间,再在每一个子区间内判断 f ?( x) 的符号,由此确定每一子区间的单调性.

(3)求函数 y ? f ( x) 在某个区间上的极值的步骤: (i)求导数 f ?( x) ; (ii)求方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 ; (iii)检查 f ?( x) 在方程

f ?( x) ? 0 的根 x0 的左右的符号:”左正右负” ? f ( x) 在 x0 处取极大值;”左负右正” ? f ( x) 在 x0 处取极小值.
特别提醒:① x0 是极 值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为极值点的必要而不充分 条件.②给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检验”左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有 用完,这一点一定要切记! (4)求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b ]上的最大值与最小值的步骤:①求函数 y ? f ( x) 在( a, b )内的极值;②将 y ? f ( x) 的各极值 与 f (a ) , f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 特别注意:①利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时,要注意列表!②要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极 值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关问题. (5)导数的三大应用: ①求斜率:在曲线的某点有切线,则求导后把横坐标代进去,则为其切线的斜 率; ②有关极值:就是某处有极值,则把它代入其导数,则为 0 ; ③单调性的判断: f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递增; f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递减,和一些常见的导数的求法.

2/4

数系的扩充与复数

一. 复数的定义 1. 复数的定义:形如 复数集,用字母 C 表示。 说明 (1)虚数单位 : (1)它的平方等于-1,即 有加、乘运算律仍然成立。 (2) 与-1的关系: (3) 的周期性:
4n+1

的数叫复数, 叫复数的实部, 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做

; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原

就是-1的一个平方根,即方程 x2=-1的一个根,方程 x2=-1的另一个根是- 。 =i,
4n+2

=-1,

4n+3

=-i,

4n

=1。 ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复

(4)复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 数的代数形式。 (5)复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数

,当且仅当 b=0时,复数 a+bi(a、b

∈R)是实数 a;当 b≠0时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0且 b≠0时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b =0时,z 就是实数0。 (6)复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C。 (7)两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。即:如果 a, b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di a=c,b=d。 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小。只有当 两个复数不全是实数时才不能比较大小。 二. 复数的四则运算 1. 复数 z1与 z2的加法法则:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1。 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 。 2. 复数 z1与 z2的减法法则:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。 3. 乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi) c+di)=(ac-bd) ( +(bc+ad)i。 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并。 两个复数的积仍然是一个复数。 乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 4. 复数除法定义:满足(c+di) (x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+ di 的商,记为: (a+bi) (c+di)或者 三. 复数的几何意义 复平面、实轴、虚轴:
3/4

点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0) 它所确定的复数是 z=0+0i=0表示是 , 实数。故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数 复平面内的点

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数 和它对应。 这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。

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