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2012年数学一轮复习精品试题第十、十一模块 概率与统计 算法初步、数系的扩充与


2012 年数学一轮复习精品试题

第十、 算法初步、 第十、十一模块 概率与统计 算法初步、数系的扩充与 复数的引入
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 选择题: 只有一项是符合题目要求的. 只有一项是符合题目要求的. 1.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、 .先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子 它们的六个面分别标有点数 、 、 、 、 、 6),骰子朝上的面的点数分别为 x、y,则 log2xy=1 的概率为 , 、 , = 的概率为( 1 A. 6 B. 5 36 1 C. 12 1 D. 2 )

3 1 解析: 解析:满足 log2xy=1,即 y=2x,其结果有 = , = ,其结果有(1,2),(2,4),(3,6)3 种,即概率为36=12. , , 故选 C. 答案: 答案:C 2.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中有青年职工 160 人,中年职工人数是老年 .某单位共有老、 为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查, 职工人数的 2 倍,为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中 则该样本中的老年职工人数为( 有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 A.9 B.18 C.27 D.36 . . . . 解析: 解析:设老年职工有 x 人,则中年职工有 2x 人, ∴3x+160=430,x=90, + = , = , 32 = , 又由160×90=18,故选 B. 答案: 答案:B 3.有一段长为 11 米的木棍,现要剪成两段,每段不小于 3 米的概率是 . 米的木棍,现要剪成两段, 米的概率是( 3 A. 11 5 B. 11 C. 7 9 D. 11 11 ) )

解析: 解析:记“剪得两段都不小于 3 米”为事件 A,从木棍的两端各度量出 3 米,这样中 , 米长的木棍上, 任何一个位置剪都满足条件, 间就有 11-3-3=5(米), - - = 米, 在中间的 5 米长的木棍上, 任何一个位置剪都满足条件, 所以 P(A) 11-3-3 5 - - = 11 =11.故选 B. 故选 答案: 答案:B 4.(2010·山东日照检测 . 山东日照检测)10 件产品中,有 4 件二等品,从中任取 2 件,则抽不到二等品 产品中, 件二等品, 山东日照检测 的概率为( 的概率为 2 A. 5 3 B. 5 ) 2 1 C. D. 3 3

解析:从总体 10 件产品中任取 2 件的方法有 45 种,从 6 件非二等品中任取 2 件的方 解析: 15 1 法有 15 种,因此 P=45=3. =
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答案: 答案:D 5.鲁北化工厂为预测某产品的回收率 y,需要研究它和原料的有效成分含量 x 之间的 . ,
2 相关关系. 对观测值,经计算得: 相关关系.现取了 8 对观测值,经计算得: ∑xi=52, ∑yi=228, ∑xi =478, ∑xiyi=1849, , , , , i=1 i=1 i=1 i=1 8 8 8 8

的回归方程为( 则 y 与 x 的回归方程为

)

^ ^ A.y =2.62x+11.47 B.y =2.62x-11.47 + - ^ ^ C.y =11.47x+2.62 D.y =- =-2.62x+11.47 + + ^ 解析: 解析:将所给数据代入公式可计算出 a,b 的值分别为 11.47 和 2.62,再代入 =bx+a , ,再代入y + 可得. 可得. 答案: 答案:A 6.甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示,则下列结论正 . 次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示, 确的是( 确的是 )

- - A. x 甲< x 乙;乙比甲稳定 - - B. x 甲> x 乙;甲比乙稳定 - - C. x 甲> x 乙;乙比甲稳定 - - D. x 甲< x 乙;甲比乙稳定 - - 2 2 解析: 解析: x 甲=81, x 乙=86.8,很明显 s甲>s乙,故选 A. , , 答案: 答案:A - 的程序框图, 7.(2010·陕西 如图是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 x 的程序框图,图中空白框中应填 . 陕西)如图是求样本 陕西 入的内容为( 入的内容为 )

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A.S=S+xn . = + xn B.S=S+ . = + n C.S=S+n . = + 1 D.S=S+ . = + n - 解析: 解析:根据题意可知该框图的算法功能是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 x ,要求平均 - 须先求和, 数 x 须先求和,观察框图执行框里面应填充求和变量关系 S=S+xn,故选 A. = + 答案: 答案:A 8.(2010·浙江 某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为 . 浙江)某程序框图如图所示 浙江 某程序框图如图所示, = ,则判断框内为( )

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A.k>4? . C.k>6? .

B.k>5? . D.k>7? .

