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专题07 平面向量的线性运算及其应用-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析]


2014 高考对本内容的考查主要有: 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级,只有平面向量的应用为 A 级要求, 平面向量的数量积为 C 级要求,应特别重视. 试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与三角函数综合考查,构成中档题.

1.向量的概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. a (2)长度等于

1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为±|a|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)|b|cos〈a,b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影. 2.两非零向量平行、垂直的充要条件 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)若 a∥b?a=λb(λ≠0);a∥b?x1y2-x2y1=0. (2)若 a⊥b?a· b=0; a⊥b?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |A B |= x2-x1 2+ y2-y1 2. x1x2+y1y2 2 2 2. x1+y1 x2 2+y2

a· b (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 cos θ=|a||b|=

4.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性 → → → 表示, 就要根据向量加减法的法则进行, 特别是减法法则很容易使用错误, 向量MN=ON-OM (其中 O 为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量. 5.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条 对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直,

反之也成立. 6.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角 可能是 0 或 π 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要 求不能反向共线.

考点 1、平面向量的线性运算 1 2 【例 1】 (2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB,BE=3BC. → → → 若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________.

【规律方法】在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算类似于代数中 → 合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.本例中的第(1)题就是把向量DE用 → → AB,AC表示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等关系式,可求相应的系 数. 【变式探究】 (2013· 天津卷)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中 →→ 点.若AC· BE=1,则 AB 的长为________.

考点 2、平面向量的数量积 【例 2】已知 O,A,B 是平面上不共线的三点,设 P 为线段 AB 垂直平分线上任意一点, → → → → → 若|OA|=7,|OB|=5,则OP· (OB-OA)的值为________.

【规律方法】求数量积的最值,一般要先利用向量的线性运算,尽可能将所求向量转化 为长度和夹角已知的向量,利用向量的数量积运算建立目标函数,利用函数知识求解最值. 【变式探究】 (2013· 湖南卷)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1, 则|c|的取值范围是________.

【例 1】已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+B),函数 f(x)

? π? =(m+n)· m,求 f B+8 的取值范围. ? ?

【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数 中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角 函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解决此类问题 的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量 或者三角函数的知识解决问题. 【变式探究】 (2013· 江苏卷)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

1.已知向量 a=(2,x),b=(x-1,1),若 a∥b,则 x 的值为________. 【解析】由 a∥b,得 2-x(x-1)=0,解得 x=2 或-1. 【答案】2 或-1 2.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,|a|=3,|a+b|= 13则|b| 等于________. 【解析】向量 a 与 b 的夹角为 120°,|a|=3,|a+b|= 13, 3 则 a· b=|a||b|· cos 120°=-2|b|, |a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2. 所以 13=9-3|b|+|b|2,则|b|=-1(舍去)或|b|=4. 【答案】4 3.已知非零向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,向量 a 与 b 的夹角为 60°,且|a|=|b|=1, 则向量 a 与 c 的夹角为________.

→ → → → → 4.在△ABC 中,已知AB· AC=4,AB· BC=-12,则|AB|=________. → → → → → → → → → 【解析】将AB· AC=4,AB· BC=-12 两式相减得AB· (AC-BC)=AB2=16,则|AB|=4.

【答案】4 → → 5.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD= ________.

→ → → → 6. (2013· 安徽卷改编)在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 两定点 A, B 满足|OA|=|OB|=OA· OB → → → =2,则点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是________.

x≥0, ? 3 ? ? 3 ? ?y 因为|λ|+|μ|≤1,所以? x?+? - x?≤1,当?3y- 3x≥0,时, ? 3 ? ?2 6 ? ?3y+ 3x≤6 1 由可行域可得 S0=2×2× 3= 3,所以由对称性可知点 P 所表示的区域面积 S=4S0=4 3. 【答案】4 3 7.如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内(含边界)任意 → → 一点,则AM· AN的最大值是________.

→ 8.在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则|P A

→ +3P B |的最小值为______.

π 9.已知 a=(sin α,sin β),b=(cos(α-β),-1),c=(cos(α+β),2),α,β≠kπ+2(k∈Z). (1)若 b∥c,求 tan α· tan β 的值; (2)求 a2+b· c 的值. 【解析】解 (1)若 b∥c,则 2cos(α-β)+cos(α+β)=0, ∴3cos αcos β+sin αsin β=0, π ∵α,β≠kπ+2(k∈Z),∴tan αtan β=-3.

10.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,C=3,求△ABC 的面积.

11. 如图所示, A, B 分别是单位圆与 x 轴、 y 轴正半轴的交点, 点 P 在单位圆上, ∠AOP=θ(0<θ<π), C 点坐标为(-2,0),平行四边形 OAQP 的面积为 S.

→ → (1)求 O A · O Q +S 的最大值; π? ? (2)若 CB∥OP,求 sin 2θ-6 的值.

?

?

→ → 所以 O A · O Q =1+cos θ.


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