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解析:第一次执行后, = , = + = ;第二次执行后, = , = + = ; 解析:第一次执行后,k=2,S=2+2=4;第二次执行后,k=3,S=8+3=11;第三 次执行后, = , = + = ;第四次执行后, = , = + = ,此时结束循环, 次执行后,k=4,S=22+4=26;第四次执行后,k=5,S=52+5=57,此时结束循环, 故判断框中填 k>4? 答案:A 答案: 9.(2010·抚顺六校第二模拟 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,其中可以输 . 抚顺六校第二模拟)某程序框图如图所示 抚顺六校第二模拟 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数, 出的函数是( 出的函数是 )

A.f(x)=x2 . = C.f(x)=lnx+2x-6 . = + -

1 B.f(x)= . = x D.f(x)=sinx . =

解析:第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数, 解析:第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数,第二个判断框的目的是 判断输入的函数是否存在零点.结合选项知, 为奇函数,且存在零点, 判断输入的函数是否存在零点.结合选项知,函数 f(x)=sinx 为奇函数,且存在零点,故选 数是否存在零点 = D. 答案: 答案:D 10.(2010·惠州第三次调研 在复平面内,复数 z=cos3+isin3(i 是虚数单位 对应的点位 . 惠州第三次调研)在复平面内 是虚数单位)对应的点位 惠州第三次调研 在复平面内, = + 于( ) A.第一象限 B.第二象限 . . C.第三象限 D.第四象限 . . π 解析: 在第二象限, 解析:因为2<3<π,所以 cos3<0,sin3>0,故点 , , ,故点(cos3,sin3)在第二象限,即复数 z=cos3 , 在第二象限 = 对应的点位于第二象限. +isin3 对应的点位于第二象限. 答案: 答案:B y+3i + (x,y∈R,i 为虚数单位 是实数,则实数 是实数, 11.(2010·皖南八校第二次联考 若 z= . 皖南八校第二次联考)若 = , ∈ , 为虚数单位)是实数 皖南八校第二次联考 1+xi +

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xy 的值为 的值为(

) C.0 D. 3 .

A.3 B.- . .-3 .-

y+3i (y+3i)(1-xi) + + - 解析: = 解析:∵z= = 1+xi (1+xi)(1-xi) + - + (y+3x)+(3-xy)i + + - 为实数, = 为实数, 1+x2 + 3-xy - =0,∴xy=3,故选 A. ∴ , = , 1+x2 + 答案: 答案:A 12.(2010·福州质检 已知 b 是实数,i 是虚数单位,若复数 +bi)(2+i)对应的点在实轴 . 福州质检)已知 是实数, 是虚数单位,若复数(1+ 福州质检 + 对应的点在实轴 上,则 b=( = ) D.2 .

1 1 A.- B. C.- .- .-2 .- 2 2

解析: 复数 + 对应的点在实轴上, 解析:∵复数(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i 对应的点在实轴上, + = - + + 1 ∴1+2b=0,∴b=-2. + = , =- 答案: 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上. 填空题: 小题, 把答案填在题中的横线上. 13.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为 P 点的坐标,则点 P 落在圆 x2+ . 点的坐标, 、 y2=16 内的概率是 内的概率是________. . 解析: 以 内的点有(1,1), 解析: 2 颗骰子的点数作为 P 点的坐标有 36 个, 其中落在圆 x2+y2=16 内的点有 , 8 2 (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共 8 个.于是所求概率为 P= = . , , , , , , 共 =36 9 2 答案: 答案:9 14.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如 .某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况, 下表: 下表: 专业 性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为 了 判 断 主 修 统 计 专 业 是 否 与 性 别 有 关 系 , 根 据 表 中 的 数 据 , 得 到 K2 = 50×(13×20-10×7)2 × × - × ≈4.844 23×27×20×30 × × × 因为 K2≥3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ,所以判定主修统计专业与性别有关系, ________. .
2 解析: , 解析:当 K ≥3.841 时,查表可知统计专业与性别无关系的可信度为 0.05,所以判定它

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们有关系出错的可能性为 5%. 答案: 答案:5% 15.(2010·江苏 如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 . 江苏)如图是一个算法流程图 的值是________. 江苏 如图是一个算法流程图, .

解析:由算法流程图知, 解析:由算法流程图知,当 n=1 时,S=1+21=3;当 n=2 时,S=3+22=7;当 n= = = + ; = = + ; = 3 时,S=7+23=15;当 n=4 时,S=15+24=31;当 n=5 时,S=31+25=63>33,循环 = + ; = = + ; = = + , 结束,故输出的 S 的值是 63. 答案: 答案:63 1-i 1+i - + (i 为虚数单位 为实数,则实数 m= 为虚数单位)为实数 为实数, 16.(2010·深圳第一次调研 若复数 z= . 深圳第一次调研)若复数 = +m· = 深圳第一次调研 1+i 1-i + - ________. 1+i 1-i (1+i)2 (1-i)2 + - + - -2i 2i 解析: +m· 解析:复数 z= = = +m· = +m· 2 =(1-m)i, - ,因为 1-i 1+i (1-i)(1+i) (1+i)(1-i) 2 - + - + + - 1+i 1-i + - (i 为虚数单位 为实数,则 1-m=0,m=1. 为虚数单位)为实数 为实数, 复数 z= = +m· - = , = 1-i 1+i - + 答案:1 答案: 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 17.(10 分)从某中学高三年级参加期中考试的 1000 名学生中,用系统抽样法抽取了一 . 名学生中, 从某中学高三年级参加期中考试的 的总成绩的样本,分数段及各分数段人数如下(满分 个容量为 200 的总成绩的样本,分数段及各分数段人数如下 满分 800 分): : 分数段 人数 300~400 ~ 20 400~500 ~ 30 500~600 ~ 80 600~700 ~ 40 700~800 ~ 30

(1)列出频率分布表; 列出频率分布表; 列出频率分布表 (2)画出频率分布直方图; 画出频率分布直方图; 画出频率分布直方图 (3)估计分数在 300~600 分数段以内的在总体中所占的比例; 估计分数在 分数段以内的在总体中所占的比例; ~ (4)估计分数在 600 分以上的总体中占的比例. 估计分数在 分以上的总体中占的比例. 频率分布表如下: 解:(1)频率分布表如下: 频率分布表如下
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分数段(分 分数段 分) 300~400 ~ 400~500 ~ 500~600 ~ 600~700 ~ 700~800 ~ 合计 (2)频率分布直方图如下: 频率分布直方图如下: 频率分布直方图如下

频数 20 30 80 40 30 200

频率 0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1.00

(3)估计分数在 300~600 分数段内的人数在总体中占的比例为 0.65. 估计分数在 ~ (4)估计分数在 600 分以上的在总体中占的比例为 0.35. 估计分数在 18. 分)一盒中装有各色球共 12 个, . (12 个红球、 个黑球、 个白球、 个绿球. 4 2 1 一盒中装有各色球共 其中 5 个红球、 个黑球、 个白球、 个绿球. 从 中随机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; 取出 球是红球或黑球的概率; (2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率. 取出的 球是红球或黑球或白球的概率. nA 解:解法一:(利用公式 P(A)= n 求概率 解法一: 利用公式 = 求概率) (1)从 12 个球中任取 1 球是红球有 5 种取法,是黑球有 4 种取法,是红球或黑球共有 5 从 种取法, 种取法, 种取法. +4=9 种不同取法,任取 1 球有 12 种取法. = 种不同取法, ∴任取 1 球是红球或黑球的概率为 9 3 P1= = . 12 4 (2)从 12 个球中任取一球是红球有 5 种取法, 从 种取法, 种取法, 种取法. 是黑球有 4 种取法, 是白球有 2 种取法. 从 5+4+2 11 + + 而任取 1 球是红球或黑球或白球的概率为 P2= 12 =12. 解法二: 利用互斥事件求概率 利用互斥事件求概率) 解法二:(利用互斥事件求概率 任取一球为红球}; 任取一球为黑球}; 任取一球为白球}; 记事件 A1={任取一球为红球 ;A2={任取一球为黑球 ;A3={任取一球为白球 ;A4 任取一球为红球 任取一球为黑球 任取一球为白球 任取一球为绿球}, ={任取一球为绿球 , 任取一球为绿球

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5 4 2 1 则 P(A1)=12,P(A2)=12,P(A3)=12,P(A4)=12. = = = = 根据题意知, 互斥,由互斥事件概率公式, 根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4 互斥,由互斥事件概率公式,得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 取出 5 4 3 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = . = + =12 12 4 5 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + 取出 = + + =12 4 2 11 . 12+12=12 19.(12 分)随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高 单位:cm),获得 . 名同学,测量他们的身高(单位 单位: 随机抽取某中学甲乙两班各 , 身高数据的茎叶图如图. 身高数据的茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 (2)计算甲班的样本方差; 计算甲班的样本方差; 计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 现从乙班这 的同学, 的同学被抽中的概率. 的同学被抽中的概率. 由茎叶图可知, 之间, 解:(1)由茎叶图可知,甲班身高集中于 160~179 之间,而乙班身高集中于 170~180 由茎叶图可知 ~ ~ 之间,因此乙班平均身高高于甲班. 之间,因此乙班平均身高高于甲班. - (2) x = 158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 + + + + + + + + + =170, , 10 1 甲班的样本方差为 甲班的样本方差为10×[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168- - - - - - 170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2. - - - - - = (3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A, 设 的同学被抽中” , 的同学有: 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有:{181,173},{181,176}, , , {181,178},{181,179},{179,173},{179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173} , , , , , , , 4 2 个基本事件, 个基本事件, 共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件,∴P(A)=10=5. = 20.(12 分)设计一个计算 1+2+3+…+3000 的值的算法,并画出程序框图. . 的值的算法,并画出程序框图. 设计一个计算 + + + 解:算法:S1:i=1; 算法: : = ;
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S2:S=0; : = ; S3:如果 i≤3000, : ≤ , 则执行 S4,S5,否则执行 S6; , , ; S4:S=S+i; : = +; S5:i=i+1,返回 S3; :=+ , ; S6:输出 S. : 程序框图如图: 程序框图如图:

评析:(1)循环结构中要有中止循环的条件,不能无休止运算下去,循环结构中一定包 评析: 循环结构中要有中止循环的条件,不能无休止运算下去, 循环结构中要有中止循环的条件 下去 含条件结构, ≤ 就是中止循环的条件; 含条件结构,如 i≤3000 就是中止循环的条件; (2)循环结构关键要理解“累加变量”和“用 i+1 代替 i”,S 是一个累加变量,i 是计 循环结构关键要理解“累加变量” 是一个累加变量, 循环结构关键要理解 + ” 数变量,每循环一次, 都发生变化. 数变量,每循环一次,S 和 i 都发生变化. 21.(12 分)先阅读框图,再解答有关问题: . 先阅读框图, 先阅读框图 再解答有关问题:

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(1)当输入的 n 分别为 1,2,3 时,a 各是多少? 当输入的 各是多少? (2)当输入已知量 n 时, 当输入已知量 的结果是什么?试证明之; ①输出 a 的结果是什么?试证明之; 的结果是什么? 的过程. ②输出 S 的结果是什么?写出求 S 的过程. 1 解:(1)当 n=1 时,a=3; 当 = = 1 当 n=2 时,a=15; = = 1 当 n=3 时,a=35. = = (2)①解法一:记输入 n 时,①中输出结果为 an,②中输出结果为 Sn,则 ①解法一: 2n-3 - 1 a1= ,an= a (n≥2), ≥ , 3 2n+1 n-1 + - an 2n-3 (n≥2). 所以 = ≥ . an-1 2n+1 + 2n-3 2n-5 2n-7 1 1 - - - an an-1 a2 1 1 1 · ·…· ·a1= · · ·…· · = · . …a … = 所以 an= an-1 an-2 2n+1 2n-1 2n-3 5 3 2n+1 2n-1 4n2-1 + - - + - 1
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1 解法二: 解法二:猜想 an= 2 . 4n -1 证明: ⅰ 当 = 结论成立. 证明:(ⅰ)当 n=1 时,结论成立. 1 (ⅱ)假设当 n=k(k≥1,k∈N*),即 ak= 2 , ⅱ 假设当 = ≥ , ∈ , 4k -1 2(k+1)-3 2k-1 1 + - - 1 1 a= · 则当 n=k+1 时,ak+1= = + = = , 2(k+1)+1 k 2k+3 4k2-1 (2k+3)(2k+1) 4(k+1)2-1 + + + + + + 结论成立. 所以当 n=k+1 时,结论成立. = + 1 成立. 故对 n∈N*,都有 an= 2 成立. ∈ 4n -1 1 即输出 a 的结果为 2 . 4n -1 1 1 ②因为 an= 2 = 4n -1 (2n+1)(2n-1) + - 1 1 1 =2?2n-1-2n+1?, + ? ? - 所以 Sn=a1+a2+…+an 1 1 1 1 1 1 1 1 - =2?1-3?+2?3-5?+…+2?2n-1-2n+1? + ? ? ? ? ? ? - 1 n 1 - . =2?1-2n+1?= + ? 2n+1 + ? n . 即输出 S 的结果为 2n+1 + z 22.(12 分)已知 z 是复数,z+2i, . 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ 已知 是复数, + , 均为实数 为虚数单位 ,且复数 +ai)2 在复平 2-i - 面上对应的点在第一象限, 的取值范围. 面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解:设 z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i, = + , ∈ ,+ = + + , 由题意得 y=- =-2. =- x-2i 1 - z = = (x-2i)(2+i) - + 2-i 2-i 5 - - 1 1 =5(2x+2)+5(x-4)i, + + - , 由题意得 x=4. = ∴z=4-2i = - ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, + + - + - , 根据条件,可知? + - 根据条件,可知? 12+4a-a2>0,8(a-2)>0 - 解得 2<a<6 ∴实数 a 的取值范围是(2,6).

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